Учебник - Малые колебания в механических системах - Сидоренко В.В. (1238801)
Текст из файла
mOSKOWSKIJFIZIKO-TEHNI^ESKIJ INSTITUTw.w.sIDORENKOmALYEKOLEBANIQW MEHANI^ESKIH SISTEMAHmOSKWA20041wWEDENIErASSMOTRIM MEHANI^ESKU@ SISTEMU S KONE^NYM ^ISLOM STEPENEJSWOBODY n , WOZMOVNYE POLOVENIQ KOTOROJOPREDELQ@TSQ OBOB]ENTNYMI KOORDINATAMI q = (q1 : : : qn) . pRI ISSLEDOWANII POWEDENIQDANNOJ SISTEMYW MALOJ OKRESTNOSTI POLOVENIQ RAWNOWESIQ q =T(q1 : : : qn) URAWNENIQ DWIVENIQ CELESOOBRAZNO LINEARIZOWATX{ WYDELIW W \TIH URAWNENIQH ^LENY, LINEJNYE OTNOSITELXNOOTKLONENIJ OT POLOVENIQ RAWNOWESIQ q ; q I SKOROSTEJ q_ ,PRENEBRE^X ^LENAMI BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI. aNALIZDINAMIKI SISTEMY NA OSNOWE POLU^ENNYH PODOBNYM OBRAZOMPRIBLIVENNYH URAWNENIJ QWLQETSQ OSNOWNOJ ZADA^EJ TEORII MALYHKOLEBANIJ.2rAZDEL ImALYE KOLEBANIQW KONSERWATIWNYH SISTEMAHNAZYWA@T MEHANI^ESKU@ SISTEMU SO STACIONARNYMI SWQZQMI, W KOTOROJ WSE (OBOB]ENNYE) SILY POTENCIALXNY IPOTENCIALXNAQ \NERGIQ NE ZAWISIT OT WREMENI.kONSERWATIWNOJ1.oSNOWNYE PONQTIQbEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI BUDEMS^ITATX, ^TO W POLOVENII RAWNOWESIQ OBOB]ENNYE KOORDINATYq = 0 I (0) = 0.uRAWNENIQ DWIVENIQ KONSERWATIWNOJ SISTEMY MOVNO ZAPISATX WFORME URAWNENIJ lAGRANVA WTOROGO RODA1.1.
uRAWNENIQ DWIVENIQ.d @T ! ; @T = ; @ :dt @ q_@q@q(1:1)pREDPOLAGAQ W (1.1) KINETI^ESKU@ \NERGI@ T (q q_ ) I POTENCIALXNU@ \NERGI@ (q) ANALITI^ESKIMI FUNKCIQMI SWOIHARGUMENTOW, RAZLOVIM \TI FUNKCII W RQDY tEJLORA:GDEnnXXcjk qj qk + : : :T = 12 ajk q_j q_k + : : : = 12j k=1j k=1(1:2)22 :ajk = @ q@_ @Tq_ cjk = @q@ @qj k =0j k =0qqoTSUTSTWIE LINEJNYH ^LENOW W RAZLOVENII DLQ POTENCIALXNOJ\NERGII { SLEDSTWIE RAWENSTWA NUL@ OBOB]ENNYH SIL W POLOVENIIRAWNOWESIQ:@Qj (0) = ; @q = 0 j = 1 n:jq=0wOSPOLXZOWAWISX WYRAVENIQMI (1.2) DLQ T (q q_ ) I (q),POLU^IM, ^TO W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE URAWNENIQ DWIVENIQMOVNO ZAPISATX SLEDU@]IM OBRAZOM:nXk=1(ajk qk + cjk qk ) + : : : = 0 j = 1 n:3(1:3)mNOGOTO^IE W (1.3) OBOZNA^AET SOWOKUPNOSTX ^LENOW WTOROGO I BOLEEWYSOKIH PORQDKOW OTNOSITELXNO q q_ .
