Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова, страница 4

ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙOFL = (1,111…12) ∙ 21023 ≈ 21024 ≈ 10 308,UFL = 1∙ 2–1022 ≈ 10 –308,εмаш = ½ ∙ 2–52 ≈ 10 –16.Присутствие в арифметике субнормальных чисел позволяет реализовать арифметику с правильным округлением при математических операциях. Тогда минимальное субнормальное число в арифметике одинарнойточности равно 2–23∙ 2–126 ≈ 10–45, а в арифметике двойной точности 2–52∙ 2–1022≈ 5∙ 10–324.В настоящее время стандарт IEEE-арифметики реализован на большинстве компьютеров.I.6.

Задачи на доказательстваI.6.1. Показать, что предельная абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей с точностью дочленов второго порядка малости.I.6.2. Показать, что предельная относительная погрешность произведенияили частного равна сумме предельных относительных погрешностей сточностью до членов второго порядка малости.I.6.3. Пусть y* – приближение к корню уравнения f (y) = 0. Вывести приближенное равенствоy  y*  f ( y*).f ( y*)I.6.4.

Как известно, для вычисления функции ln x можно использоватьследующий ряд по x:ln (1  x )  x x22x33x44   ( 1) k 1xkk(а)Можно представить 1 + x в виде 1 + x = 2m ∙ z, где z  [0,5; 1], положивдалееy1 z1 z,для представления логарифма получаем рядy3y 2 k 1ln x  m ln 2  2  y    .32k  120(б)I.6. Задачи на доказательстваВ чем преимущества и недостатки использования ряда (б)? Как оценитьпогрешность метода при использовании каждого из этих разложений?I.6.5.

Какова относительная погрешность округления при представлениидействительного числа в ЭВМ, если под хранение мантиссы отводится pбит? (Ответ: 2 –p.)Указание: Рассмотрите представление произвольного действительного числа в виде бесконечной двоичной дроби:apa p 1aaa  sign a  2 q   1  2      ,2pp122 2 2где al равно 0 или 1, и соответствующее ему округленное представление:apaaa  sign a  2 q   1  2   2p 2 22.I.6.6. Пусть функция f(x) задана таблично: заданы значения аргументовx0< x1 < x2 <…< xN (расстояние между двумя соседними точками h) и значения функции в них f0, f1, …, fN.Самостоятельно выведите формулу вычисления односторонней производной для приближенного вычисления f (x ) в точках x0 и xN с точностью до O(h2) и O(h3) Найдите оптимальные шаги численного дифференцирования. Сравните их с оценками для центральных разностей.Указание.

Для вывода формул используйте метод неопределенных коэффициентов, а именно, равенство f ( x )  1 f ( x1 )   2 f ( x 2 )f ( x0 )  0 0.hПодберите α0, α1 и α2 так, чтобы равенство выполнялось с точностьюдо O(h2). Сколько членов нужно взять, чтобы получить формулу третьегопорядка аппроксимации?I.6.7. Вторая и третья производные функции вычисляются по приближенным формуламf ( x ) f ( x  h)  2 f ( x)  f ( x  h)h2и21I.

ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙf ( x) f ( x  2h)  2 f ( x  h)  2 f ( x  h)  f ( x  2h)2h3.Найдите погрешность метода и неустранимую погрешность при вычислениях по этим формулам. Найдите оптимальные шаги численногодифференцирования и минимально возможную ошибку.I.7. Примеры решения задачI.7.1. Найти абсолютную предельную погрешность, погрешность по производной, линейную погрешность для функции u = t10, если заданы точка приближения t* = 1, значение функции u* в этой точке и погрешность Δt* = 10 –1.Решение. Обозначимb  sup ut (t )  sup 10  t 9  10  (1,1)9  23,58 .t 1 0,1t 1 0.1Абсолютная предельная погрешность может быть определена какD(u*)  sup t10  1  (1.1)10  1  1,5t 1 0,1Оценка погрешности u при вычислении значения функции по максимуму производной и линейная оценка соответственно будут:D1(u*) = bΔ(t*) = 2, 3…; D2(u*) = |γ(0)|Δ(t*) = 1.I.7.2.

Дать линейную оценку погрешности при вычислении неявной функции φ(u, t1, t2, …, tn) = 0, если известны точка приближения {t1*, …, tn*},значение функции в точке приближения u* и погрешность в определенииаргументов Δt1*, …, Δtn*.Решение.

