Учебник - Малые колебания в механических системах - Сидоренко В.В.

mOSKOWSKIJFIZIKO-TEHNI^ESKIJ INSTITUTw.w.sIDORENKOmALYEKOLEBANIQW MEHANI^ESKIH SISTEMAHmOSKWA20041wWEDENIErASSMOTRIM MEHANI^ESKU@ SISTEMU S KONE^NYM ^ISLOM STEPENEJSWOBODY n , WOZMOVNYE POLOVENIQ KOTOROJOPREDELQ@TSQ OBOB]ENTNYMI KOORDINATAMI q = (q1 : : : qn) . pRI ISSLEDOWANII POWEDENIQDANNOJ SISTEMYW MALOJ OKRESTNOSTI POLOVENIQ RAWNOWESIQ q =T(q1 : : : qn) URAWNENIQ DWIVENIQ CELESOOBRAZNO LINEARIZOWATX{ WYDELIW W \TIH URAWNENIQH ^LENY, LINEJNYE OTNOSITELXNOOTKLONENIJ OT POLOVENIQ RAWNOWESIQ q ; q I SKOROSTEJ q_ ,PRENEBRE^X ^LENAMI BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI. aNALIZDINAMIKI SISTEMY NA OSNOWE POLU^ENNYH PODOBNYM OBRAZOMPRIBLIVENNYH URAWNENIJ QWLQETSQ OSNOWNOJ ZADA^EJ TEORII MALYHKOLEBANIJ.2rAZDEL ImALYE KOLEBANIQW KONSERWATIWNYH SISTEMAHNAZYWA@T MEHANI^ESKU@ SISTEMU SO STACIONARNYMI SWQZQMI, W KOTOROJ WSE (OBOB]ENNYE) SILY POTENCIALXNY IPOTENCIALXNAQ \NERGIQ NE ZAWISIT OT WREMENI.kONSERWATIWNOJ1.oSNOWNYE PONQTIQbEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI BUDEMS^ITATX, ^TO W POLOVENII RAWNOWESIQ OBOB]ENNYE KOORDINATYq = 0 I (0) = 0.uRAWNENIQ DWIVENIQ KONSERWATIWNOJ SISTEMY MOVNO ZAPISATX WFORME URAWNENIJ lAGRANVA WTOROGO RODA1.1.

uRAWNENIQ DWIVENIQ.d @T ! ; @T = ; @ :dt @ q_@q@q(1:1)pREDPOLAGAQ W (1.1) KINETI^ESKU@ \NERGI@ T (q q_ ) I POTENCIALXNU@ \NERGI@ (q) ANALITI^ESKIMI FUNKCIQMI SWOIHARGUMENTOW, RAZLOVIM \TI FUNKCII W RQDY tEJLORA:GDEnnXXcjk qj qk + : : :T = 12 ajk q_j q_k + : : : = 12j k=1j k=1(1:2)22 :ajk = @ q@_ @Tq_ cjk = @q@ @qj k =0j k =0qqoTSUTSTWIE LINEJNYH ^LENOW W RAZLOVENII DLQ POTENCIALXNOJ\NERGII { SLEDSTWIE RAWENSTWA NUL@ OBOB]ENNYH SIL W POLOVENIIRAWNOWESIQ:@Qj (0) = ; @q = 0 j = 1 n:jq=0wOSPOLXZOWAWISX WYRAVENIQMI (1.2) DLQ T (q q_ ) I (q),POLU^IM, ^TO W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE URAWNENIQ DWIVENIQMOVNO ZAPISATX SLEDU@]IM OBRAZOM:nXk=1(ajk qk + cjk qk ) + : : : = 0 j = 1 n:3(1:3)mNOGOTO^IE W (1.3) OBOZNA^AET SOWOKUPNOSTX ^LENOW WTOROGO I BOLEEWYSOKIH PORQDKOW OTNOSITELXNO q q_ .

