Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова, страница 5

Пусть требуется вычислить производную функции f (x) в некоторойточке x. Причем известно, что |f ′′(x)| ≤ 1 при всех x.Используется приближенная формулаf '( x) f * ( x  h)  f * ( x ) ,hгде f *(x) – приближенные значения функции f (x), полученные в результате измерений с погрешностью не превосходящей 10-4.Какова наибольшая точность, с которой можно вычислить f ʹ(x) поуказанной формуле? Указать оптимальный выбор шага h.I.8.26.

Определить шаг τ, при котором погрешность вычисления производной u′(t), приближенно вычисляемой в соответствии с формуламиu (t ) f (t  )  f (t ),u (t ) f (t  )  f (t  ),2не превосходит 10–3. Известно, что |u′′(t)| ≤ 1, |u′′′(t)| ≤ 1 для любых t.I.8.27. (В. Б. Пирогов) В приведенной ниже таблице представлены значенияфункции f (x) с шагом h = 0,002, вычисленные на компьютере. Пусть известно, что max |f (2)(x)| ≤ M2 = 1 и max |f (3)(x)| ≤ M3 = 1. Вычислить максимально точно значение первой производной функции f (x) в точке х = (i –1)*h. Дать оценку погрешности полученного результата при заданном iх 00.0020.0040.0060.0080.010.012 0.014 0.016 0.018f(x) .1000Е01 .1000Е01 .10000Е01 .1000Е01 .1000Е01 .1000Е01 0.9999 0.9999 0.9999 0.9998а) i = 3 б) i = 5 в) i = 7.I.8.28.

Табличная функция {fi} есть проекция на равномерную стеку с шагом h бесконечно дифференцируемой функции f (x). Используется приближенный метод вычисления первой производной:27I. ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙf   x0  11 f0  18 f1  9 f 2  2 f3.6hКаков порядок аппроксимации этой формулы? Указать оптимальныйшаг численного дифференцирования и максимальную точность, с которойможет быть найдено значение производной.I.8.29. Табличная функция {fi} есть проекция на равномерную сетку с шагом h бесконечно дифференцируемой функции f (x). Используется приближенный метод вычисления первой производной:f  6 f1  3 f 2  2 f3.f   x2   06hКаков порядок аппроксимации этой формулы? Указать оптимальныйшаг численного дифференцирования и максимальную точность, с которойможет быть найдено значение производной.I.8.30.

Табличная функция {fi} есть проекция на равномерную сетку с шагом h функции f (x). |f ′′′(x)| ≤ 1. Построить формулу для приближенноговычисления f ′(x0) со вторым порядком точности. Оценить погрешностьметода. Найти оптимальный шаг численного дифференцирования.I.8.31 Дана неравномерная сетка; hi = xi+1 – xi, hi–1 = xi – xi–1. Получитьформулу для приближенного вычисления второй производной в точке xi,оценить главный член погрешности аппроксимации. Найти оптимальныйшаг численного дифференцирования при условии hi–1 = 2hi.

Какие требования необходимо наложить на гладкость функции?I.8.32. Определить оптимальный шаг численного дифференцирования τпри использовании для вычисления производной приближенной формулыu (t ) u (t  2)  8u (t  )  8u (t  )  u (t  2),12 имеющей четвертый порядок точности, если известно, что, |u(5)(t)| ≤ M5, азначения функций вычисляются с точностью ε.I.8.33. Пусть функция f (x) задана в точках f (x + kh), k = 1, 2, 3.Получить формулу для вычисления первой производной f '(x) функции в точке x с максимально высокой точностью.С какой максимальной точностью можно вычислить первую производную по этой формуле, если функция в точках задана с абсолютнойпогрешностью ε.28I.8. Теоретические задачиУказание: Считать, что необходимая для оценки производная непревышает по модулю 1.I.8.34.

Для вычисления первой производной функции f (x) в точке x + hf ( x  2 h)  f ( x  2 h)используется формула.4hа) Каков порядок аппроксимации этой формулы?б) Найти оптимальный шаг дифференцирования по этой формуле в произвольной точке для четырежды дифференцируемой функции.в) Оценить его численное значение для функции f(x) = cos(x + π/4) в случае использования IEEE-арифметики одинарной и двойной точности.I.8.35. Для вычисления первой производной функции f(x) в точке x - h исf ( x  2 h)  f ( x  2 h)пользуется формула.4hа) Каков порядок аппроксимации этой формулы?б) Найти оптимальный шаг дифференцирования по этой формуле в произвольной точке для четырежды дифференцируемой функции.в) Оценить его численное значение для функции f(x) = cos(x + 2π/3) в случае использования IEEE-арифметики одинарной и двойной точности.I.8.36.

Для вычисления второй производной функции f(x) в точке x + hf ( x  2h )  2 f ( x )  f ( x  2 h )используется формула.4h 2а) Каков порядок аппроксимации этой формулы?б) Найти оптимальный шаг дифференцирования по этой формуле в произвольной точке для четырежды дифференцируемой функции.в) Оценить его численное значение для функции f(x) = cos(x – π/6) в случае использования IEEE-арифметики одинарной и двойной точности.I.8.37. Для вычисления второй производной функции f(x) в точке x - h исf ( x  2h )  2 f ( x )  f ( x  2 h )пользуется формула.4h 2а) Каков порядок аппроксимации этой формулы?б) Найти оптимальный шаг дифференцирования по этой формуле в произвольной точке для четырежды дифференцируемой функции.в) Оценить его численное значение для функции f(x) = cos(x - 7π/8) в случае использования IEEE-арифметики одинарной и двойной точности.I.8.38. Пусть функция f (x) задана в точках f (x + kh),а) k = 0, –1, –2.

