Учебник - Малые колебания в механических системах - Сидоренко В.В., страница 3

pRQMAQ PODSTANOWKAPREDPOLAGAEMOGO WYNUVDENNOGO REENIQ y = F v2 cos t WURAWNENIQ DWIVENIQ (3.7) POSLE SOKRA]ENIQ NA cos t DAETPROSTU@ LINEJNU@ SISTEMU URAWNENIJ OTNOSITELXNO v12 I v22 :0101 0 122c;m;cv@A @ 12 A = @ 0 A :(3:20)2;c c ; 2 m v221rEENIE DANNOJ SISTEMY IMEET WID:v12() = 24 ; 5c2cm + c222c;v22() = 24 ; 52cm + c2 :gRAFIKI FUNKCIJ v12() v22() PRIWEDENY NA RIS. 6.q wIDNO, ^TOW SISTEME WOZMOVEN ANTIREZONANS: v22(!) = 0, ! = 2mc .18rIS.

64.mALYE KOLEBANIQ W PROSTYH MODELQHSLOVNYH FIZI^ESKIH SISTEMdLQ OPREDELENIQHIMI^ESKOGO SOSTAWA WO MNOGIH SLU^AQH PRIMENQ@TSQ SPEKTROSKOPI^ESKIE METODY.nADEVNOSTX INTERPRETACII DANNYH,POLU^ENNYH W \KSPERIMENTE, SU]ESTWENNO WOZRASTAET PRI NALI^IITEORETI^ESKI RAS^ETOW SPEKTROW SOBSTWENNYH KOLEBANIJ RAZLI^NYHMOLEKUL, OBRAZU@]IH ISSLEDUEMOE WE]ESTWO.sPECIFI^ESKOJ OSOBENNOSTX@ PODOBNYH RAS^ETOW QWLQETSQT]ATELXNYJ ANALIZ IME@]IHSQ U MOLEKUL SIMMETRIJ. nEOBHODIMYJ MATEMATI^ESKIJ APPARAT BYL RAZRABOTAN W RAMKAH TEORIIPREDSTAWLENIJ { DOSTATO^NO SLOVNOGO RAZDELA LINEJNOJ ALGEBRY,POSWQ]ENNOGO IZU^ENI@ WZAIMOSWQZI MEVDU GRUPPAMI SIMMETRIJI MATRI^NYMI GRUPPAMI.rASSMOTRIM PROSTOJ PRIMER, POZWOLQ@]IJ UWIDETX SWQZXSWOJSTW SOBSTWENNYH KOLEBANIJ S GRUPPOJ SIMMETRIJ MOLEKULY BEZPRIWLE^ENIQ METODOW TEORII PREDSTAWLENIJ.

bUDEM PREDPOLAGATX,^TO MOLEKULA SOSTOIT IZ ^ETYREH ODINAKOWYH ATOMOW, RASPOLAGA@]IHSQ W POLOVENII RAWNOWESIQ W WERINAH PRAWILXNOGO4.1.rAS^ET MOLEKULQRNYH SPEKTROW.19aBrIS. 7WTETRA\DRA A B C D (rIS.7), I ^TO POTENCIALXNAQ \NERGIQMEVATOMNOGO WZAIMODEJSTWIQ ZAWISIT TOLXKO OT RASSTOQNIQ MEVDUATOMAMI. dANNAQ MEHANI^ESKAQ SISTEMA IMEET 12 STEPENEJ SWOBODY:3 STEPENI SOOTWETSTWU@T POSTUPATELXNOMU DWIVENI@ EE CENTRAMASS O , 3 STEPENI SWOBODY { WRA]ENI@ OTNOSITELXNO OTNOSITELXNOCENTRA MASS I, NAKONEC, 6 STEPENEJ SWOBODY OTWE^A@T KOLEBANIQMMOLEKULY.sREDI WOZMOVNYH MALYH KOLEBANIJ OTMETIM PREVDE WSEGODWIVENIE, W KOTOROM ATOMY PEREME]A@TSQ S NEKOTOROJ ^ASTOTOJ!1 WDOLX LU^EJ OA OB OC I OD { MOLEKULA OSTAETSQ PODOBNOJSAMA SEBE (rIS.

7A). sLEDU@]IJ TIP KOLEBANIJ { KOLEBANIQS ^ASTOTOJ !2 , SIMMETRI^NYE OTNOSITELXNO ODNOWREMENNO DWUHWZAIMNO PERPENDIKULQRNYH PLOSKOSTEJ SIMMETRII TETRA\DRA(RIS.7B). pRINIMAQ WO WNIMANIE RAZNYJ HARAKTER SME]ENIJ,MOVNO PREDPOLOVITX, ^TO, PO KRAJNEJ MERE, W OB]EM SLU^AE !1 =6!2 . tAK KAK U TETRA\DRA ESTX TRI PARY WZAIMNO PERPENDIKULQRNYHPLOSKOSTEJ ( AOB I COD , AOC I BOD , AOD I BOC ),SU]ESTWU@T TRI MALYH KOLEBANIQ OPISANNOGO TIPA.

