Учебник - Малые колебания в механических системах - Сидоренко В.В., страница 2

sOBSTWENNYE ^ASTOTY!1 !2 : : : !n2.1. |KSTREMALXNYE SWOJSTWA SOBSTWENNYH ^ASTOT.MOVNO OPREDELITX SLEDU@]IM OBRAZOM:!12 = min ((qq CAqq))q10(2:1)(q C q)!22 = jmaxminj=1 ()=0 (q Aq):::::::::::::::::::::(q C q)!n2 = jmaxminj=1 ()=0 (q Aq)qqqkqqk qk=1 ::: nzDESX I DALEE PRI ZAPISI KAKIH-LIBO WYRAVENIJ, WKL@^A@]IHOTNOENIE KWADRATI^NYH FORM, PREDPOLAGAETSQ, ^TO q 6= 0.dO K A Z AT EL X S TW O. pOSLE PEREHODA K GLAWNYM KOORDINATAMIMEEM:(q C q) = !1212 + : : : + !n2 n2 !2:1(q Aq)12 + : : : + n2pRI 1 =6 0 2 = : : : n = 0sLEDOWATELXNO,(q C q) = !2 :(q Aq) 1!12 = min ((qq CAqq)) :qrASSMOTRIM TEPERX ZADA^U OTYSKANIQ MINIMUMA PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII (q q) = 0, GDE q { PROIZWOLXNO WYBRANNYJEDINI^NYJ WEKTOR. pRI PEREHODE K NORMALXNYM KOORDINATAMDANNOE USLOWIE PRIOBRETAET WID( ) = 0 = U T q =6 0:w TOM SLU^AE, KOGDA 11 + 22 = 0, 3 = : : : n = 0, POLU^IM:(q C q) = !1212 + !2222 !2 :2(q Aq)12 + 22oTS@DA SLEDUET, ^TO NEZAWISIMO OT WYBORAq(q C q) !2:min(2:2)2() (q Aq)pRI q = Au1=jAu1j ( = (1 0 : : : 0)T ) WYRAVENIE W LEWOJ ^ASTINERAWENSTWA (2.2) RAWNO !22 :(q C q) = min !2222 + : : : + !n2 n2 = !2:minP 2 >0 2 + : : : + 22()=0 (q Aq)=22nqqqqnkk11tAKIM OBRAZOM,(q C q)!22 = jmaxminj=1 ()=0 (q Aq)aNALOGI^NYE FORMULY DLQ !3 : : : !n POLU^A@TSQ NA OSNOWEPOHOVIH RASSUVDENIJ.qqq2.2.pOWEDENIE SOBSTWENNYH ^ASTOT PRI WNESENIIIZMENENIJ W MEHANI^ESKU@ SISTEMU.

pREDPOLOVIM, ^TOPARAMETRY MEHANI^ESKOJ SISTEMY PO KAKIM-TO PRI^INAM IZMENILISX, NO, KAK I PREVDE, POLOVENIE q = 0 QWLQETSQ POLOVENIEMRAWNOWESIQ, W OKRESTNOSTI KOTOROGO SISTEMA MOVET SOWERATXMALYE KOLEBANIQ S SOBSTWENNYMI ^ASTOTAMI!e 1 !e 2 : : : !e n :pUSTX Af I Cf { MATRICY INERCII I VESTKOSTI MODIFICIROWANNOJSISTEMY.

gOWORQT, ^TO SISTEMA STALA MENEE INERCIONNOJ, ESLI(q Afq) (q Aq) DLQ 8q 2 Rn Cf = C:w SLU^AEAf = A (q Cfq) (q C q) DLQ 8q 2 RnGOWORQT OB UWELI^ENII VESTKOSTI SISTEMY.t EO R E M A (r\LEJ). pRI UWELI^ENII VESTKOSTI SISTEMY ILIUMENXENII EE INERCII SOBSTWENNYE ^ASTOTY UWELI^IWA@TSQ:!k !e k k = 1 n .dO K A Z AT EL X S TW O.

