p-Адическая арифметика и ее применение для анализа мономиальных динамических систем с примерами в СКМ Maple

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИИСтИТУТ (тосударственний техннческпй уннзерснтет~ В.В. РЫБИН Утаернндено не зеседеннн редсснсте 1 сентнбрн 2008 г. РВ3бни В.В. Р-ВДИЧЗСКВН ВрифмвтННВ н Вб 33римз33ВИ33В ДЛИ В33алнза МОНОМИВЛЬ33Ь3х динамичсскнх систзм с примерами в СКМ Мар1В3 Учабиоа ноообиз. — Мл Изд-во М 33И.ПРИНТ, 2009. — 66 С.3 ил, В пособии рассматрнвавтс33 основные ноннтин р-адичсской арифмзтикн и нростейп3их систзм динам33чаского мин333ення.

Изучается техника 33маолнси33Н арифметических оозрации иад р-адичзскими чнсламн вруч- ну3О и при номо3ци СКМ Мар1В, а также техника исследования свойств простейа3нх систем дннамичзското мьанлоинл а СКМ Мар1В. Длв ст3'дзитОВ сцвциальностн Прикладнзл матзматика, а такзкз длн студснтОВ д33у3'их сизциальиОстсй изуча303цих соврсма33ныз 33зтоды тоорни интсллсктуальных снстзм н заннмакнцихса Вонрюсзми вр3жктировзнин ннтсчлакт3 альнзлз снстсм, РЗЦСКЗЗКВЗМ3 кафалра "МатзматНЧССКОВ МОдЕЛИРоваииз" МГТУ нм.

Н.Э: Наумана 3зав. каф. д-р физ.-мат. Наук, нроф. АП. Кри3цзнкоК зав. Хаф. "Вьккиаи матсмат33ка" МГТУ д-р техн. Наук, проф. С ч. Реоь козубоз В настоящее время понятие физического пространства отождествляется в основном с математическим пространством йз„т.е. наш физический мпр описывается с помощью вещественных чисел. Однако материальный мир не может быть описан точно с помощью вещественной декартовой модели. Адекватное описание физических явлений возможно только в комплексном гильбертовом пространстве Н.

Для описания духовных объектов (идей, ассоциаций„ мыслей и т.д.) до последнего времени, также использовались пространства Я~ и Н. Однако духовный мир для адекватного описания требует разработки специального ментального пространства, ультраметрическая геометрия которого отличается от евклидовой геометрии. Такая модель ментального пространства предложена в работе А.1О. Хренникова 11Ц. В етой работе математическое моделирование процессов мышления предлагается проводить в р-адическнх системах координат. Такая система координат опясывается системой р-адических чисел Я 11 — 3, б — 111. Р Впервые понятие р-адического числа было введено в 1897 году Куртом Гензелем Щ.

Так возник р-аднческпй (неархимедов) анализ. На протяжении последних ста лет р-адическне числа рассматривалнсь как чисто математический объект. В конце двадцатого века р-адический анализ нашел применение прн решенпи задач квантовой теории поля, теории струн, квантовых групп, теории случайных процессов, исследованиях хаоса и фрактальной геометрии„теория информации и теории динамических систем 17, 10, 1Ц. В настоящее время опубликованы лекционные курсы по основам р-здического анализа 18, 91, а сам р-адический анализ становится предметом изучения не только математиков, ио н инженеров. В курсе "'Янтеллек уальн е системы" который читается студентам Факультета Прикладная математика и физика" МАИ, изучаются системы дииамического мышления, аредложеиные А,Ю. ХреиКИИОВым, а В курсе "Дискретная математика" нзучаытся р-адкческие пОля и зз аднческке кОльца Даяяое пособие иредиазначеио для выработки навыков н умеинй у студентов вынолиять арифметические операции иад р-адическими числами вручиузо и при аомощн СКМ Мар1е.

Исследовать свойства иростенвгих систем дииамического мышлеиия В ь'КМ Мар!е, Некоторые работы, содержащне базовые зиаиия цо р-аднческому анализу и его прнлоэкенням, ариведены в библиографи- ЧЕСНОК СИНСКЕ* 1. ОСИОБЫ р-АДИЧЕСКОИ АРИФМЕТИКИ И ЕК ИЗУЧЕИИЕ Е СКМ Мар(е Известно Щ, что нонятие числа н его развитие от натурального до комнлексного можно описать последовательностью включений: множество натуральных чисел ФсЯ, множество целых чисел ЯсЯ, множество рациональных чисел Ф=Л, множество действительных чисел Кс:С, где каждое последующее множество нолучается из предыдущего с помощью процедуры. Которая называется пополнением, При этом пополнение множества рациональных чисел 9 до множества действительных чисел Й нроводится с использованием обычного евклидова расстояния на числовой арлмой (И(к,р) = ~л — р5, где абсолютная величина (норма) — это отображение иа О, удовлетворяющее условиям: ~л;~ = 0 сэ л = 0„ ~лр~ = ~Цф„.