pRENEBREGAQ \TIMI ^LENAMI,POLU^IM LINEARIZOWANNYE URAWNENIQ DWIVENIQ:nXk=1(ajk qk + cjk qk) = 0 j = 1 n:(1:4)ILI (W MATRI^NOJ FORME)Aq + C q = 0GDE A = (ajk ) C = (cjk ) { SIMMETRI^NYE n n -MATRICY.w DALXNEJEM MATRICU A BUDEM NAZYWATX MATRICEJ INERCII,MATRICU C { MATRICEJ VESTKOSTI.oTMETIM, ^TO URAWNENIQ (1.4) POLU^ATSQ I W TOM SLU^AE,KOGDA UVE PRI POSTROENII URAWNENIJ DWIVENIQ W FORMEURAWNENIJ lAGRANVA KINETI^ESKAQ I POTENCIALXNAQ \NERGIIAPPROKSIMIRU@TSQ KWADRATI^NYMI FORMAMIT = 12 (q_ Aq_ ) = 12 (q C q):zDESX ( ) { SKALQRNOE PROIZWEDENIE W En .(1:5)1.2. nORMALXNYE KOORDINATY. iZ ESTESTWENNOGO USLOWIQT > 0 PRI q_ > 0 WYTEKAET POLOVITELXNAQ OPREDELENNOSTXKWADRATI^NOJ FORMY 2T = (q_ Aq_ ). oSNOWYWAQSX NA IZWESTNOJTEOREME LINEJNOJ ALGEBRY OB ODNOWREMENNOM PRIWEDENII KKANONI^ESKOMU WIDU PARY KWADRATI^NYH FORM, ODNA IZ KOTORYHPOLOVITELXNO OPREDELENA, MOVNO SDELATX WYWOD O SU]ESTWOWANIINEWYROVDENNOJ WE]ESTWENNOJ ZAMENY KOORDINATq = U = (1 : : : n)T(1:6)POZWOLQ@]EJ PREOBRAZOWATX WYRAVENIQ DLQ KINETI^ESKOJ IPOTENCIALXNOJ \NERGIJ K WIDUn_ =1X_j2T = 12 (_ )2 j=1nX = 21 ( ) = 12 j j2 = diag(1 : : : n):i=1pOKAVEM, ^TO KO\FFICIENTY 1 : : : n (KO\FFICIENTY pUANKARE)QWLQ@TSQ KORNQMI WEKOWOGO URAWNENIQdet(C ; A) = 0:4(1:7)pRINIMAQ WO WNIMANIE PRAWILA PREOBRAZOWANIQ MATRIC KWADRATI^NYH FORM PRI ZAMENAH KOORDINAT, POLU^IM:det( ; E ) = det(U T CU ; U T AU ) == det U T (C ; A)U = det U T det(C ; A) det U:tAK KAK det U = det U T =6 0 (ZAMENA (1.6) NEWYROVDENA!),MNOVESTWO KORNEJ WEKOWOGO URAWNENIQ (1.7) DOLVNO SOWPADATX SOMNOVESTWAM KORNEJ URAWNENIQdet( ; E ) = (;1)nnY( ; i) = 0:k=1oBOB]ENNYE KOORDINATY NAZYWA@T GLAWNYMI ILI NORMALXNYMIKOORDINATAMI.
w GLAWNYH KOORDINATAH URAWNENIQ DWIVENIQRASPADA@TSQ NA n URAWNENIJ WTOROGO PORQDKA OTNOSITELXNO ODNOJNEIZWESTNOJ FUNKCIIj + j j = 0 j = 1 nlEGKO NAJTI OB]EE REENIE URAWNENIJ (1.8):8>C cos(!t + C2)PRI = !2 > 0>> 1>>< = > C1t + C2>>>pp>: C1e ;t + C2e; ;tPRI = 0PRI < 0(1:8)(KOLEBANIQ)01BEZRAZLI^NOE@ARAWNOWESIEQ(NEUSTOJ^IWOSTX)(1:9)zNA^ENIQ POSTOQNNYH WELI^IN C1 C2 W (1.9) OPREDELQ@TSQNA^ALXNYMI USLOWIQMI.iZ SOOTNOENIJ (1.9) SLEDUET, ^TO PRI NALI^II W WYRAVENIIDLQ POTENCIALXNOJ \NERGII HOTQ BY ODNOGO KO\FFICIENTA j 0BUDUT SU]ESTWOWATX FAZOWYE TRAEKTORII, POKIDA@]IE OKRESTNOSTXPOLOVENIQ RAWNOWESIQ ZA KONE^NOE WREMQ. w DALXNEJEM BUDEMPREDPOLAGATX WYPOLNENNYM USLOWIE j >0(j = 1 n),GARANTIRU@]EE PREBYWANIE FAZOWOJ TRAEKTORII W OKRESTNOSTIPOLOVENIQ RAWNOWESIQ NA NEOGRANI^ENNOM INTERWALE WREMENI (W\TOM SLU^AE POTENCIALXNAQ \NERGIQ (q) IMEET IZOLIROWANNYJMINIMUM W TO^KE q = 0 TAKIM OBRAZOM, PO TEOREME lAGRANVAPOLOVENIE RAWNOWESIQ USTOJ^IWO PO lQPUNOWU W SILU TO^NYHNELINEJNYH URAWNENIJ DWIVENIQ).51.3.
