Учебник - Малые колебания в механических системах - Сидоренко В.В., страница 4

dOMNOVIW NA u = (u1 : : : un)T PRAWU@ I LEWU@^ASTI TOVDESTWAPOLU^IM:GDE(A2 + D + K )u = 0(1:11)a2 + d + = 0(1:12)a = (u Au) > 0 d = (u Du) > 0 = (u Au) > 0:iZ SOOTNOENIQ (1.12) WYTEKAET, ^TO QWLQETSQ KORNEMKWADRATNOGO URAWNENIQ S POLOVITELXNYMI KO\FFICIENTAMI.wOSPOLXZOWAWISX IZWESTNOJ FORMULOJ DLQ KORNEJ KWADRATNOGOURAWNENIQ, LEGKO USTANOWITX, ^TORe ; 2da < 0:pRIWEDENNYE RASSUVDENIQ POKAZYWA@T, ^TO WSE KORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ (1.10) IME@T OTRICATELXNU@ WE]ESTWENNU@^ASTX.

tAKIM OBRAZOM, POSLE DOBAWLENIQ SIL S POLNOJDISSIPACIEJ MALYE KOLEBANIQ KONSERWATIWNOJ SISTEMY BUDUTZATUHATX \KSPONENCIALXNYM OBRAZOM.pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO DISSIPACIQ SLABAQ { \LEMENTYMATRICY D DOSTATO^NO MALY. pUSTX = (1 : : : n)T {NORMALXNYE KOORDINATY KONSERWATIWNOJ SISTEMY (W OTSUTSTWIIDISSIPACII), SWQZANNYE S KOORDINATAMI q = (q1 : : : qn)TFORMULAMI PEREHODAq = U det U =6 0:(1:13)w NORMALXNYH KOORDINATAH URAWNENIQ DWIVENIQ PRINIMA@TSLEDU@]IJ WID:nXj + jk _k + !j2 j = 0(1:14)GDE !j { ^ASTOTY SOBSTWENNYH KOLEBANIJ KONSERWATIWNOJ SISTEMY,jk { \LEMENTY MATRICY DISSIPATIWNYH SIL W PEREMENNYH :jk = (uj Duk ) j k = 1 n:k=128sLEDUET OTMETITX POLOVITELXNOSTX DIAGONALXNYH \LEMENTOW:jj = (uj Duj ) > 0j = 1 n:hARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE SISTEMY (1.14) 212:::1n + 11 + !122221 + 22 + !2 : : :2n = 0:............n1n2: : : 2 + nn + !n2 MOVNO ZAPISATX SLEDU@]IM OBRAZOM:nY(2 + kk + !k2) + O(2) = 0k=1(1:15)GDE = maxk j=1 n kj .

tEPERX LEGKO PROWERITX, ^TO KORNIHARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ 1 : : : 2n IME@T WID2k;1 = ;i!k ; 2kk + O(2)wYWOD:2k = i!k ; 2kk + O(2) k = 1 n:W PERWOM PRIBLIVENII MALYE DISSIPATIWNYE SILY NEIZMENQ@T ^ASTOT KONSERWATIWNOJ SISTEMY.1.4.wLIQNIE GIROSKOPI^ESKIH SIL NA KOLEBANIQKONSERWATIWNOJ SISTEMY. pOKAVEM, ^TO ESLI W LINEJNOMPRIBLIVENII DWIVENIE KONSERWATIWNOJ SISTEMY W OKRESTNOSTIPOLOVENIQ RAWNOWESIQ PREDSTAWLQET SUPERPOZICI@ GARMONI^ESKIHKOLEBANIJ, TO ONO OSTANETSQ TAKIM I PRI DOBAWLENII GIROSKOPI^ESKIH SIL.dWIVENIE KONSERWATIWNOJ SISTEMY POSLE DOBAWLENIQ TAKIH SILOPISYWAETSQ URAWNENIQMIAq + ;q_ + K q = 0(1:16)GDE A I K { SIMMETRI^ESKIE POLOVITELXNO OPREDELENNYEMATRICY KINETI^ESKOJ \NERGII I POTENCIALXNYH SIL, ; {KOSOSIMMETRI^ESKAQ MATRICA GIROSKOPI^ESKIH SIL.rAZYSKIWAQ ^ASTNOE REENIE (1.16) W WIDE q = ueit , LEGKOUSTANOWITX, ^TO DOLVNO UDOWLETWORQTX HARAKTERISTI^ESKOMUURAWNENI@:det(;2 A + i; + K ) = 0:(1:17)29uRAWNENIE (1.17) IMEET 2n KORNEJ.