)т+ ф я )л~+ ~р~, Возникает следующий вопрос: действительно ли евклидово расстояние между рациональными числами является наиболее "естественным"У Существует лн другой способ описания "близости" между рациональными численная Оказь1ваетсн, что ~т~ет на этот вон рос ноложнтельный. ДругОЙ снособ намерения расстояния (О(х~у) ~х ф между рациональными числами вОзникает иэ следующей арифметнчес" кОЙ конструкции. Пусть)ВН)У вЂ” произвольное аростос число. Определим отображение ~е~ на Я следующим образом: б ( 1 —, если хе О, ОЖ з яр= О. если х = О, кратности вхождеиияр в разложенне пелого числа х Р на простые сомножителн, Огд Х= Ф Огд а — Огб, Ь, если х = —, а,деЗ, 6 е О. Напрнмер: ~9~= — Π— -1, (2(т= —, — ~ = — =2, ~9~= — =-, ~2' = — =1 -' = — '= — ф = — =1 ~4 = — =1 — = — =1 Так, определенная абсолютная величина удовлетворяет усло- виям (1.1) — (1,3), но для кее выполняется усиленное неравенство треугольника (х + р( ~ щах~(х~~, ~р(, |.

'1'аким Образом, р-адическое расстояние между Точками в пространстве ь) существенно отличается от действительного расстОяния. Пропедура пОНОлнения множества рацнональных чисел ч' с таким спОсОбОм измеРОННЯ РасстОЯниЯ межДУ злементами мнО- жества (с ПОрОждает различные мяоьтеслФеа р"Фднческкх чксел (ее и (), Юз -~ (), ()с .'з ()...„(ь) „~ () вместо множества действительных чисел Ю. Зти множества являются кеархкмедоеммк числовыми яоллмы (см. приложение 1). Замечание 1, Зсе другие способы задания абсолнггиой велнчн ны зквнвалентны либо действительной ~е(, либо одной из р-аднческих ) ~~г, Зто вытекает из теоремы Островского (1Ц. Замечание 2. Множества 9т, ь)з, Яз,..., Я~, ...равномощны отрезку (О,Ц.

Однако есчи р к д, то р-адическне поля Я„и (е не нзоморфны, а поле действительных чисел В не кзоморфно любому 9 . Замечание 3. В р-адическом анализе доказъпаетсл (8, 9), что рлд ~~', а„(а„е (е ) сходится в () тогда и только тогда, когда а„--~ О, и-~ а=1 Например, рвд 1 + р + р + ... + р" + ... сходится в Я, так как Р* ,'р"~ = р "-~ О, в-~ . Сумма этого ряда вычисляется по обмчному Р правилу, как предел конечнмх сумм: 8 = —, Запись произвольного действительного числа в в позиционной системе счислепня с основанием гл > 1, где лг — фиксированное целое число Ойв определяется разложенпем этого чясла о по последовательнмм степеням чпсла т, Поэтому любое положительное действительное число а поля й может бить запнсано в впде гдеаье (01,...,ж-Ц„ай приннмаьзтзпачення-и;в+1...„-1,0,1,2,....

Это разложенке единственно, за нсклвченкем случая, когда все вь для достаточно боль~пил й раним ж-1. Например. ноложительцр(е целые чцедв,'аргут 6ь)ть записаны в базисе гу) как конечные суммы Нелестно, что действительное число а является рациональным тогда и только тогда, когда его 1я-здичиое равложеине (1.6) является иериодичимм, т.е.

суп(ествуетдакой индекс(н такое натуральное число Ь вЂ” длина периода, что а) гл а),х Например, 10-адическое разложение рационального числа †„ = 6,142857142857142857... 48 имеет периодически повторяющуюся последовательность шести чисел 1,4,2,8,5,7 и записывается в виде 6,142857. Похожая ситуация имеет место для р.аднческого сл)'чая. Лю" бое р-едическое число а мсокет быть записано в виде а-с а = — „+ ... + — + а + пру + ... + аьр + ... -" ,с ' "',.о а-а"'а-! 'аоа1"'аь"' где аз е (0,1„,р- Ц, а Й принимают значения -я,-а+1,...;1,0,1,2,....

Это разложение схоже с представлением действительного числа в виде (1.6), но отличается от действительного случая неограничеиностью в направлении возрастания степеней р н ограниченностью в направлении их убывания. Это разложение единственно для любого р-адического числа. Как и в действительном случае, р-адическое число рационально, если его каноническое разложение (1..7) периодично.

