Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова, страница 10

Система уравнений Ax = f, где 0,5  0,5 0,5 A 12 1  , f = (0, 3, 2)T  0,5 0,5 3,5 60II.9. Теоретические задачирешается на компьютере с бесконечной длиной мантиссы с помощью метода xn+1 = (E – 2/5A)xn + 2/5 f, начальное приближение нулевое. Оценить число итераций, необходимое для уменьшения первоначальной невязки в 104раз. Ответить на тот же вопрос при вычислениях с длиной мантиссы 30 бит.Выписать расчетные формулы метода Якоби.

Исследовать его насходимость.II.9.15. Система уравнений Ax = f , где 3 1 1 TA   2 6 2  , f = (3, –6, 3) , 1 1 9 решается с помощью метода простых итераций, начальное приближениенулевое. При каких значениях итерационного параметра метод будет сходитьсяа) при вычислениях с бесконечным числом бит в мантиссе?б) при длине мантиссы 50 бит?в) при каком значении итерационного параметра сходимость будет самаябыстрая?г) найти значение оптимального параметра для первого шага решениясистемы методом наискорейшего спуска.II.9.16. Проверьте, выполняются ли необходимые условия сходимостиметодов Якоби и Зейделя, примененных к системе 2, x1  x2 x1  2 x2  x3  4,x2  2 x3  3.II.9.17.

Пусть методом Якоби решение системыbixi - 1 + ci xi + ai xi+1 = fi, i = 1, 2, …, n; b1 = an = 0с нужной точностью достигается за k шагов. Существуют ли такие k и n,для которых применение метода Якоби в этой ситуации эффективнее метода прогонки по числу арифметических операций?II.9.18. Для линейной системы10 x1  2 x2  3 x3  4 x4  1, 6, 2 x1  5 x2  x3 3x1  x2  10 x3  x4  7,x3  10 x4  6, 4 x1 61II. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫзапишите метод Зейделя и обоснуйте его сходимость.

Каковы расчетныеформулы метода последовательной верхней релаксации в этом случае?II.9.19. А) Проанализируйте сходимость степенного метода в случае, когда λ1–кратное вещественное наибольшее по модулю собственное числоn-мерной матрицы простой структуры. Как можно найти все соответствующие ему собственные векторы в зависимости от показателя кратности?Б) Что можно сказать о поведении последовательности приближенийвычисления максимального по модулю собственного значения степеннымметодом, если λ1 = –λ2, 2...3n , i R?В) Рассмотрите и объясните поведение степенного метода в случае,когда данная матрица A – диагональная.II.9.20.

Найдите все собственные числа и собственные векторы матрицы 4 2 1A 2 4 1  1 1 3 методом скалярных произведенийII.9.21. Исследовать на сходимость метод Якоби для решения системы 2 3уравнений с матрицей A  .1 6II.9.22. При каких значениях параметра τ методxk+1 = (E – τA)xk + τbсходится с произвольно взятого начального приближения для системы 3 8линейных уравнений Ax = b с матрицей A  . 2 9II.9.23. (Т. К.

Старожилова) Дана система линейных уравнений Ах = f 18 6 7  x1   13   0  x2    6  . 6 6 x   6 6 3 7 01. Исследовать на сходимость и оценить скорость сходимости простой итерации xk+1 = (E – τA)xk + τf при τ = 0.02.2. Найти τопт и дать оценку скорости сходимости при этом τопт.62II.9. Теоретические задачи3. Задано начальное приближение (17, 2, –12)Т; найти для него скорость сходимости при τ = 0.02, τопт и оценку скорости сходимости приэтом новом τопт.4.

Выписать формулы для итерационного процесса Якоби и доказатьего сходимость.5. Выписать формулы для итерационного процесса Зейделя и доказать его сходимость.II.9.24. Показать, что матрица А (из предыдущей задачи) и матрица SASTимеют один и тот же набор собственных чисел00 1S   0 1 / 5 2 / 5  .0 2 / 5 1/ 5 II.9.25. При каком векторе b и произвольной погрешности ∆b, допущенной при его задании, достигается максимальная величина µ в оценке от|| x ||3|| b ||3носительной погрешности решениядля системы лиμ|| x ||3|| b ||3нейных уравнений Ax = b, где x 3  (x, x) , и чему равно µ? b1  6 8 A; b    .86 b2 II.9.26. При каких произвольных значения параметра τ методxk+1 = (E – τA)xk + τb сходится с произвольного начального приближения 3 8для системы линейных уравнений Ax = b с матрицей A  ? 2 9II.9.27.

Найти все возможные значения параметра a, при которых, с учетом верно выбранного τ, метод простых итераций решения системы уравнений a a 1  11 x    , x0    2 a  2 10имеет наибольшую возможную скорость сходимости к точному решению.II.9.28. Для системы линейных алгебраических уравнений Ax = f63II. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 5 1 2 8 A   1 4 1 , f   4 1 1 1  4 построить итерационный метод Зейделя. Найти первое и второе приближения по методу Зейделя, задав в качестве начального приближения нулевой вектор. Доказать сходимость метода.II.9.29.