sOBSTWENNYE KOLEBANIQ.URAWNENIJ (1.3)rASSMOTRIM ^ASTNOE REENIEk (t) = Ck1sin(!k t + Ck2) j 0 (j = 1 n j 6= k):w ISHODNYH KOORDINATAH ONO BUDET IMETX WIDq(t) = Ck1uk sin(!k t + Ck2)(1:10)GDE uk { k-J STOLBEC MATRICY U . dWIVENIE, OPISYWAEMOESOOTNOENIEM (1.10), BUDEM NAZYWATX k-YM GLAWNYM ILI NORMALXNYM KOLEBANIEM. wEKTOR uk , HARAKTERIZU@]IJ WZAIMOSWQZXIZMENENIJ OBOB]ENNYH KOORDINAT W \TOM DWIVENII, NAZYWA@TAMPLITUDNYM WEKTOROM k-GO GLAWNOGO KOLEBANIQ.
dWIVENIQ(1.10) NAZYWA@T TAKVE SOBSTWENNYMI KOLEBANIQMI, ^ASTOTY \TIHKOLEBANIJ { SOBSTWENNYMI ^ASTOTAMI.oB]EE REENIE URAWNENIJ (1.4) QWLQETSQ SUMMOJ SOBSTWENNYHKOLEBANIJnXq(t) =k=1Ck1uk sin(!i t + Ck2)(1:11)oTMETIM, ^TO PRI NESOIZMERIMYH ^ASTOTAH SOBSTWENNYHKOLEBANIJ !k (k = 1 n) DWIVENIE (1.11) BUDET NEPERIODI^ESKIM.pRI IZU^ENII DINAMIKI KONKRETNYH MEHANI^ESKIH SISTEMWEKTORA GLAWNYH KOLEBANIJ RAZYSKIWA@T KAK SOBSTWENNYE WEKTORAMATRICY C OTNOSITELXNO MATRICY A :C u = Au:eSLI WEKTORA uk I uj OTWE^A@T SOBSTWENNYM KOLEBANIQM SRAZNYMI ^ASTOTAMI !k = 1k=2 I !j = 1j =2 , TO TOGDA(uk Auj ) = 0:(1:12)dLQ TOGO, ^TOBY UBEDITXSQ W \TOM, DOMNOVIM SOOTNOENIQC uj = j Auj C uk = k AukNA uk I uj SOOTWETSTWENNO.
pOSLE \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJPOLU^IM:j (uk Auj ) = (uk C uj ) = (uj C uk ) = k (uj Auk) = k (uk Auj ):tAK KAK j =6 k , RAWENSTWO j (uk Auj ) = k (uk Auj ) WOZMOVNOTOLXKO PRI (uj Auk ) = 0.6rIS. 1pROIZWOL W WYBORE NEZAWISIMYH AMPLITUDNYH WEKTOROW IZSOBSTWENNOGO PODPROSTRANSTWA POZWOLQET OBESPE^ITX WYPOLNENIEUSLOWIQ IH A-ORTOGONALXNOSTI (1.12) I W TOM SLU^AE, KOGDA jQWLQETSQ KRATNYM KORNEM WEKOWOGO URAWNENIQ.pRI FORMIROWANIQ MATRICY U AMPLITUDNYE WEKTORA SLEDUETNORMIROWATX W SOOTWETSTWII S USLOWIEM (uj Auj ) = 1.z A D A ^ A. dOKAZATX s-ORTOGONALXNOSTX AMPLITUDNYH WEKTOROW.iSSLEDUEM MALYE KOLEBANIQ SISTEMY IZ DWUHMATEMATI^ESKIH MAQTNIKOW, SOEDINENNYH NEWESOMOJ PRUVINOJ,DLINA KOTOROJ W NEDEFORMIROWANNOM SOSTOQNII RAWNA RASSTOQNI@MEVDU TO^KAMI PODWESA (RIS.