eSLI QWLQETSQ KORNEM (1.17),SU]ESTWUET WEKTOR u 6= 0 TAKOJ, ^TO(;2A + i; + K )u = 0:(1:8)dOMNOVIW (1.8) NA KOMPLEKSNO-SOPRQVENNYJ WEKTOR u , POLU^IM:;2(u Au) ; i(u ;u) + (u K u) = 0:(1:19)wYRAVENIE (1.19) MOVNO PEREPISATX W FORME KWADRATNOGOURAWNENIQa2 + g ; k = 0(1:20)S WE]ESTWENNYMI KO\FFICIENTAMIa = (u Au) > 0 k = (u K u) > 0 g = i(u ;u):iZ SOOTNOENIQ (1.20) SLEDUET, ^TO QWLQETSQ WE]ESTWENNYM {KAK KORENX KWADRATNOGO URAWNENIQ S POLOVITELXNYM DETERMINANTOM( D = g2 + 4ak ).tAK KAK W KA^ESTWE MOVNO WZQTX L@BOJ KORENX HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ (1.17), PRIWEDENNYE RASSUVDENIQ POZWOLQ@TSDELATX WYWOD O TOM, ^TO WSE KORNI \TOGO URAWNENIQ WE]ESTWENNYEI OTLI^A@TSQ OT NULQ.nA WE]ESTWENNOJ PRQMOJ KORNI URAWNENIQ (1.17) RASPOLAGA@TSQSIMMETRI^NO OTNOSITELXNO NULQ { ESLI = PRINADLEVITMNOVESTWU KORNEJ URAWNENIQ (1.17), TO = ; TAKVE QWLQETSQKORNEM.

dEJSTWITELXNO,det(;(; )2A + i(;); + K ) = det(;2 A ; i; + K ) == det(;2A + i; + K )T = 02.wYNUVDENNYE DWIVENIQSKLERONOMNYH SISTEMpUSTX q = 0QWLQETSQ POLOVENIEM RAWNOWESIQ NEKOTOROJ SKLERONOMNOJ SISTEMY.bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO ANALIZ LINEARIZOWANNYH W OKRESTNOSTIUKAZANNOGO POLOVENIQ RAWNOWESIQ URAWNENIJ DWIVENIQ2.2.

sWOBODNYE I WYNUVDENNYE DWIVENIQ.Aq + B q_ + C q = 030(2:1)POZWOLQET SDELATX WYWOD O EGO ASIMPTOTI^ESKOJ USTOJ^IWOSTI:KORNI 1 : : : 2n HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ() = det(A2 + B + C ) = 0UDOWLETWORQ@T USLOWI@Re k < 0(2:2)k = 1 2n:iSSLEDUEM DWIVENIE DANNOJ SISTEMY W OKRESTNOSTI POLOVENIQRAWNOWESIQ q = 0 PRI NALI^II DOPOLNITELXNYH SILQ(t) = (Q1(t): : : Qn(t))TZAWISQ]IH TOLXKO OT WREMENI t .

w LINEJNOM PRIBLIVENIIINTERESU@]EE NAS DWIVENIE OPISYWAETSQ URAWNENIQMIAq + B q_ + C q = Q(t):(2:3)oB]EE REENIE URAWNENIJ (2.3) PREDSTAWLQET SUMMU KAKOGOTO ^ASTNOGO REENIQ \TIH URAWNENIJ q(t) I OB]EGO REENIQq(t C1 : : : C2n) ODNORODNOJ SISTEMY (2.1):q(t) = q(t) + q(t C1 : : : C2n):(2:4)sLAGAEMOE q(t C1 : : : C2n) W PRAWOJ ^ASTI WYRAVENIQ (2.4)OPISYWAET DWIVENIQ SKLERONOMNOJ SISTEMY PRI OTSUTSTWIIWYNUVDA@]EJ SILY { SWOBODNYE DWIVENIQ. sLAGAEMOE q(t)OPISYWAET WYNUVDENNOE DWIVENIE, KOTOROE SU]ESTWUET TOLXKO PRINALI^II WYNUVDA@]EJ SILY Q(t).