pRENEBREGAQ \TIMI ^LENAMI,POLU^IM LINEARIZOWANNYE URAWNENIQ DWIVENIQ:nXk=1(ajk qk + cjk qk) = 0 j = 1 n:(1:4)ILI (W MATRI^NOJ FORME)Aq + C q = 0GDE A = (ajk ) C = (cjk ) { SIMMETRI^NYE n n -MATRICY.w DALXNEJEM MATRICU A BUDEM NAZYWATX MATRICEJ INERCII,MATRICU C { MATRICEJ VESTKOSTI.oTMETIM, ^TO URAWNENIQ (1.4) POLU^ATSQ I W TOM SLU^AE,KOGDA UVE PRI POSTROENII URAWNENIJ DWIVENIQ W FORMEURAWNENIJ lAGRANVA KINETI^ESKAQ I POTENCIALXNAQ \NERGIIAPPROKSIMIRU@TSQ KWADRATI^NYMI FORMAMIT = 12 (q_ Aq_ ) = 12 (q C q):zDESX ( ) { SKALQRNOE PROIZWEDENIE W En .(1:5)1.2. nORMALXNYE KOORDINATY. iZ ESTESTWENNOGO USLOWIQT > 0 PRI q_ > 0 WYTEKAET POLOVITELXNAQ OPREDELENNOSTXKWADRATI^NOJ FORMY 2T = (q_ Aq_ ). oSNOWYWAQSX NA IZWESTNOJTEOREME LINEJNOJ ALGEBRY OB ODNOWREMENNOM PRIWEDENII KKANONI^ESKOMU WIDU PARY KWADRATI^NYH FORM, ODNA IZ KOTORYHPOLOVITELXNO OPREDELENA, MOVNO SDELATX WYWOD O SU]ESTWOWANIINEWYROVDENNOJ WE]ESTWENNOJ ZAMENY KOORDINATq = U = (1 : : : n)T(1:6)POZWOLQ@]EJ PREOBRAZOWATX WYRAVENIQ DLQ KINETI^ESKOJ IPOTENCIALXNOJ \NERGIJ K WIDUn_ =1X_j2T = 12 (_ )2 j=1nX = 21 ( ) = 12 j j2 = diag(1 : : : n):i=1pOKAVEM, ^TO KO\FFICIENTY 1 : : : n (KO\FFICIENTY pUANKARE)QWLQ@TSQ KORNQMI WEKOWOGO URAWNENIQdet(C ; A) = 0:4(1:7)pRINIMAQ WO WNIMANIE PRAWILA PREOBRAZOWANIQ MATRIC KWADRATI^NYH FORM PRI ZAMENAH KOORDINAT, POLU^IM:det( ; E ) = det(U T CU ; U T AU ) == det U T (C ; A)U = det U T det(C ; A) det U:tAK KAK det U = det U T =6 0 (ZAMENA (1.6) NEWYROVDENA!),MNOVESTWO KORNEJ WEKOWOGO URAWNENIQ (1.7) DOLVNO SOWPADATX SOMNOVESTWAM KORNEJ URAWNENIQdet( ; E ) = (;1)nnY( ; i) = 0:k=1oBOB]ENNYE KOORDINATY NAZYWA@T GLAWNYMI ILI NORMALXNYMIKOORDINATAMI.

w GLAWNYH KOORDINATAH URAWNENIQ DWIVENIQRASPADA@TSQ NA n URAWNENIJ WTOROGO PORQDKA OTNOSITELXNO ODNOJNEIZWESTNOJ FUNKCIIj + j j = 0 j = 1 nlEGKO NAJTI OB]EE REENIE URAWNENIJ (1.8):8>C cos(!t + C2)PRI = !2 > 0>> 1>>< = > C1t + C2>>>pp>: C1e ;t + C2e; ;tPRI = 0PRI < 0(1:8)(KOLEBANIQ)01BEZRAZLI^NOE@ARAWNOWESIEQ(NEUSTOJ^IWOSTX)(1:9)zNA^ENIQ POSTOQNNYH WELI^IN C1 C2 W (1.9) OPREDELQ@TSQNA^ALXNYMI USLOWIQMI.iZ SOOTNOENIJ (1.9) SLEDUET, ^TO PRI NALI^II W WYRAVENIIDLQ POTENCIALXNOJ \NERGII HOTQ BY ODNOGO KO\FFICIENTA j 0BUDUT SU]ESTWOWATX FAZOWYE TRAEKTORII, POKIDA@]IE OKRESTNOSTXPOLOVENIQ RAWNOWESIQ ZA KONE^NOE WREMQ. w DALXNEJEM BUDEMPREDPOLAGATX WYPOLNENNYM USLOWIE j >0(j = 1 n),GARANTIRU@]EE PREBYWANIE FAZOWOJ TRAEKTORII W OKRESTNOSTIPOLOVENIQ RAWNOWESIQ NA NEOGRANI^ENNOM INTERWALE WREMENI (W\TOM SLU^AE POTENCIALXNAQ \NERGIQ (q) IMEET IZOLIROWANNYJMINIMUM W TO^KE q = 0 TAKIM OBRAZOM, PO TEOREME lAGRANVAPOLOVENIE RAWNOWESIQ USTOJ^IWO PO lQPUNOWU W SILU TO^NYHNELINEJNYH URAWNENIJ DWIVENIQ).51.3.