sTEPENXWYROVDENIQ SOBSTWENNOJ ^ASTOTY !2 NE MENEE DWUH { LEGKOUBEDITXSQ W NEZAWISIMOSTI L@BOJ PARY KOLEBANIJ IZ \TOJ TROJKI.tRETIJ TIP KOLEBANIJ { KOLEBANIQ S ^ASTOTOJ !3 , SOHRANQ@]IESWOJ WID PRI POWOROTAH WOKRUG ODNOJ IZ OSEJ SIMMETRII TRETXEGOPORQDKA (RIS.7W). ~ETYREM OSQM SIMMETRII TRETXEGO PORQDKABUDUT SOOTWETSTWOWATX ^ETYRE KOLEBANIQ TAKOGO TIPA, L@BYE TRIIZ NIH LINEJNO NEZAWISIMY. sLEDOWATELXNO, ^ASTOTA !3 (NET20OSNOWANIJ PREDPOLAGATX, ^TO ONA RAWNA !1 ILI !2 ) IMEET STEPENXWYROVDENIQ NE MENEE TREH. tAK KAK S U^ETOM WYROVDENIJ USISTEMY DOLVNO BYTX ESTX SOBSTWENNYH ^ASTOT, MOVNO SDELATXWYWOD: ^ASTOTA !2 QWLQETSQ DWUHKRATNO WYROVDENNOJ, ^ASTOTA !3{ TREHKRATNO WYROVDENNAQ.4.2.cEPO^E^NYE MODELI.dLQ PONIMANIQ QWLENIJ,NABL@DAEMYH PRI WOZBUVDENII KOLEBANIJ W KRISTALLI^ESKOJREETKE ILI W DLINNOJ POLIMERNOJ MOLEKULE, SPECIALISTYISPOLXZU@T PROSTYE MODELI, PREDSTAWLQ@]IE SOWOKUPNOSTXTO^E^NYH MASS, SOEDINENNYH PRUVINAMI.

tAKIE MODELI NAZYWA@TLINEJNYMI CEPO^KAMI.pRI ISSLEDOWANII LINEJNOJ CEPO^KI S BOLXIM ^ISLOM\LEMENTOW MALYE KOLEBANIQ CELESOOBRAZNO RASSMATRIWATX KAKNEKIE WOLNOWYE PROCESSY.w KA^ESTWE PRIMERA IZU^IM SWOJSTWA MALYH KOLEBANIJIZOBRAVENNOJ NA RIS. 8 SISTEMY IZ n SWQZANNYH MAQTNIKOW. uGLYOTKLONENIQ MAQTNIKOW OT WERTIKALI q1 : : : qn WOZXMEM W KA^ESTWEOBOB]ENNYH KOORDINAT DANNOJ SISTEMY. eE KINETI^ESKAQ \NERGIQT (q_ ) I POTENCIALXNAQ \NERGIQ (q) IME@T WIDn12 X 2T (q_ ) = 2 ml q_kk=1(4:1))2n (rXc2L + l(sin qk+1 ; sin qk )] + l2(cos qk+1 ; cos qk) ; L ;(q) = 2k=1nX;mgl cos qk:k=1zDESX l I m { DLINA PODWESA I MASSA MAQTNIKOW, L { RASSTOQNIEMEVDU TO^KAMI PODWESA, c { VESTKOSTX PRUVIN. dLQ POSTROENIQURAWNENIJ MALYH KOLEBANIJ APPROKSIMIRUEM (q) KWADRATI^NOJFORMOJ2 n;13nXX1(q) = 2 4cl2 (qk+1 ; qk )2 + mgl qk25 :(4:2)k=1k=1uRAWNENIQ DWIVENIQ, LINEARIZOWANNYE W OKRESTNOSTI USTOJ^IWOGO POLOVENIQ RAWNOWESIQ q1 = = qn = 0, ZAPIEM SLEDU@]IMOBRAZOM:q1 + (q1 ; q2) + q1 = 0(4:3)qk + (2qk ; qk;1 ; qk+1) + qk = 0 k = 2 n ; 121rIS.

8GDE PARAMETRYqn + (qn ; qn;1) + qn = 0 = mc = gl :pOLEZNO SRAWNITX URAWNENIQ (4.3) S URAWNENIQMI MALYHKOLEBANIJ BESKONE^NOJ CEPO^KI MAQTNIKOW:qk + (2qk ; qk;1 ; qk+1) + qk = 0 k = 0 1 : : :(4:4)eSLI q1(t) : : : qn(t) QWLQ@TSQ KOMPONENTAMI REENIQ URAWNENIJ(4.4)( : : : q0(t) q1(t) : : : qn(t) qn+1(t) : : : )(4:5)UDOWLETWORQ@]EGO USLOWI@q0 = q1 qn = qn+1(4:6)TO TOGDA q(t) = (q1(t) : : : qn(t))T BUDET REENIEM URAWNENIEM (4.3).tAKIM OBRAZOM, MALYE KOLEBANIQ SISTEMY IZ n MAQTNIKOW MOVNORAZYSKIWATX W WIDE SUMMY PROSTEJIH REENIJ SISTEMY (4.4) {BEGU]IH WOLNqk = V ei(!tk') k = 0 1 : : :(4:7)GDE ! { ^ASTOTA KOLEBANIJ, ' { RAZNOSTX FAZ KOLEBANIJ SOSEDNIHMAQTNIKOW (0 ' ).