w SLU^AE KOLEBATELXNOGOHARAKTERA SWOBODNYH (WYNUVDENNYH) DWIVENIJ PRINQTO GOWORITXO SWOBODNYH (WYNUVDENNYH) KOLEBANIQH.w SOOTWETSTWII S PREDPOLOVENIEM OB ASIMPTOTI^ESKOJ USTOJ^IWOSTI POLOVENIQ RAWNOWESIQ q = 0 SISTEMY (2.1) OB]EE REENIEq(t C1 : : : C2n) STANOWITSQ SKOLX UGODNO MALYM PRI WOZRASTANIIWREMENI t NEZAWISIMO OT WYBORA ZNA^ENIJ POSTOQNNYH C1 : : : C2n .mOVNO SKAZATX, ^TO SOBSTWENNYE DWIVENIQ ZATUHA@T I WREZULXTATE W SISTEME PROISHODIT TOLXKO WYNUVDENNOE DWIVENIE.wYNUVDENNOE REENIE q(t) QWLQETSQ OTKLIKOM SISTEMY NAPRIKLADYWAEMOE NESTACIONARNOE WOZDEJSTWIE Q(t).

dEJSTWUQTO^NO TAKVE, KAK I PRI IZU^ENII WYNUVDENNYH DWIVENIJ WKONSERWATIWNYH SISTEMAH, RAZLOVIM Q(t) PO BAZISNYM WEKTORAM:Q(t) =nXk=131ekQk (t):o^EWIDNO, ^TO q(t) PREDSTAWLQET SUPERPOZICI@ WYNUVDENNYHREENIJ qk , SOOTWETSTWU@]IH WOZDEJSTWIQM Qk(t) = ekQk (t), WKOTORYH OTLI^NA OT NULQ TOLXKO k -AQ OBOB]ENNAQ SILA:q(t) =nXk=1qk (t):tAKIM OBRAZOM, DLQ POLNOGO REENIQ ZADA^I OB OTYSKANII OTKLIKASISTEMY DOSTATO^NO NAU^ITXSQ \TO DELATX DLQ WOZDEJSTWIJ Qk (t) =ek Qk (t),2.2.k = 1 n.aMPLITUDNO-FAZOWAQ HARAKTERISTIKA SISTEMY.rASSMOTRIM WSPOMOGATELXNU@ ZADA^U OB OTYSKANII FORMALXNOGOOTKLIKA q(t) SISTEMY (2.3) NA WOZDEJSTWIEQk (t) = ekeit:(2:5)~ASTNOE REENIE URAWNENIJ (2.3) S PRAWOJ ^ASTX@ (2.5) BUDEMISKATX W WIDEq(t) = heit(2:6)GDE h = (h1 : : : hn)T .

pOSLE PODSTANOWKI (2.5) I (2.6) W (2.3)I SOKRA]ENIQ NA eit POLU^IM SISTEMU LINEJNYH URAWNENIJ,POZWOLQ@]U@ OPREDELITX h :(i)h = ek :(2:7)zDESX (i) = A(i)2 + B (i) + C .sISTEMA LINEJNYH URAWNENIJ (2.7) ODNOZNA^NO RAZREIMATOLXKO PRI USLOWIIhi(2:8)det (i) = det A(i)2 + B (i) + C = (i) 6= 0:uSLOWIE (2.8) WYPOLNENO PRI L@BOM ZNA^ENII { W PROTIWNOMSLU^AE MY POLU^ILI BY PROTIWORE^IE S ISHODNYM PREDPOLOVENIEMO PRINADLEVNOSTI WSEH KORNEJ HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ() = 0 LEWOJ POLUPLOSKOSTI.rEENIE SISTEMY (2.7) UDOBNO NAJTI METODOM kRAMERA.