sOBSTWENNYE KOLEBANIQ.URAWNENIJ (1.3)rASSMOTRIM ^ASTNOE REENIEk (t) = Ck1sin(!k t + Ck2) j 0 (j = 1 n j 6= k):w ISHODNYH KOORDINATAH ONO BUDET IMETX WIDq(t) = Ck1uk sin(!k t + Ck2)(1:10)GDE uk { k-J STOLBEC MATRICY U . dWIVENIE, OPISYWAEMOESOOTNOENIEM (1.10), BUDEM NAZYWATX k-YM GLAWNYM ILI NORMALXNYM KOLEBANIEM. wEKTOR uk , HARAKTERIZU@]IJ WZAIMOSWQZXIZMENENIJ OBOB]ENNYH KOORDINAT W \TOM DWIVENII, NAZYWA@TAMPLITUDNYM WEKTOROM k-GO GLAWNOGO KOLEBANIQ.

dWIVENIQ(1.10) NAZYWA@T TAKVE SOBSTWENNYMI KOLEBANIQMI, ^ASTOTY \TIHKOLEBANIJ { SOBSTWENNYMI ^ASTOTAMI.oB]EE REENIE URAWNENIJ (1.4) QWLQETSQ SUMMOJ SOBSTWENNYHKOLEBANIJnXq(t) =k=1Ck1uk sin(!i t + Ck2)(1:11)oTMETIM, ^TO PRI NESOIZMERIMYH ^ASTOTAH SOBSTWENNYHKOLEBANIJ !k (k = 1 n) DWIVENIE (1.11) BUDET NEPERIODI^ESKIM.pRI IZU^ENII DINAMIKI KONKRETNYH MEHANI^ESKIH SISTEMWEKTORA GLAWNYH KOLEBANIJ RAZYSKIWA@T KAK SOBSTWENNYE WEKTORAMATRICY C OTNOSITELXNO MATRICY A :C u = Au:eSLI WEKTORA uk I uj OTWE^A@T SOBSTWENNYM KOLEBANIQM SRAZNYMI ^ASTOTAMI !k = 1k=2 I !j = 1j =2 , TO TOGDA(uk Auj ) = 0:(1:12)dLQ TOGO, ^TOBY UBEDITXSQ W \TOM, DOMNOVIM SOOTNOENIQC uj = j Auj C uk = k AukNA uk I uj SOOTWETSTWENNO.

pOSLE \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJPOLU^IM:j (uk Auj ) = (uk C uj ) = (uj C uk ) = k (uj Auk) = k (uk Auj ):tAK KAK j =6 k , RAWENSTWO j (uk Auj ) = k (uk Auj ) WOZMOVNOTOLXKO PRI (uj Auk ) = 0.6rIS. 1pROIZWOL W WYBORE NEZAWISIMYH AMPLITUDNYH WEKTOROW IZSOBSTWENNOGO PODPROSTRANSTWA POZWOLQET OBESPE^ITX WYPOLNENIEUSLOWIQ IH A-ORTOGONALXNOSTI (1.12) I W TOM SLU^AE, KOGDA jQWLQETSQ KRATNYM KORNEM WEKOWOGO URAWNENIQ.pRI FORMIROWANIQ MATRICY U AMPLITUDNYE WEKTORA SLEDUETNORMIROWATX W SOOTWETSTWII S USLOWIEM (uj Auj ) = 1.z A D A ^ A. dOKAZATX s-ORTOGONALXNOSTX AMPLITUDNYH WEKTOROW.iSSLEDUEM MALYE KOLEBANIQ SISTEMY IZ DWUHMATEMATI^ESKIH MAQTNIKOW, SOEDINENNYH NEWESOMOJ PRUVINOJ,DLINA KOTOROJ W NEDEFORMIROWANNOM SOSTOQNII RAWNA RASSTOQNI@MEVDU TO^KAMI PODWESA (RIS.