Получить формулу для вычисления второй производнойf (2)(x) функции в точке x с максимально высокой точностью.29I. ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙб) k = –1, 0, +1. Получить формулу для вычисления первой производнойf (1)(x) функции в точке x с максимально высокой точностью.в) k = 0, 1, 2, 3. Получить формулу для вычисления первой производнойf (1)(x) функции в точке x с максимально высокой точностью.г) k = –1, 0, 1, 2. Получить формулу для вычисления первой производнойf (1)(x) функции в точке x с максимально высокой точностью.С какой максимальной точностью можно вычислить требуемую производную по полученной формуле, если функция в точках задана с абсолютной погрешностью ε.Указание. Считать, что необходимая для оценки производная непревышает по модулю 1.I.8.39.

Для функции, заданной табличноxf10,520,2530,2550,270,1вычислить значение первой производной в точке x = 3 с максимальновозможной точностью. Воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.I.8.40. Для функции, заданной табличноxf10,520,2530,2550,270,1вычислить значение третьей производной в точке x = 7 с максимальновозможной точностью. Воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.I.8.41. Для функции, заданной таблично на отрезке, вычислить вторуюпроизводную со вторым порядком точности в точке x = 0, если известно,3что на левой границе d fdx3xf5.0022843Пусть в двух произвольных точках функция задана с относительной погрешностью 10–4. Во всех остальных точках функция задана точно.

Оценить ошибку округления при вычислении производной.Указать оптимальный шаг численного дифференцирования для формулы первого порядка точности в условиях данной задачи.30I.9. Практические задачиI.8.42. Для функции, заданной таблично на отрезке [1, 3], вычислить еепервую производную с третьим порядком точности в точке х = 3, если3известно, что на правой границе d fdx3xf431–32–632Пусть в двух произвольных точках функция задана с относительнойпогрешностью 10–4. Во всех остальных точках функция задана точно.Оценить ошибку округления при вычислении производной.Указать оптимальный шаг численного дифференцирования для формулы второго порядка в условиях данной задачи.I.9. Практические задачиI.9.1.

Написать программу для вычисления exp(x), пользуясь рядом Маклорена и конечностью разрядов машинной арифметики: ввести величинуSUM = 1, в цикле по I вычислять TERM = TERM * X / I, и еслиSUM + TERM равен SUM, то закончить вычисления и напечатать результат,а если не равен, то SUM = SUM + TERM и выполнять цикл далее. Вычислить и сравнить SUM и экспоненту от x для следующих аргументов:x 1, 5, 10, 15, 20, 25,  1,  5,  10,  15,  20,  25при вычислениях с одинарной точностью.

Объяснить результат. Предложить усовершенствованную процедуру для вычисления экспоненты отрицательного аргумента.NI.9.2. Написать программу для вычисления многочлена p( x)   a j x j ,j 0пользуясь схемой Горнера:p = aN // for j = N – 1 to 0 // p = x·p + aj // end for // write x, pдля многочлена p(x) = (x – 2)9 на интервале [1.92, 2.08] с шагом 10–4. Результат нарисовать.

Объяснить полученный результат. Сравнить его свычислением по формуле p(x) = (x – 2)9. Почему алгоритм вычисленияданного многочлена по схеме Горнера непригоден для численного определения нуля функции?I.9.3. Вычислить постоянную Эйлера31I. ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ n 1С  lim    ln n n k k 0с точностью 10–10.I.9.4*. Написать и полностью оттестировать программу, вычисляющуюевклидову норму вектора по заданным компонентам. Наиболее очевидный и неудовлетворительный (почему?) результат выглядит так:G=0FOR I = 1 TO NG = G + XI2ENDFORG = SQRT(G)Алгоритм вычисления евклидовой нормы вектора должен обладатьсовокупностью следующих желательных свойств:1) Результат должен вычисляться с высокой точностью, т.е.

почти всеразряды вычисленного результата должны быть верными, если ||x|| ненаходится (почти) за пределами области нормализованных чисел с плавающей точкой.2) Алгоритм должен быть в большинстве случаев почти столь жебыстр, что и приведенная выше программа.3) Алгоритм должен работать на любой разумной машине, включая,возможно, и те, арифметика которых отлична от IEEE-арифметики. Этоозначает, что работа алгоритма не может приводить к останову, если ||x||не (почти) превосходит наибольшего числа с плавающей точкой.Вероятно, вы не сможете одинаково успешно удовлетворить всемвыдвинутым требованиям.

Здесь есть пространство маневра: более полноудовлетворить одним требованиям за счет ослабления каких-то других.I.10. Библиографический комментарийИзложение элементарной теории погрешностей в данном пособииследует книгам [2, 5, 9]. Представление машинных чисел подробно описано в [10].32II. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ЛИНЕЙНОЙГЕБРЫАЛ-Одна из самых важных и хорошо разработанных областей вычислительной математики – вычислительная линейная алгебра. В нее входяттакие традиционные разделы, как методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), методы поиска собственных чисел матриц и собственных векторов, задачи повышения эффективности матричных операций (например, быстрое перемножение матриц чрезвычайнобольшого размера), алгоритмы работы с матрицами специального вида(например, с ленточными матрицами, разреженными матрицами).Первый раздел коснется основных методов и идей прикладной линейной алгебры.