1). mASSY MAQTNIKOW m , DLINYl , VESTKOSTX PRUVINY c . pREDPOLAGAETSQ, ^TO MAQTNIKI MOGUTDWIGATXSQ TOLXKO W WERTIKALXNOJ PLOSKOSTI, SODERVA]EJ TO^KIPODWESA.sISTEMA IMEET DWE STEPENI SWOBODY. w KA^ESTWENNO OBOB]ENNYHKOORDINAT q = (q1 q2)T UDOBNO ISPOLXZOWATX UGLY OTKLONENIQMAQTNIKOW OT WERTIKALI.kINETI^ESKAQ \NERGIQ SISTEMY1.4. pRIMER.012T (q_ ) = 12 ml2 (q_12 + q_22) = 21 (q Aq) A = @ ml0 ml0 2 A :wYRAVENIE DLQ POTENCIALXNOJ \NERGIIq2c222(q) = 2 L + l(sin q2 ; sin q1)] + l (cos q1 ; cos q2) ; L ;(1:13);mgl(cos q1 + cos q2)GDE L { RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI PODWESA MAQTNIKOW. wOKRESTNOSTI USTOJ^IWOGO POLOVENIQ RAWNOWESIQ q1 = q2 = 07APPROKSIMIRUEM (1.13) (S TO^NOSTX@ DO NESU]ESTWENNOJ POSTOQNNOJWELI^INY) KWADRATI^NOJ FORMOJ:hi(q) = 21 cl2(q1 ; q2)2 + mgl(q12 + q22) = 12 (q C q)0C = @ l(mg +2 cl);cl21A:;cll(mg + cl)wEKOWOE URAWNENIE det(C ; A) = 0 POSLE \LEMENTARNYHPREOBRAZOWANIJ PRINIMAET SLEDU@]IJ WID:m2l42 ; 2ml3(mg + cl) + mgl2(mg + 2cl) = 0:(1:14)kORNQMI KWADRATNOGO URAWNENIQ (1.14) BUDUT!gg2cl1 = l 2 = l 1 + mgSOOTWETSTWU@]IE SOBSTWENNYE ^ASTOTYvs!uugg2clt!1 = l !2 = l 1 + mg :w KA^ESTWE AMPLITUDNOGO WEKTORA u1 SLEDUET WZQTX KAKOE-LIBONETRIWIALXNOE REENIE LINEJNOJ SISTEMY(C ; 1A)u = 0:(1:14)sU]ESTWOWANIE TAKIH REENIJ GARANTIROWANO RAWENSTWOM NUL@DETERMINANTA MATRICY SISTEMY.oBRATIWISX K QWNYMWYRAVENIQM DLQ \LEMENTOW MATRIC A I C , PEREPIEM (1.14) WRAZWERNUTOJ FORME:0 210 12cl;cl@A @ u1 A = 0:(1:15)22;cl clu2lEGKO PROWERITX, ^TO ^ASTNYM REENIEM SISTEMY (1.15) BUDETu1 = (1 1)T .
w SOOTWETSTWU@]EM SOBSTWENNOM KOLEBANII MAQTNIKIDWIVUTSQ SINFAZNO, PRUVINA NE DEFORMIRUETSQ (RIS. 2).aNALOGI^NYM OBRAZOM SISTEMA (C ; 2A)u = 0 PRIWODITSQ KWIDU010 122;cl;cl@A @ u1 A = 0:22;cl ;clu2w KA^ESTWE WTOROGO AMPLITUDNOGO WEKTORA WOZXMEM u2 = (1 ;1)T .sOBSTWENNOE KOLEBANIE W \TOM SLU^AE PREDSTAWLQET DWIVENIE8arIS. 2bMAQTNIKOW W PROTIWOFAZE S UWELI^IWEJSQ IZ-ZA NALI^IQ PRUVINY^ASTOTOJ (RIS.