1). mASSY MAQTNIKOW m , DLINYl , VESTKOSTX PRUVINY c . pREDPOLAGAETSQ, ^TO MAQTNIKI MOGUTDWIGATXSQ TOLXKO W WERTIKALXNOJ PLOSKOSTI, SODERVA]EJ TO^KIPODWESA.sISTEMA IMEET DWE STEPENI SWOBODY. w KA^ESTWENNO OBOB]ENNYHKOORDINAT q = (q1 q2)T UDOBNO ISPOLXZOWATX UGLY OTKLONENIQMAQTNIKOW OT WERTIKALI.kINETI^ESKAQ \NERGIQ SISTEMY1.4. pRIMER.012T (q_ ) = 12 ml2 (q_12 + q_22) = 21 (q Aq) A = @ ml0 ml0 2 A :wYRAVENIE DLQ POTENCIALXNOJ \NERGIIq2c222(q) = 2 L + l(sin q2 ; sin q1)] + l (cos q1 ; cos q2) ; L ;(1:13);mgl(cos q1 + cos q2)GDE L { RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI PODWESA MAQTNIKOW. wOKRESTNOSTI USTOJ^IWOGO POLOVENIQ RAWNOWESIQ q1 = q2 = 07APPROKSIMIRUEM (1.13) (S TO^NOSTX@ DO NESU]ESTWENNOJ POSTOQNNOJWELI^INY) KWADRATI^NOJ FORMOJ:hi(q) = 21 cl2(q1 ; q2)2 + mgl(q12 + q22) = 12 (q C q)0C = @ l(mg +2 cl);cl21A:;cll(mg + cl)wEKOWOE URAWNENIE det(C ; A) = 0 POSLE \LEMENTARNYHPREOBRAZOWANIJ PRINIMAET SLEDU@]IJ WID:m2l42 ; 2ml3(mg + cl) + mgl2(mg + 2cl) = 0:(1:14)kORNQMI KWADRATNOGO URAWNENIQ (1.14) BUDUT!gg2cl1 = l 2 = l 1 + mgSOOTWETSTWU@]IE SOBSTWENNYE ^ASTOTYvs!uugg2clt!1 = l !2 = l 1 + mg :w KA^ESTWE AMPLITUDNOGO WEKTORA u1 SLEDUET WZQTX KAKOE-LIBONETRIWIALXNOE REENIE LINEJNOJ SISTEMY(C ; 1A)u = 0:(1:14)sU]ESTWOWANIE TAKIH REENIJ GARANTIROWANO RAWENSTWOM NUL@DETERMINANTA MATRICY SISTEMY.oBRATIWISX K QWNYMWYRAVENIQM DLQ \LEMENTOW MATRIC A I C , PEREPIEM (1.14) WRAZWERNUTOJ FORME:0 210 12cl;cl@A @ u1 A = 0:(1:15)22;cl clu2lEGKO PROWERITX, ^TO ^ASTNYM REENIEM SISTEMY (1.15) BUDETu1 = (1 1)T .

w SOOTWETSTWU@]EM SOBSTWENNOM KOLEBANII MAQTNIKIDWIVUTSQ SINFAZNO, PRUVINA NE DEFORMIRUETSQ (RIS. 2).aNALOGI^NYM OBRAZOM SISTEMA (C ; 2A)u = 0 PRIWODITSQ KWIDU010 122;cl;cl@A @ u1 A = 0:22;cl ;clu2w KA^ESTWE WTOROGO AMPLITUDNOGO WEKTORA WOZXMEM u2 = (1 ;1)T .sOBSTWENNOE KOLEBANIE W \TOM SLU^AE PREDSTAWLQET DWIVENIE8arIS. 2bMAQTNIKOW W PROTIWOFAZE S UWELI^IWEJSQ IZ-ZA NALI^IQ PRUVINY^ASTOTOJ (RIS.

