Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова, страница 2

140VI. ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕ И ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ .. 141VI.1. Задача интерполяции ........................................................................... 141VI.2. Алгебраическая интерполяция ........................................................... 142VI.2.1. Непосредственное вычисление коэффициентовинтерполяционного полинома ............................................................ 142VI.2.2.

Интерполяционный полином в форме Лагранжа.Интерполяционный многочлен в форме Ньютона ........................... 1435VI.2.3. Формула для погрешности алгебраической интерполяции.......... 144VI.2.4. О сходимости интерполяционного процесса ................................. 145VI.2.5. Обусловленность задачи интерполяции......................................... 146VI.3. Тригонометрическая интерполяция ..................................................

147VI.3.2. Обусловленность тригонометрической интерполяции ................ 150VI.4. Классическая кусочно-многочленная интерполяция ....................... 150VI.4.1. Оценка неустранимой погрешности при интерполяции. Выборстепени кусочно-многочленной интерполяции ................................ 151VI.4.2. Насыщаемость (гладкостью) кусочно-многочленнойинтерполяции .......................................................................................

152VI.4.3. Нелокальная гладкая кусочно-многочленная интерполяция ....... 152VI.5. Дробно-полиномиальные аппроксимации ........................................ 155VI.5.1. Рациональная аппроксимация ......................................................... 155VI.5.2. Аппроксимация Паде ....................................................................... 157VI.6.

Задачи с решениями ............................................................................ 159VI.7. Задачи на доказательство ................................................................... 165VI.8. Теоретические задачи ......................................................................... 168VI.9. Практические задачи........................................................................... 172VI.10. Библиографическая справка ............................................................. 180VII. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ .................................................. 181VII.1.

Квадратурные формулы Ньютона–Котеса (интерполяционноготипа)...................................................................................................... 181VII.1.1. Оценка погрешности квадратурных формул................................ 183VII.1.2. Связь между формулами прямоугольников, трапецийи Симпсона .......................................................................................... 186VII.2. Экстраполяция Ричардсона.

Правило Рунге практическогооценивания погрешности. Алгоритм Ромберга ................................ 186VII.3. Квадратурные формулы Гаусса ........................................................ 187VII.3.1. Квадратурные формулы Гаусса–Кристоффеля ............................ 189VII.4. Приемы вычисления несобственных интегралов ........................... 189VII.5. Вычисление интегралов от быстроосциллирующих функций ......

1936VII.6. Задачи на доказательство .................................................................. 194VII.7. Задачи с решениями ........................................................................... 195VII.8. Теоретические задачи ........................................................................

202VII.9. Практические задачи .......................................................................... 207VII.9. Библиографический комментарий .................................................... 210VIII. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ .........................................

211VIII.1. Основные понятия. Аппроксимация, устойчивость,сходимость ........................................................................................... 211VIII.2. Исследование устойчивости разностных схем для ОДУ .............. 215VIII.3. Методы Рунге–Кутты .......................................................................

219VIII.4. Устойчивость явных методов Рунге–Кутты ................................... 220VIII.5. Методы Адамса ................................................................................. 222VIII.6. Экстраполяция Ричардсона ..............................................................

223VIII.7. Задачи на доказательство ................................................................. 224VIII.8. Задачи с решениями .......................................................................... 226VIII.9. Теоретические задачи ....................................................................... 230VIII.10. Практические задачи ...................................................................... 236VIII.11.

Устойчивость методов Рунге–Кутты на различных типахтраекторий и практические задачи ..................................................... 237VIII.12. Библиографический комментарий ................................................

239ЛИТЕРАТУРА .............................................................................................. 2407ПредисловиеДорогие читатели!Вы держите в руках первую часть учебного пособия «Практическиезанятия по вычислительной математике в МФТИ». В пособии содержитсяматериал, соответствующий первой части курса, обычно изучаемой восеннем семестре.Практическая работа на семинарах – важная часть курса.

Первыйсборник задач для практических занятий был подготовлен на кафедре ещев 1974 году [1]. С тех пор менялось и совершенствовалось наполнениекурсов, изданы книги, соответствующие курсам, читаемым в МФТИ [2–5].Появилась необходимость в новых сборниках задач [6].Кроме того, время изменилось. Если в 1974 году практические задачис реализацией на компьютере занимали лишь малую часть нагрузки накаждого студента, то сейчас персональный компьютер легко доступенкаждому.

Поэтому возникла необходимость радикальной смены содержания практической части.Пособие строится следующим образом. В начале каждой темы приводятся справочные материалы, необходимые для решения задач. Некоторые необходимые разделы, традиционно не освещаемые в лекциях, изложены достаточно подробно.В каждой теме приводятся задачи с решениями. Задания для самостоятельной работы делятся на задачи на доказательства, теоретические задачи и практические задачи, предполагающие реализацию на компьютере.При подготовке пособия использованы задачники и учебники[1, 7, 8]. Многие из приведенных задач являются авторскими. Составителиданного пособия выражают благодарность авторам задач – этоВ. С. Рябенький,А. С. Холодов,В.