Дифференцируя по tj, получим u  0,u t j t jоткуда     1u . t j   u t jПри заданных {t1*, …, tn*}, можно найти u* как корень уравненияφ(u, t1, t2, …, tn) = 0, а затем – значения22I.7. Примеры решения задач     1b j (0)   t j   u (u*,t1* ,,,tn* )откуда можно получить линейную оценку погрешности функции D2(u*).I.7.3.

Вычислить относительную погрешность в определении значенияфункции u = xy2z3 u  xy 2 z 3 , если х* = 37.1, у* = 9.87, z* = 6.052, Δх* = 0.3,Δу* = 0.11, Δz* = 0.016.Решение: x0.3 0.8110 ,  y 0,11237.19,87 1,12 102 ,  z 0, 0166, 052 0, 26 102 ,(u)  ( x* )  2( y*)  3( z*)  3.8 102.I.7.4. Оценить погрешность в определении корней квадратного уравненияφ(u, t1, t2) = u2 + t1u + t2 = 0, если заданы приближения t1*, t2*, Δ(t1*), Δ(t2*).Пусть u* – решение уравненияu*2  t1*u*  t2*  0.Воспользовавшись формулой d    d  1b j (0)    dt j   du (u*,t1* ,,,tn* )получим:b1 (0) duu*,dt1 (t* ,t* )2u*  t1*1 2b2 (0) du1.**dt2 (t* ,t* )2ut11 2Следовательно, линейная оценка будетD2 (u*) u*  (t1* )  (t2* )2u*  t1*.23I.

ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙI.8. Теоретические задачиI.8.1. Пусть y* – корень кратности k уравнения y2 + by + c = 0 при заданныхприближенных значениях коэффициентов b*, c* и их погрешностях Δb* иΔc*. Показать, что погрешность приближенного значения корня имеет порядок O(ρ1/k), где   b2*  c2* .I.8.2. С каким числом знаков надо взять lg 2, для того чтобы вычислитькорни уравнения x2 – 2x +lg 2 = 0 c четырьмя верными знаками?I.8.3.

Найти абсолютную предельную погрешность числа a = 3,14, заменяющего число π.I.8.4. Найти абсолютную предельную погрешность, погрешность по производной и линейную оценку погрешности для функцийu = sin t, u = 1/(t2 – 5t + 6).Заданы точка приближения t = t* и погрешность Δt.I.8.5. Найти погрешность по производной для функции u  t , если заданы точка приближения t* = 4, значение функции u* в этой точке и погрешность Δt* = 0.1.I.8.6.

Найти линейную оценку погрешности для функции u  t 5 , если заданы точка приближения t   2 , значение функции u* в этой точке ипогрешность Δt* = 0.1.I.8.7. Каждое ребро куба, измеренное с точностью до 0.02 см, оказалосьравным 8 см. Найти абсолютную и относительную погрешность при вычислении объема куба.I.8.8. Стороны прямоугольника a ≈ 5 м и b ≈ 6 м. Какова допустимая предельная абсолютная погрешность при измерении этих сторон (одинаковаядля обеих сторон), чтобы площадь S прямоугольника можно было определить с предельной абсолютной погрешностью Δ(S) = 1м2.I.8.9. Найти абсолютную предельную погрешность для функции u = sin t,если заданы точка приближения t* = π/4, значение функции u* в этой точкеи погрешность Δt* = 0.05.I.8.10.

Найти погрешность по производной для функции u = t 2, если заданы точка приближения t* = 2, значение функции u* в этой точке и погрешность Δt* = 0.1.24I.8. Теоретические задачиI.8.11. Найти линейную оценку погрешности для функции u = ln t, еслизаданы точка приближения t* = 1, значение функции u* в этой точке и погрешность Δt* = 0.1.I.8.12. Вычислить относительную погрешность в определении значенияфункции u = xy2, если x* = 9.87, y* = 37.1, x   0.11 , y   0.1 .I.8.13.

Вычислить относительную погрешность в определении значенияфункции u(x, y, z) = x2y2/z4, если заданы x* = 37.1, y* = 9.87, z* = 6.052,Δ(x*) = 0.1, Δ(y*) = 0.05, Δ(z*) = 0.02.I.8.14. Радиус круга равен 1 м. С какой точностью его надо измерить, чтобы погрешность площади круга была не больше 1 см2?I.8.15.