pRI OBSUVDAEMYH IZMENENIQH SWOJSTWSISTEMY(q C q) (q Cfq)(2:3)(q Aq) (q Afq)GDE q =6 0. o^EWIDNO, ^TOfq)(q C q)(qCmin (q Aq) min f(2:4)(q Aq)nERAWENSTWO (2.4) OZNA^AET, ^TO !1 !e 1 : W SOOTWETSTWII STEOREMOJ r\LEQ-kURANTA-fIERAfq)(q C(q C q)2min (q Aq) = !1 min f = !e 12 :(q Aq)qqqq12rIS. 4.rAZDELENIE ^ASTOT.zAPIEM E]E ODNO NERAWENSTWO, WYTEKA@]EE IZ (2.3). pRI L@BOMWYBORE EDINI^NYH WEKTOROW q1 : : : qk;1(1 < k n)fq)(q C q)(q Cminmin(2:5)f :()=0 j =1 k;1 (q Aq)()=0 j =1 k;1 (q Aq)pUSTX q1 : : : qk;1 { NABOR WEKTOROW, OBESPE^IWA@]IH NAIBOLXEEZNA^ENIE WYRAVENI@ W LEWOJ ^ASTI NERAWENSTWA (2.5) (TAKOJ NABORDEJSTWITELXNO SU]ESTWUET { DANNOE WYRAVENIE, RASSMATRIWAEMOEKAK FUNKCIQ q1 : : : qk;1 IMEET ZAMKNUTU@ OGRANI^ENNU@ OBLASTXOPREDELENIQ).

oSNOWYWAQSX NA TEOREME r\LEQ-kURANTA-fIERA,POLU^IM:(q C q) !k = max min ((qq CAqq)) =minj j=1 ()=0()=0 j =1 k;1 (q Aq)jqjqqjq(jqjqqjqqj =1 k;1(qmin)=0 j =1 k;1 (qqqCfq) max min (qAfq) j j=1 ( )=0 (qjqjqqj =1 k;1Cfq) = !e :Afq) ktEOREMA DOKAZANA.rASSMOTRIM TEPERX, ^TO PROIZOJDET PRI NALOVENII NA SISTEMUDOPOLNITELXNO STACIONARNOJ GOLONOMNOJ SWQZI f (q) = 0. eSLIUSTOJ^IWOE POLOVENIE RAWNOWESIQ q = 0 SOWMESTIMO S DANNOJSWQZX@, MODIFICIROWANNAQ PODOBNYM OBRAZOM SISTEMA (UVE S n ; 1STEPENQMI SWOBODY!) TAKVE MOVET SOWERATX MALYE KOLEBANIQ WOKRESTNOSTI POLOVENIQ \TOGO POLOVENIQ RAWNOWESIQ.t EO R E M A . sOBSTWENNYE ^ASTOTY 1 : : : n;1 SISTEMYS DOPOLNITELXNOJ SWQZX@ RAZDELQ@T SOBSTWENNYE ^ASTOTYISHODNOJ SISTEMY:!1 1 !2 2 : : : !n;1 n;1 !n:13(2:6)dO K A Z AT EL X S TW O.

rASSUVDENIQ, ANALOGI^NYE ISPOLXZOWANNYM DLQ DOKAZATELXSTWA TEOREMY r\LEQ-kURANTA-fIERA,POZWOLQ@T USTANOWITX, ^TO(q C q)12 = ( min)=0 (q Aq)(q C q)22 = jmaxminj=1 ( )=0 ()=0 (q Aq):::::::::::::::::::::(q C q)n2;1 = maxminj j=1 ( )=0 ()=0 (q Aq)f qqf qqjqqjf q(2:7)qj =1 ::: n;1Pn f qk=1 k kqGDE USLOWIE (f q) == 0 QWLQETSQ LINEJNOJAPPROKSIMACIEJ SWQZI f (q) = 0.