рассмотрим частный случай„т,е. множество р-адических чисел вида: а = О, аоа1 .„а„... Это множество принято обозначать л с 9 . Оно называется коленом иелыл р-адичссиил чисел поля () . В СЛУЧаЯХ, КОГДа ОЧЕВИДНО, Чта РаоеиатРИВастСЯ ТОЛЬКО Яг, ПИП1Ут а = абаз ...ав.... Например, пелымн р-адическими числами поля 9„являются; 1) все целые числа. Например, при р ~ йл 2) некоторые рациональные числа. Например, при р = рл 1.3, Арифметические операции сложении, вычитании„умножении, делении и извлечении корин в ф и их выполнение в СБМ Мар1е Талинка выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления р-адических чисел во многом напОминаег соответствующие операцни с десятичными дробями.

Единственное отличие в том, что "заннмание", "перенос в другой разряд"', "умножение Столбиком" и т.д. делазотся Слева направо„а не справа налево. Пример 1.1. Найти р-адическое разложение числа -1 в кано- ННЧССКОМ ВИДЕ. ДлЯ )юглениЯ зтОЙ задачи используем Обьгчную процедуру слО" женил (илн вычитания) "'столбиком*" к р-адическнм числам. Имеем 1 1000....

Пусть число о 1 2 3 й = аор + а) р + йтр + азр + ... = Ней) а2аз ... удовлетворяет соотногпенню 1 + а = 0 (тогда а = -1). Начиная слева, имеем 1 + йе = О„но, так как ао е (0„1,...,р - 1) „единственный ~Нос~6 достичь т)мбуемого состоит в том, чтобы иайгн ае нз сосгношення 1 + ао = р, а затем перенестн единицу вправо. Таким образом, ас = р — 1. Продолжая эту процедуру, можно видеть, что все а,. равны р -1, т,е, >а:=ета«р(-1„2, 10); ар(ЗЗ); огйр(а, 2); уа1пер(а, 2); а:=1+(2)+(2) +(2) +(2) +(2)з+(2) +(2) +(2) +(2) +О((2)~ ) р ай!с(2, О, (1, 1, 1, 1, 1„1, 1, 1, 1, Ц) О 1 результат вычислений представлен в двух формах. В форме р ай«с(2, О, Е«,1,1,1,1 1,1,1,1,11) 2 — модуль 2-адического числа, 0 — указывает на отсутствие дробной части р-адического числа, т.е.

1 зто целое 2-адическое число, (1,1,1,1,1,1,1,1,«.Ц вЂ” зто первые десять разрядов 2-адического числа — 1. Пример 1.2, 'Найти р-адические разложения (для р = 2,3,5) первых 8 натуральных чисел. 1) для р = 2 имеем: .« = «ООО... = «О, 2 = О«ООО... = 010, З = ПООО... = ПО„ 4 = 00«ООО... = 0010, 5 = 101000... = 1010, 6 = ОП000...

= 0110, 7 = П«ООО... = П«0, 3 = 000«ООО... = ООО«О; 2) для р = 3 имеем: 1 = «ООО.. = «О, 2 = 2ООО... = 2О, З = 0«ООО., = «О, 4 = 1«000... = ПО, 5 = 21000... = 210, 6 = 02000... = 020, 7 = 12000... = 120, 3 = 22000... = 220; 4 = 4000... = 40, 5 = 01000... = 010, 6 = 11000... = 110, У = 2«ООО... = 2«0, 3= З«ООО... = З«О. Продемонстрируем решенно поставленной задачи в СКМ Мар!е, Найдем 5-адическое разложение числа 3: а2:= 3+ 5 р а6«с(5,0,(3,1,0,0,0,0,0,0,0,0,.)) Пример 1.3. Найти р-адичесиие разложения (для р = 2,3,б) следующих целмх чисел: -2, -3, -4, -б, -6, -7„-8. Используя операцию сложения р-адичесних чисел "столбиком" начиная слева и перенося едяницу в старший разряд (справа), найдем: 1) для имеем: Р" 2 -3=(-2)+(-1)=101, -4=(-3)+(-1)=001, -б=(-4)+(-1)=1101, -6 (-б)+(-1)=0101, -7-"(-6)+(-1)=1001, -8 (-7)+(-1)=0001) 2) для р = 3 имеем: -3 (-2)+(-1)=02, -4-"(-3)+(-))=212, -б (-4)+(-1)=112, -6=(-б)+(-1)=012, -7=(-6)+(-1)=202, -8=(-7)+(-1)-102; 3) для р= б имеем: Пример 1,4, Найти 2-аднческие разложения следующих рациональных чисел: 1 1 1 1 1.