(В. Б. Пирогов) Для линейной системы уравнений Ax = b вычислить число обусловленности матрицы A в трех нормах. Для заданной относительной погрешности правой части найти границы для относительной погрешности ||Δx||/||x|| решения заданной системы в той же норме, вкоторой задана погрешность правой части. Исследовать на сходимость иоценитьскоростьсходимостиметодапростойитерацииx(k+1) = (E – τA)x(k) + τb. Найти τопт и дать оценку скорости сходимости приэтом τопт. 18 6 7  13 а) A   6 6 0  b   6  , 7 0 6  6 ||Δb||1/||b||1 = 0.01 (||x||1 = maxi|xi|), τ = 0.02. 4 3 0  4б) A   3 16 6  b   3  , 0 6 4 4 ||Δb||2/||b||2 = 0.01 (||x||2 = Σi|xi|), τ = 0.01 18 6 7 1в) A   6 6 0  b   6  7 0 6 6 ||Δb||2/||b||2 = 0.01 (||x||2 = Σi|xi|), τ = 0.03.II.9.30.

Исследовать на сходимость метод Зейделя для решения системы 2 3уравнений с матрицей A  . 4 5II.9.31. (Е. Н. Аристова) Для следующих СЛАУ определить те, для которых можно найти оптимальный параметр метода верхней релаксации. Дляэтих систем выписать формулы метода верхней релаксации в правильнойпоследовательности вычисления компонент и сделать по три итерации от64II.10. Практические задачинулевого начального вектора с параметром релаксации, близким к оптимальному. Сравнить результат с тремя итерациями метода Зейделя. 18 x  6 y  7 z  5,а) 6 x  6 y 0, б) 7 x  6 z   1. 7,9 x  7 y  5 z  4,4 x  3 y7 x  8 y  9 z  7, в)  3x  16 y  6 z  13, 5 x  9 y  8 z  19.6 y  4 z  2.Ответ: а) опт = 1.36847, расчет можно вести с  = 1.4, вычисление сначала x, потом y и z, в) опт = 1.29461, расчет можно вести с  = 1.3, вычисление сначала y, потом x и z.II.9.32.

Пусть вещественная матрица A системы линейных уравнений порядка m Ax = f, x={xi}, i = 1,…, m симметрична, и ее наименьшее инаибольшее собственные числа λmin и λmax положительны. Введена норма||y|| = (y12 + y22 + … + ym2)1/2.а) подобрать параметр τ так, чтобы в методе последовательных приближенийxn+1 = xn – τ (Axn – f), n = 0, 1, 2, …x0 – задан, норма погрешности εn = xn – x*, где x* – вектор-решение, убывала наиболее быстро.б) Подобрать пару итерационных параметров τ1, τ2 так, чтобы в методепоследовательных приближенийz  x( n)   Ax( n)  f1(0)n  0,1,... , x – задан.(n1) z   2 ( Az  f )xнорма погрешности εn убывала возможно быстрее.в) Пусть λmin = 1, λmax = 10. Во сколько раз больше арифметических операций потребуется для уменьшения первоначальной погрешности в заданное число раз при использовании первого итерационного алгоритма посравнению со вторым?II.9.33.

Степенной метод поиска максимального по абсолютной величинесобственного значения матрицы применен к несамосопряженной матрице,все собственные числа которой действительны. Получится ли при этомадекватное приближение собственного числа? Какова точность данногоприближения?II.10. Практические задачиII.10.1. Используя степенной метод, оценить спектральный радиус матри-65II.

ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫцы А с погрешностью ε = 0.1: 7 4 5 а)А =  4 6 9  , б) 5 9 8 , 8 2 1 г) А =  2 5 8  , д) А = 1 8 5  9 7 5 А =  7 8 9  , в) 5 9 85 5 3А =  5 4 1 3 1 2 0 7 7  7 9 5  . 7 5 1 II.10.2. Сделайте по пять итераций методов Якоби и Зейделя для системы10 x1  x2  2 x3  10, x1  5 x2  x3  10, 3x  x  2 x  5.23 1Сколько верных знаков можно гарантировать в приближенных решениях, полученных тем и другим способом?II.10.3. Для системы линейных алгебраических уравнений Ax = f 5 1 2  8 A   1 4 1 , f   4 1 1 1  4 построить итерационный метод Зейделя.

Найти первое и второе приближения по методу Зейделя, задав в качестве начального приближения нулевой вектор. Доказать сходимость метода.II.10.4. Найдя степенным методом грубые приближения к собственнымчислам матрицы 5 2 3 A   4 5 4  , 6 4 4 уточните их обратными итерациями со сдвигом.II.10.5. Для системы линейных алгебраических уравнений Ax = f1) вычислить число обусловленности системы в нормах, подчиненныхкубической, октаэдрической и евклидовой норме вектора.2) Привести вычислительные формулы и выполнить три итерации методов Якоби, Зейделя и верхней релаксации, выбрав итерационный параметр, близкий к оптимальному. За начальное приближение взятьвектор x = (0,0)T.66II.10.

Практические задачи3) Провести три шага вычислений для определения максимального помодулю собственного значения матрицы системы степенным методом,взяв в качестве начального приближения вектор x = (1,0)T. 6 1 4 а) A  ,f . 1 6 114б) A  3 3в) A  13,4 1,2  10 6 г) A  , 6 10 1f   . 1 1f   .5 4f   . 4II.10.6. (О.А. Пыркова) Решить методами Гаусса и Зейделя, найти min,max, определить число обусловленности матрицы μ = ||A||·||A – 1||.