pOSLE\LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJ POLU^IM:kj (i)hj = (i)GDE kj (i) { ALGEBRAI^ESKOE DOPOLNENIE \LEMENTA kj MATRICY(i).32fUNKCI@kj ()Wkj (i) = ()NAZYWA@T AMPLITUDNO-FAZOWOJ HARAKTERISTIKOJ SISTEMY. rEENIE ZADA^I OB OTKLIKE SISTEMY NA WOZDEJSTWIE Qk(t) = ek eitMOVNO ZAPISATX W WIDEqj(t) = Wkj (i)eit = jWkj (i)jei(t+arg W ) j = 1 n:(2:9)iZ SOOTNOENIQ (2.9) SLEDUET, ^TO MODULX FUNKCII Wkj (i)HARAKTERIZUET AMPLITUDU OTKLIKA, A EE ARGUMENT { FAZOWYJ SDWIGPO OTNOENI@ K WHODNOMU WOZDEJSTWI@. w DALXNEJEM FUNKCIIRkj () = jWkj j(i) I !kj () = arg Wkj (i) BUDEM NAZYWATXAMPLITUDNO-^ASTOTNOJ I FAZO-^ASTOTNOJ HARAKTERISTIKAMI.pERWYJ INDEKS U FUNKCIJ Wkj (i) Rkj () !kj () UKAZYWAET, POKAKOJ KOORDINATE PRIKLADYWAETSQ WOZDEJSTWIE, WTOROJ OPREDELQETKOORDINATU OTKLIKA.pRI ISSLEDOWANII WYNUVDENNYH DWIVENIJ KONKRETNYH MEHANI^ESKIH SISTEM DLQ LU^EGO PONIMANIQ SWOJSTW FUNKCII WkjCELESOOBRAZNO POSTROITX EE GODOGRAF I GRAFIKI FUNKCIJ Rkj ()I !kj () PRI IZMENENII OT 0 DO +1 .

gODOGRAF FUNKCII WkjNA^INAETSQ NA DEJSTWITELXNOJ OSI I STQGIWAETSQ K NUL@ PRI !1 . pRI ANALIZE SWOJSTW AMPLITUDNO-^ASTOTNOJ HARAKTERISTIKISLEDUET OBRA]ATX WNIMANIE NA POLOVENIE LOKALXNYH MAKSIMUMOW(OSOBENNO W TEH SLU^AQH, KOGDA \TI MAKSIMUMY QWLQ@TSQ OT^ETLIWOWYRAVENNYMI PIKAMI). wOZRASTANIE AMPLITUDY OTKLIKA PRI NAZYWA@T REZONANSOM, A ^ASTOTU { REZONANSNOJ ^ASTOTOJ.2.3.

oTKLIK SISTEMY NA GARMONI^ESKOE WOZDEJSTWIE. wSOOTNOENIIkjAq + B q_ + C q = ek eitDOLVNY BYTX RAWNY MEVDU SOBOJ WZQTYE OTDELXNO DEJSTWITELXNAQI MNIMAQ SOSTAWLQ@]IE WYRAVENIJ W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTI. |TOOZNA^AET, ^TO OTKLIKOM SISTEMY NA GARMONI^ESKOJ WOZDEJSTWIEQ(t) = F ek cos t = F Re ekeitQWLQETSQ WYNUVDENNOE DWIVENIEF Re Wk1(i)eit : : : F Re Wkn(i)eit T == (FRk1 () cos(t + !k1 ()) : : : FRkn() cos(t + !kn ()))Tq(t) =33dEJSTWUQ ANALOGI^NYM OBRAZOM, MOVNO USTANOWITX, ^TOOTKLIKOM NA WOZDEJSTWIE Q(t) = F ek sin t BUDET DWIVENIE:q(t) = (FRk1 () sin(t + !k1()): : : FRkn() sin(t + !kn ()))ToSNOWYWAQSXNA PRINCIPE SUPERPOZICII, OGRANI^IMSQ RASSMOTRENIEM SLU^AQ2.4.

