Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова
Описание файла
PDF-файл из архива "Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вычислительная математика" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)Е. Н. Аристова, Н. А. Завьялова, А. И. ЛобановПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕЧАСТЬ IДопущено Учебно-методическим объединениемМосковского физико-технического института(государственного университета)в качестве учебного пособиядля студентов высших учебных заведенийпо направлению подготовки «Прикладные математика и физика»МОСКВАМФТИ2014УДК 519.7(075)ББК 21.1я73А81Рецензенты:Кафедра прикладной математики 1 Московского государственногоуниверситета путей сообщения (МИИТ)Зав. отделом ИПМ им.
М. В. Келдыша РАНдоктор физико-математических наук, профессор М. П. ГаланинА81Аристова, Е.Н., Завьялова, Н.А., Лобанов, А.И.Практические занятия по вычислительной математике : учебноепособие / Е.Н. Аристова, Н.А. Завьялова, А.И. Лобанов. Часть I. –М. : МФТИ, 2014. – 243 с.ISBN 978-5-7417-0541-4 (Ч. 1)В первой части учебного пособия представлены задачи, соответствующие материалу первого семестра курса «Вычислительная математика»,изучаемого в Московском физико-техническом институте (государственном университете).
Охватываемые темы: погрешности вычислений, прикладная линейная алгебра, численное интегрирование, интерполяцияфункций, метод наименьших квадратов, задачи поиска минимума выпуклых функций, численное решение нелинейных уравнений, численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.Все главы делятся на несколько подразделов и содержат теорию, задачи срешениями, задачи на доказательство, теоретические и практические задачи.Пособие предназначено для студентов и преподавателей вузов, атакже специалистов по математическому моделированию.УДК 519.7(075)ББК 21.1я73ISBN 978-5-7417-0541-4 (Ч.
1)ISBN 978-5-7417-0496-7© Аристова Е.Н., Завьялова Н.А.,Лобанов А.И., 2014© Федеральное государственное автономноеобразовательное учреждениевысшего профессионального образованияМосковский физико-технический институт(государственный университет), 2014ОглавлениеПредисловие ...................................................................................................... 8I. ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ ............................................................. 9I.1.
Введение ...................................................................................................... 9I.2. Погрешности вычислений. Теоретическая справка ................................ 9I.3. Вычисление значения функции с помощью разложения ее в рядТейлора ................................................................................................... 13I.4. Вычисление производной ........................................................................ 14I.4.1. Формула первого порядка аппроксимации .........................................
14I.4.2. Формула второго порядка аппроксимации ......................................... 16I.4.3. Формула четвертого порядка аппроксимации .................................... 17I.5. Стандарт представления числа с плавающей точкой ............................ 18I.6. Задачи на доказательства ......................................................................... 20I.7. Примеры решения задач .......................................................................... 22I.8. Теоретические задачи .............................................................................. 24I.9.
Практические задачи ................................................................................ 31I.10. Библиографический комментарий ........................................................ 32II. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ........................ 33II.2. Некоторые сведения о векторных пространствах ................................ 33II.2.1.
Согласованные и подчиненные нормы векторов и матриц ................ 34II.2.2. Другие нормы в Rn. Теорема об эквивалентности норм ................... 35II.3. Обусловленность СЛАУ. Число обусловленности матрицы .............. 36II.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).Прямые и итерационные методы ......................................................... 36Прямые методы решения СЛАУ ................................................................... 37II.4.1. Метод исключения Гаусса...................................................................
37II.4.2. LU-разложение ..................................................................................... 39II.4.3. Метод Холецкого (метод квадратного корня) ................................... 40II.5. Итерационные методы решения СЛАУ ................................................
413II.5.1. Метод простой итерации ..................................................................... 41II.5.2. Каноническая форма записи двухслойных итерационныхметодов ................................................................................................... 42II.5.3. Методы Якоби, Зейделя, верхней релаксации .................................. 43II.6. О спектральных задачах .........................................................................
45II.7. Задачи на доказательство ....................................................................... 47II.8. Задачи с решениями ............................................................................... 53II.9. Теоретические задачи ............................................................................. 57II.10. Практические задачи ............................................................................
65II.11. Задачи сверх теоретического минимума ............................................ 71II.12. Библиографические комментарии ....................................................... 73III. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ .............................................. 74III.1.1.
Переопределенная система линейных алгебраическихуравнений ............................................................................................... 74III.2. Геометрический смысл метода наименьших квадратов .................... 75III.3. Задача неточной интерполяции функции ............................................ 77III.4. Теоретические задачи ........................................................................... 79III.5. Практические задачи ............................................................................. 81III.6. Библиографический комментарий ....................................................... 85IV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ................
86IV.1. Введение ................................................................................................ 86IV.2. Метод деления отрезка пополам (дихотомии) ................................... 86IV.3. Методы, основанные на интерполяции ............................................... 87IV.4. Метод простой итерации ......................................................................
89IV.5. Метод Ньютона ..................................................................................... 90IV.6. Метод простой итерации для систем нелинейных уравнений .......... 92IV.7. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений ......................... 93IV.8. Критерии сходимости итераций ..........................................................
94IV.9. Задачи на доказательство ..................................................................... 95IV.10. Задачи с решениями ............................................................................ 974IV.11. Теоретические задачи ........................................................................ 103IV.12.
Практические задачи ......................................................................... 110VI.13. Библиографическая справка ............................................................. 113V. ЗАДАЧИ НАХОЖДЕНИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ .................... 114V.1. Основные понятия ................................................................................ 114V.2.
Метод перебора ..................................................................................... 116V.3. Нахождение минимума функции одного переменного ..................... 117V.3.1. Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии) ..................... 117V.3.2.
Метод золотого сечения .................................................................... 118V.3.3. Метод парабол .................................................................................... 119V.3.4. Модифицированный метод Брендта ................................................ 121V.4. Поиск минимума функции многих переменных ................................ 123V.4.1. Методы спуска ................................................................................... 123V.4.1.1.
Метод покоординатного спуска .................................................... 123V.4.2. Метод градиентного спуска .............................................................. 125V.4.3. Метод наискорейшего спуска ........................................................... 126V.4.4. Метод наискорейшего спуска для решения системнелинейных уравнений ....................................................................... 129V.4.5. Динамический метод ......................................................................... 130V.5. Задачи с решениями ..............................................................................
133V.6. Теоретические задачи ........................................................................... 136V.7. Практические задачи ............................................................................ 137V.8. Библиографический комментарий ......................................................