Величина y вычисляется по формуле y = f(x), а величина x получается прямым измерением, которое осуществляется с погрешностью, непревосходящей некоторое заданное число ∆x.Требуется найти наименьшее число ∆y, при котором для данного x*,полученного в результате приближенного измерения величины x, справедлива оценка|y*–y| < ∆y; y* = f(x*); y = f(x).Указать факторы, от которых зависит точность приближенной формулы∆y = f ′(x*) ∆x для ∆ya) f (x) = sin x; б) f (x) = ln x в) f (x) = 1 / (x2 – 5x + 6).I.8.16. Пусть z = f(x, y), причем величина x* получается в результате приближенных измерений с неустранимой погрешностью ∆x = 10–3. Пусть привычислении z нас интересует абсолютная погрешность.С какой разумной точностью следует измерять y?а) z = x + 10y; б) z = xy + xy2; в) z = x/y.I.8.17.

Рассмотрим модель представления чисел в IEEE-арифметике следующего вида:S = {± b0, b1b2·2±a}, где числа a, b1 , b2  0,1 , а число b0 = 1 всегда,кроме того случая, когда a = b1 = b2 = 0, в этом случае b0  0,1 .а) Нарисовать множество S на действительной оси. Сколько чисел в данной модели арифметики у Вас получилось?б) Чему равны машинные константы εмаш, UFL, OFL в этой модели?I.8.18. Рассмотрим модель представления чисел в IEEE-арифметике следующего вида:25I. ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙS = {±b0, b1b2b3·2±a}, где числа a, b1 , b2 , b3  0,1 , а число b0 = 1 все-гда, кроме того случая, когда a = b1 = b2 = b3 = 0, в этом случае b0  0,1 .а) Нарисовать множество S на действительной оси.

Сколько чисел в данной модели арифметики у Вас получилось?б) Чему равны машинные константы εмаш, UFL, OFL в этой модели?I.8.19. Пусть для вычисления функции u = f (t) используется частичнаясумма ряда Маклоренаu (t )  u (0) u (0)t1!u (n) (0) nt ,n!причем аргумент задан с погрешностью Δt = 10–3.Найти n такое, чтобы погрешность в определении функции u(t) поданной формуле не превышала Δt. Рассмотреть отрезки t  [0, 1],t  [10, 11]. Предложить более совершенный алгоритм для вычисленияфункций u(t) = sin t, u(t) = e t на отрезке t  [10, 11].I.8.20.

Пусть неустранимая погрешность при измерениях x не превосходит∆x = 10–3. Для вычисления заданной функции y = f (x) используется частичная сумма ряда Маклоренаy  f (0) f '(0)f ( n ) (0) nx  ... x1!n!а) Как выбрать n, чтобы погрешность аппроксимации функции f (x)отрезком ряда Маклорена не превосходила неустранимую погрешность?Рассмотреть функцию f (x) = sin x на отрезке 0< x <1 и 10< x <11.б) Каковы требования к относительным погрешностям округленияслагаемых f (k)(0)xk /k!, чтобы абсолютная погрешность их вычисления непревосходила неустранимую погрешность при вычислении sin x.

Рассмотреть случаи 0≤ x ≤1 и 10≤ x ≤11.в) Не можете ли вы предложить для вычисления sin x на 10≤ x ≤11более совершенную процедуру, чем задаваемую рядом Маклорена.I.8.21. Оценить погрешность в определении корней уравнения ay3 + d = 0,если величины a = 1 и d = 8 заданы с точностью ∆(a) = 10-3 и ∆(d) = 10-3.I.8.22. Оценить погрешность в определении вещественных корней уравнения ay3 + cy + d = 0, если величины a = 1, c = 2 и d = 3 заданы с точностью ∆(a) = 10-3 и ∆(c) = 10-3 ∆(d) = 10-3.26I.8. Теоретические задачиI.8.23. Оценить погрешность в определении вещественных корней уравнения ay3 + by2 + d = 0, если величины a = 1, b = 2 и d = –3 заданы с точностью ∆(a) = 10-2 и ∆(b) = 10-2 ∆(d) = 10-2.I.8.24. Оценить погрешность в определении положительного корня уравнения ay3 + cy = 0, если величины a = 1 и c = -4 заданы с точностью∆(a) = 10-2 и ∆(c) = 10-2.I.8.25.