Б. Пирогов,И. Б. Петров,В. И. Косарев,Т. К. Старожилова,М. В. Мещеряков,Л. А. Чудов,О. А. Пыркова и другие коллеги по кафедре вычислительной математикиМФТИ.Желаем всем читателям успехов в изучении курса!8I. ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙI.1. ВведениеПри оценке достоверности результатов численного расчета ключевую роль играет анализ погрешностей, неизбежно возникающих прилюбом использовании компьютера.

В первой главе вы познакомитесь сосновными источниками возникновения погрешности.Весь классический математический анализ опирается на понятиедействительного числа. При этом действительное число понимается какбесконечная, вообще говоря, непериодическая десятичная дробь. Приработе на вычислительной системе бесконечные десятичные дроби заменяются их конечными приближениями. Ввиду того что и мантиссачисла при работе с числами в формате с плавающей точкой, и порядокограничены и сверху и снизу, мы имеем дело с конечным (хотя и оченьбольшим) множеством чисел, которые могут быть представлены в машинной арифметике.Возникает актуальная проблема соответствия результатов решенияконечномерной задачи при решении ее на конечном подмножестве действительных чисел и точного решения задачи. Точное решение задачи,как правило, на ЭВМ невозможно в силу указанных причин.Как будет показано ниже, результаты вычислений могут существенноменяться при изменении внутреннего машинного представления действительных чисел.

Кроме того, дается краткая теоретическая справка по теории погрешностей.Рассматривается также задача приближенного вычисления производных функции – задача численного дифференцирования. Рассматриваетсявлияние погрешностей метода и погрешностей округления на результатвычислений.I.2.

Погрешности вычислений. Теоретическая справкаНапомним некоторые понятия, связанные с погрешностями. Если a –точное значение некоторой величины, a* – ее приближенное значение, тоабсолютной погрешностью величины a* обычно называют наименьшуювеличину Δ(a*), про которую известно, что| a*  a |   (a* ).9I. ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙОтносительной погрешностью приближенного значения называютнаименьшую величину δ(a*), про которую известно, что*(a  a )a* (a * ).В любой вычислительной задаче по некоторым входным данным требуется найти ответ на поставленный вопрос.

Для вычисления значенияфункции y = f (x) при x = t входными данными задачи служат число x изакон f, по которому каждому значению аргумента x ставится в соответствие значение функции y = f(x).Если ответ можно дать с любой точностью, то погрешность отсутствует. Но обычно ответ удается найти лишь приближенно.

Погрешностьзадачи вызывается тремя причинами.Первая – неопределенность при задании входных данных, котораяприводит к неопределенности в ответе. Ответ может быть указан лишь спогрешностью, которая называется неустранимой.Проиллюстрируем понятие неустранимой погрешности на примере.Пусть функция f(x) известна приближенно, например, она отличается отsin x не более чем на величину ε > 0:(2.1)sin ( x)    f ( x)  sin ( x)  .Кроме того, пусть значение аргумента x = t получается приближеннымизмерением, в результате которого получаем x = t*, причем известно, что tлежит в пределахt*    t  t*  ,(2.2)где δ > 0 – число, характеризующее точность измерения (для определенности будем считать, что функция sin t на отрезке (2.2) монотонно возрастает).Величиной y = f(t) может оказаться любая точка отрезка y  [a, b](см. рис. 1.1), где a = sin(t* – δ) – ε, b = sin(t* + δ) + ε. Понятно, что, принявза приближенное значение величины y = f (x) любую точку y* отрезка[a, b], можно гарантировать оценку погрешности:| y  y* |  | b  a | .(2.3)Эту гарантированную оценку погрешности нельзя существенно улучшитьпри имеющихся неполных входных данных.10I.2.

Погрешности вычислений. Теоретическая справкаРис. 1.1. К приближенному вычислению значения функцииСамая малая погрешность получается, если принять за y середину отрезка [a, b], положив* y *  y опт|ba |2.Тогда справедливая оценка* || y  y опт|ba |2(2.4).Таким образом, 0.5|b – a| и есть та неустранимая (не уменьшаемая)погрешность, которую можно гарантировать при имеющихся неопределенных входных данных в случае самого удачного выбора приближенногорешения y*опт. Оптимальная оценка (2.4) ненамного лучше оценки (2.3).Поэтому не только о точке y*опт, но и о любой точке y*  [a, b] условимсяговорить, что она является приближенным решением задачи вычислениячисла y(t), найденным с неустранимой погрешностью, а вместо 0.5|b – a|из (2.4) за величину неустранимой погрешности примем (условно) число|b – a|.Вторая причина возникновения погрешности состоит в том, что прификсированных входных данных ответ вычисляется с помощью приближенного метода. Возникает погрешность, связанная с выбором метода –погрешность метода вычислений.