2).w OB]EM SLU^AE0 10 101q111@ A = C11 @ A sin (!1t + C12)+ C21 @A sin (!2 t + C22) : (1:16);1zAMETIM, ^TO AMPLITUDNYE WEKTORA u1 I u2 MOVNO BYLOWYPISATX BEZ PROWEDENIQ KAKIH-LIBO WY^ISLENIJ, OPIRAQSXTOLXKO NA SOOBRAVENIQ SIMMETRII. w MNOGIH ZADA^AH OMALYH KOLEBANIQH PODOBNYE SOOBRAVENIQ UPRO]A@T REENIE ILIPOZWOLQ@T UBEDITXSQ W ISTINNOSTI REZULXTATOW, POLU^ENNYH SPOMO]X@ SLOVNYH WYKLADOK. kOGDA PRUVINA O^ENX SLABAQ " = mgcl 1 , W DANNOJ SISTEMENABL@DAETSQ \FFEKT PEREKA^KI \NERGII: ESLI, NAPRIMER, WMOMENT WREMENI t = 0 MAQTNIKI POKOILISX I GRUZIKU ODNOGO IZNIH BYLA SOOB]ENA SKOROSTX v , TO ^EREZ NEKOTOROE WREMQ T \TOTMAQTNIK BUDET PO^TI NEPODWIVEN, A WSQ \NERGIQ PEREJDET WTOROMU.rASPOLAGAQ OB]IM REENIEM (1.16), NAJDEM, ^TO PRI NA^ALXNYHUSLOWIQHvq21q1(0) = q2(0) = q_2 = 0 q_1 = lMALYE KOLEBANIQ OPISYWA@TSQ FORMULAMI!vsin!sin!1t2tq1(t) = 2l ! + !(1:17)12!vsin!sin!1t2tq2(t) = 2l ! ; ! :12pRINIMAQ WO WNIMANIE MALOE OTLI^IE ^ASTOT !1 I !2 PRI " 1(!2 (1 + ")!1 ), POLU^IM:!vv"!"1tq1(t) 2! l (sin !1 t + sin !2t) = ! l cos 2 sin !1 1 + 2 t119rIS.
3.bIENIQ.!vv"!"1tq2(t) 2! l (sin !1t ; sin !2t) = ; ! l sin 2 cos !1 1 + 2 t11tAKIM OBRAZOM, W OBSUVDAEMOM " DWIVENII MAQTNIKI SOWERA@T0KOLEBANIQ S ^ASTOTOJ ! = 1 + 2 !1 , AMPLITUDA KOTORYH MEDLENNOIZMENQETSQ. ~EREZ WREMQ T = =!1" BUDET KOLEBATXSQ TOLXKOWTOROJ MAQTNIK, KOLEBANIQ PERWOGO PRAKTI^ESKI ZATUHNUT.
wMOMENT WREMENI t = 2T SITUACIQ BUDET PROTIWOPOLOVNOJ (rIS.3).2.tEOREMY r\LEQwBOLXINSTWE SLU^AEW \KSPERIMENTALXNOE OPREDELENIE SOBSTWENNYH^ASTOT REALXNYH MEHANI^ESKIH SISTEM, SOWERA@]IH MALYEKOLEBANIQ, PREDSTAWLQET OTNOSITELXNO PROSTU@ ZADA^U NAJTIAMPLITUDNYE WEKTORA SU]ESTWENNO SLOVNEE. sTEPENX SOOTWETSTWIQTEORETI^ESKIH I \KSPERIMENTALXNYH ZNA^ENIJ SOBSTWENNYH ^ASTOTSLUVIT ODNIM IZ GLAWNYH KRITERIEW KORREKTNOSTI MATEMATI^ESKOJMODELI IZU^AEMOJ SISTEMY. pOLU^ENIE SOBSTWENNYH WEKTOROWO^ENX ^ASTO WOOB]E NE WHODIT W CELI ISSLEDOWANIQ ILI IMEETWTOROSTEPENNOE ZNA^ENIE.pRIME^ATELXNYM FAKTOM QWLQETSQ WOZMOVNOSTX ZAPISATXWYRAVENIE DLQ KAKOJ-LIBO SOBSTWENNOJ ^ASTOTY, NESODERVA]EEDRUGIH SOBSTWENNYH ^ASTOT I AMPLITUDNYH WEKTOROW.t EO R E M A (r\LEJ-kURANT-fIER).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