nEOBHODIMO OTMETITX, ^TO W (2.8)FIGURIRU@T OBOB]ENNYE KOORDINATY, MATRICA INERCII I MATRICAVESTKOSTI ISHODNOJ SISTEMY.iZ O^EWIDNOGO SOOTNOENIQq)(q C q) max min (q C q)min ((qq CminAq) ( )=0 (q Aq) j j=1 ( )=0 (q Aq)WYTEKAET !1 1 !2 . pRODOLVIW SOPOSTAWLENIE WYRAVENIJ (2.1)I (2.7), MOVNO USTANOWITX ISTINNOSTX WSEJ CEPO^KI NERAWENSTW(2.6).qf qqqqz A D A ^ A. kAK IZMENITSQ ^ASTOTA ZWU^ANIQ KOLOKOLA PRI POQWLENII TRE]INY?wYNUVDENNYE KOLEBANIQKONSERWATIWNOJ SISTEMY3.3.1.oSNOWNYE SWOJSTWA WYNUVDENNYH KOLEBANIJ.mALYE KOLEBANIQ MEHANI^ESKOJ SISTEMY PRI SOWMESTNOMDEJSTWII POTENCIALXNYH SIL ; @@ I NEKOTORYH ZAWISQ]IH OTWREMENI OBO]ENNYH SIL Q(t) = (Q1(t) : : : Qn(t))T OPISYWAETSQURAWNENIQMIqAq + C q = Q(t)(3:1)rAZLOVIM WEKTOR WYNUVDA@]IH SIL Q(t) PO BAZISNYM WEKTORAMW PROSTRANSTWE Rn :Q(t) =nXk=114ekQk (t)(3:2)GDEek = (0::: 0sUMMA REENIJ URAWNENIJ1k-YJ0 : : : 0)T :\LEMENTAq + C q = ek Qk (t) k = 1 n(3:3)BUDET REENIEM ISHODNOJ SISTEMY (3.1).iZU^IM SWOJSTWA REENIJ URAWNENIJ WIDA (3.3), PREDPOLAGAQ DLQPROSTOTY, ^TO Qk (t) = F cos t (ANALIZ OB]EGO SLU^AQ NESKOLXKOSLOVNEE, NO NE IMEET KAKIH-LIBO PRINCIPIALXNYH OTLI^IJ).pOSLE PEREHODA W (3.3) K NORMALXNYM KOORDINATAM = U ;1qPOLU^IM: + = FU T ek cos t(3:4)ILI (W KOORDINATNOJ ZAPISI)j + !j2 = Fukj cos t j = 1 n:(3:5):eSLI = !s 1 s n , TO GOWORQT, ^TO W SISTEME IMEET MESTOREZONANS.

w OB]EM SLU^AE PRI REZONANSE = !s s -AQ KOMPONENTAREENIQ URAWNENIJ (3.4) WOZRASTAET NEOGRANI^ENNYM OBRAZOM:s(t) = u2ks!F2 (!s t) sin !s t ; cos !s t] + s(t):(3:6)szDESX s(t) { OB]EE REENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ s + !s2s = 0.w DALXNEEM MY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO REZONANSA MEVDU^ASTOTOJ WYNUVDA@]EJ SILY I SOBSTWENNYMI ^ASTOTAMI MEHANI^ESKOJ SISTEMY NET ( 6= !j j = 1 n ). w \TOM SLU^AE URAWNENIQ(3.5) IME@T ^ASTNOE REENIEj (t) = ukj!F2 ;cos2t j = 1 n:(3:7)jw KOORDINATAH q DWIVENIE (3.7) OPISYWAETSQ FORMULOJq(t) = FV ek cos t(3:8)GDEV = U ( ; 2E );1 U T :15(3:9)rIS. 5|LEMENTY vjk (n n)-MATRICY V NAZYWA@TSQ GARMONI^ESKIMIKO\FFICIENTAMI WLIQNIQ:vjk =ujs uks :s=1 !s2 ; 2nX(3:10)kO\FFICIENT vjk HARAKTERIZUET OTKLIK j -OJ KOORDINATY NAWOZBUVDENIE PO k -OJ KOORDINATE.

eSLI vjk > 0, KOLEBANIQ PO j OJ KOORDINATE PROISHODQT SINFAZNO S IZMENENIEM WYNUVDA@]EJSILY. eSLI vjk < 0, TO KOLEBANIQ SOWERA@TSQ W PROTIWOFAZE.pRI NEKOTORYH ZNA^ENIQ ^ASTOTY KAKIE-TO KO\FFICIENTYWLIQNIQ MOGUT OBRATITXSQ W NULX. oTSUTSTWIE OTKLIKA POKAKOJ-TO KOORDINATE NA PRIKLADYWAEMOE K MEHANI^ESKOJ SISTEMEPERIODI^ESKOE WOZDEJSTWIE NAZYWAETSQ ANTIREZONANSOM.u P R A V N E N I E. pROWERITX, ^TO PRI n = 1 WYNUVDENNOE DWIVENIE SOWPADAETPO FAZE S WYNUVDA@]EJ SILOJ, ESLI ^ASTOTA EE IZMENENIQ MENXE REZONANSNOJ, IPROISHODIT W PROTIWOFAZE PRI ^ASTOTE IZMENENIQ WYNUVDA@]EJ SILY, BOLXEJREZONANSNOJ.iZ (3.9) SLEDUET, ^TO MATRICA V { SIMMETRI^ESKAQ.sOOTNOENIEvjk = vkjj k = 1 n:(3:11)WYRAVAET WAVNOE SWOJSTWO WYNUVDENNYH KOLEBANIJ W KONSERWATIWNYH SISTEMAH (PRINCIP WZAIMNOSTI): OTKLIK PO j -OJKOORDINATE NA WOZDEJSTWIE PO k -OJ KOORDINATE SOWPADAET SOTKLIKOM k -OJ KOORDINATY NA WOZDEJSTWIE PO j -OJ.iSSLEDUEM SWOJSTWA WYNUVDENNYH KOLEBANIJW IZOBRAVENNOJ NA RIS.5 MEHANI^ESKOJ SISTEME W NEREZONANSNOMSLU^AE.

bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO TO^E^NYE MASSY m I M = 2mMOGUT PEREME]ATXSQ TOLXKO PO WERTIKALI. vESTKOSTX PRUVINRAWNA c . sILA, PRILOVENNAQ K NIVNEJ MASSE, IZMENQETSQ PO ZAKONU3.2. pRIMER.f (t) = F cos t .sISTEMA IMEET DWE STEPENI SWOBODY. w KA^ESTWE OBOB]ENNYHKOORDINAT ISPOLXZUEM SME]ENIQ TO^E^NYH MASS x1 x2 OTNOSITELXNO16POLOVENIJ, W KOTORYH PRUVINY NEDEFORMIROWANY (RIS.5). dLQPOSTROENIQ URAWNENIJ DWIVENIQ W FORME URAWNENIJ lAGRANVA IIRODA0 1d @ @L A ; @L = Q (t) j = 1 2(3:12)jdt @ x_ j @xjNAM POTREBU@TSQ WYRAVENIQ DLQ KINETI^ESKOJ I POTENCIALXNOJ\NERGII SISTEMYT = 21 m(x_ 21 + 2x_ 22)(3:13)5mg :x1 = 3mgx2 =cc(3:16) = 2c x21 + (x2 ; x1)2] ; mg(x1 + 2x2)I OBOB]ENNYH SIL Q1 Q2 , SOOTWETSTWU@]IH WYNUVDA@]EJ SILEf (t):Q1 = 0 Q2 = F cos t:(3:14)pOSLE PODSTANOWKI W (3.12) WYRAVENIJ (3.13), (3.14) POLU^IM:mx1 + c(2x1 ; x2) ; mg = 0(3:15)2mx2 ; c(x1 ; x2) ; 2mg = F cos t:lEGKO PROWERITX, ^TO PRI OTSUTSTWII NESTACIONARNOGO WOZDEJSTWIQ f (t) IZU^AEMAQ MEHANI^ESKAQ SISTEMA IMEET POLOVENIERAWNOWESIQzAMENA PEREMENNYHy1 = x1 ; x1 y2 = x2 ; x2POZWOLQET PEREPISATX URAWNENIQ DWIVENIQ (3.15) SLEDU@]IMOBRAZOM:Ay + C y = e2F cos t:zDESX01m0AA=@0C = @ 2c1;c A0 100e2 = @ A y = @(3:17)1y1 A :y2;c c1oB]EE REENIE NEODNORODNOJ SISTEMY (3.17) W NEREZONANSNOMSLU^AE IMEET WID0 2my(t) = y(t) + F v2 cos t17(3:18)GDE y(t) { OB]EE REENIE ODNORODNOJ SISTEMY, v2 { WEKTOR,KOMPONENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ KO\FFICIENTY GARMONI^ESKOGOWLIQNIQ:01v2 = V e2 = @v12 A :v22dEJSTWUQ PO SHEME, OPISANNOJ W PERWOM RAZDELE POSOBIQ,NESLOVNO NAJTI OB]EE REENIE ODNORODNOJ SISTEMY ( F = 0):y(t) = C11u1 cos(!1t + C12) + C21u2 cos(!2t + C22)GDEs q ps q p1c1!1 = 4 m 5 ; 17 !2 = 4 mc 5 + 17(3:19){ SOBSTWENNYE ^ASTOTY RASSMATRIWAEMOJ MEHANI^ESKOJ SISTEMY,010144@p Ap Au1 = @3 + 17 u2 = 3 ; 17{ WEKTORY, KOLLINEARNYE SOOTWETSTWU@]IM AMPLITUDNYM WEKTORAM.dLQ OTYSKANIQ \LEMENTOW WEKTORA v2 W (3.18) MY NE BUDEMISPOLXZOWATX POLU^ENNYE RANEE OB]IE REZULXTATY { \TO PRIWEDETK NEOPRAWDANNO DLINNYMI WY^ISLENIQMI.