2).w OB]EM SLU^AE0 10 101q111@ A = C11 @ A sin (!1t + C12)+ C21 @A sin (!2 t + C22) : (1:16);1zAMETIM, ^TO AMPLITUDNYE WEKTORA u1 I u2 MOVNO BYLOWYPISATX BEZ PROWEDENIQ KAKIH-LIBO WY^ISLENIJ, OPIRAQSXTOLXKO NA SOOBRAVENIQ SIMMETRII. w MNOGIH ZADA^AH OMALYH KOLEBANIQH PODOBNYE SOOBRAVENIQ UPRO]A@T REENIE ILIPOZWOLQ@T UBEDITXSQ W ISTINNOSTI REZULXTATOW, POLU^ENNYH SPOMO]X@ SLOVNYH WYKLADOK. kOGDA PRUVINA O^ENX SLABAQ " = mgcl 1 , W DANNOJ SISTEMENABL@DAETSQ \FFEKT PEREKA^KI \NERGII: ESLI, NAPRIMER, WMOMENT WREMENI t = 0 MAQTNIKI POKOILISX I GRUZIKU ODNOGO IZNIH BYLA SOOB]ENA SKOROSTX v , TO ^EREZ NEKOTOROE WREMQ T \TOTMAQTNIK BUDET PO^TI NEPODWIVEN, A WSQ \NERGIQ PEREJDET WTOROMU.rASPOLAGAQ OB]IM REENIEM (1.16), NAJDEM, ^TO PRI NA^ALXNYHUSLOWIQHvq21q1(0) = q2(0) = q_2 = 0 q_1 = lMALYE KOLEBANIQ OPISYWA@TSQ FORMULAMI!vsin!sin!1t2tq1(t) = 2l ! + !(1:17)12!vsin!sin!1t2tq2(t) = 2l ! ; ! :12pRINIMAQ WO WNIMANIE MALOE OTLI^IE ^ASTOT !1 I !2 PRI " 1(!2 (1 + ")!1 ), POLU^IM:!vv"!"1tq1(t) 2! l (sin !1 t + sin !2t) = ! l cos 2 sin !1 1 + 2 t119rIS.

3.bIENIQ.!vv"!"1tq2(t) 2! l (sin !1t ; sin !2t) = ; ! l sin 2 cos !1 1 + 2 t11tAKIM OBRAZOM, W OBSUVDAEMOM " DWIVENII MAQTNIKI SOWERA@T0KOLEBANIQ S ^ASTOTOJ ! = 1 + 2 !1 , AMPLITUDA KOTORYH MEDLENNOIZMENQETSQ. ~EREZ WREMQ T = =!1" BUDET KOLEBATXSQ TOLXKOWTOROJ MAQTNIK, KOLEBANIQ PERWOGO PRAKTI^ESKI ZATUHNUT.

wMOMENT WREMENI t = 2T SITUACIQ BUDET PROTIWOPOLOVNOJ (rIS.3).2.tEOREMY r\LEQwBOLXINSTWE SLU^AEW \KSPERIMENTALXNOE OPREDELENIE SOBSTWENNYH^ASTOT REALXNYH MEHANI^ESKIH SISTEM, SOWERA@]IH MALYEKOLEBANIQ, PREDSTAWLQET OTNOSITELXNO PROSTU@ ZADA^U NAJTIAMPLITUDNYE WEKTORA SU]ESTWENNO SLOVNEE. sTEPENX SOOTWETSTWIQTEORETI^ESKIH I \KSPERIMENTALXNYH ZNA^ENIJ SOBSTWENNYH ^ASTOTSLUVIT ODNIM IZ GLAWNYH KRITERIEW KORREKTNOSTI MATEMATI^ESKOJMODELI IZU^AEMOJ SISTEMY. pOLU^ENIE SOBSTWENNYH WEKTOROWO^ENX ^ASTO WOOB]E NE WHODIT W CELI ISSLEDOWANIQ ILI IMEETWTOROSTEPENNOE ZNA^ENIE.pRIME^ATELXNYM FAKTOM QWLQETSQ WOZMOVNOSTX ZAPISATXWYRAVENIE DLQ KAKOJ-LIBO SOBSTWENNOJ ^ASTOTY, NESODERVA]EEDRUGIH SOBSTWENNYH ^ASTOT I AMPLITUDNYH WEKTOROW.t EO R E M A (r\LEJ-kURANT-fIER).