oTKLIK NA PERIODI^ESKOE WOZDEJSTWIE.Q(t) = ek Q(t)(2:10)GDE Q(t) { NEKOTORAQ FUNKCIQ S PERIODOM T = 2 . rASKLADYWAQQ(t) W RQD fURXE, WOZDEJSTWIE (2.10) PREDSTAWIM W WIDE SUMMYGARMONI^ESKIH WOZDEJSTWIJ:011XQ(t) = ek Q(t) = ek @ am cos mt + bm sin mtA =m=01Xm=0ek am cos mt +1Xm=0ekam sin mt:wOSPOLXZOWAWISX TEPERX REZULXTATAMI PREDYDU]EGO PUNKTA,POLU^IM SLEDU@]EE WYRAVENIE DLQ WYNUVDENNOGO DWIVENII PRINALI^II PERIODI^ESKOJ WNENEJ SILY (2.10):qj (t) =1Xm=0famRkj (m) cos mt + !k1()] ++bm Rkj (m) sin mt + !k1()]gj = 1 n:dLQOTYSKANIQ WYNUVDENNOGO DWIVENIQ PRI NALI^II NEPERIODI^ESKOGOWNENEGO WOZDEJSTWIQ ISPOLXZU@T PREOBRAZOWANIE fURXE:Z +1F f (t)] = ;1 f (t)eit dt:fURXE-OBRAZ OTKLIKA F qj (t)] SWQZAN S fURXE-OBRAZOM WOZDEJSTWIQF Qk (t)] SOOTNOENIEMF qj (t)] = Wkj F Qk (t)] :eSLI fURXE-OBRAZ OTKLIKA IZWESTEN, EGO WYRAVENIE W WIDE FUNKCIIt MOVNO POLU^ITX S POMO]X@ OBRATNOGO PREOBRAZOWANIQ fURXE.6. pRIMER.

w PREDYDU]EM RAZDELE IZU^ALISX WYNUVDENNYEKOLEBANIQ KONSERWATIWNOJ MEHANI^ESKOJ SISTEMY, STOQ]EJ IZ DWUH2.5.oTKLIK NA NEPERIODI^ESKOE WOZDEJSTWIE.34rIS. 10.TO^E^NYH MASS I DWUH PRUVIN. pREDPOLOVIM, ^TO K NIVNEJMASSE PRISOEDINEN BEZYNERCIONNYJ DEMPFER, OKAZYWA@]IJSOPROTIWLENIE EE DWIVENI@: FW = ;v2 (RIS. 10). nAJDEMAMPLITUDNO-FAZOWYE HARAKTERISTIKI SISTEMY I POSTROIM GRAFIKIAMPLITUDNO-^ASTOTNYH I FAZO-^ASTOTNYH HARAKTERISTIK.bUDEM ISPOLXZOWATX OBOB]ENNYE PEREMENNYE, WWEDENNYE PRIISSLEDOWANII SISTEMY BEZ DEMPFERA. w KA^ESTWE PERWOGO AGAUBEDIMSQ W ASIMPTOTI^ESKOJ USTOJ^IWOSTI POLOVENIQ RAWNOWESIQ!T5mg3mgx =c c :pEREME]ENIE TO^E^NYH MASS W OKRESTNOSTI POLOVENIQ RAWNOWESIQx = x OPISYWAETSQ URAWNENIQMIAy + B y_ + C y = 0GDE y = x ; x ,01A=@m 0 A0 2m01B=@0 0 A0 (2:11)0C = @ 2c1;c A :;c cw HARAKTERISTI^ESKOM URAWNENII SISTEMY (2.11)() = det(A2 + B + C ) == 2m24 + m3 + 5cm2 + 2c + c2 = 035(2:12)WSE KO\FFICIENTY POLOVITELXNYE PERWYJ I TRETIJ GLAWNYEMINORY EGO MATRICY rAUSA01m2c00BB 2CBB 2m 5cm c2 0 CCCBB 0 m 2c 0 CC@A220 2m 5cm cTAKVE POLOVITELXNYE (1 = m 3 = c2m22 ).