fAZA ' I ^ASTOTA ! SWQZANYDISPERSIONNYM SOOTNOENIEM!2 = 4 sin2 '2 + WOZNIKA@]EM PRI PODSTANOWKE (4.7) W (4.4).22sOOTNOENIQ (4.6) WYPOLNQ@TSQ PRI NALOVENII WOLN, BEGU]IHW PROTIWOPOLOVNYH NAPRAWLENIQH:qk (t) = V;ei(!t;k') + V+ ei(!t+k') k = 0 1 : : :(4:8)GDE KO\FFICIENTY V; I V+ DOLVNY BYTX REENIEM SISTEMYODNORODNYH LINEJNYH URAWNENIJV;(1 ; e;i' ) + V+(1 ; ei') = 0(4:9)V; e;in'(1 ; e;i' ) + V+ ein'(1 ; ei') = 0:sISTEMA (4.9) IMEET NETRIWIALXNOE REENIE TOLXKO W TOM SLU^AE,KOGDA EE DETERMINANT (1 ; e;i')(1 ; ei') = 2i(1 ; ei' )(1 ; e;i' ) sin n' e;in' (1 ; e;i' ) ein' (1 ; ei') RAWEN 0. |TO USLOWIE WYDELQET n NEZAWISIMYH REENIJ,UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ (4.6), W KOTORYH ' = 'j ! = !j , GDEvuu(j;1)(4:10)! = t + 4 sin2 (j ; 1) j = 1 n:' =jnj2npEREJDEM TEPERX K OTYSKANI@ KOMPONENT AMPLITUDNYH WEKTOROWuj , j = 1 n .

pRI ' = 'j , j =6 1 SISTEMA (4.9) DOPUSKAET REENIEV; = ei' =2 V+ = e;i' =2:pODSTANOWKA (4.10) I (4.11) W (4.8) DAET REENIEqj (t) = uj ei! tjjjGDE(4:11)(4:12)= (u1j : : : unj )T(4:13)ukj = 2 cos(k ; 21 ) '2j = 2 cos(k ; 12 )(j ; 1) 2j = 2 n k = 1 n:pRI j = 1 SOOTNOENIE (4.10) DAET REENIE, W KOTOROMKOLEBANIQ PROISHODQT SINFAZNO ('1 = 0) S ^ASTOTOJ, RAWNOJ^ASTOTEKOLEBANIJ MATEMATI^ESKOGO MAQTNIKA: !1 = 1=2 =qgl . o^EWIDNO, ^TO MAQTNIKI DOLVNY KOLEBATXSQ S RAWNYMIAMPLITUDAMI (u11 = : : : = un1).

pRINIMAQ WO WNIMANIE,^TO FORMALXNAQ PODSTANOWKA j = 1 W (4.13) PRIWODIT Kuj23rIS. 9TAKOMU VE REZULXTATU, FORMULU (4.13) MOVNO RASSMATRIWATXKAK OB]EE WYRAVENIE DLQ KOMPONENT AMPLITUDNOGO WEKTORA W"MONOHROMATI^ESKOM" DWIVENIIqj (t) = Cj1uj cos(!j t + Cj2)j = 1 n:z A D A ^ A. nAJTI SOBSTWENNYE ^ASTOTY KOLEBANIQ IZOBRAVENNOJ NA RIS.9CEPO^KI IZ 2n SWQZANNYH PRUVINAMI MAQTNIKOW. mAQTNIKI S NE^ETNYMINOMERAMI IME@T MASSU m , MASSY MAQTNIKOW S ^ETNYMI NOMERAMI RAWNA M .dLINY MAQTNIKOW I VESTKOSTX PRUVIN SOWPADA@T.24rAZDEL IImALYE KOLEBANIQW SKLERONOMNYH SISTEMAHmEHANI^ESKAQ SISTEMA NAZYWAETSQ SKLERONOMNOJ, ESLI NA NEENALOVENY TOLXKO STACIONARNYE SWQZI.mALYE KOLEBANIQ SKLERONOMNOJSISTEMY POD DEJSTWIEM SIL, NE ZAWISQ]IHQWNO OT WREMENI1.dWIVENIE SKLERONOMNOJ SISTEMYPOD DEJSTWIEM SIL PROIZWOLXNOJ PRIRODY, NE ZAWISQ]IH QWNO OTWREMENI, OPISYWAETSQ URAWNENIQMI lAGRANVA WTOROGO RODA1.1.

uRAWNENIQ DWIVENIQ.d @T ! ; @T = Q(1:1)dt @ q_@qGDE Q = (Q1 (q q_ ) : : : Qn(q q_ ))T { WEKTOR OBOB]ENNYH SIL.bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO q = 0 QWLQETSQ POLOVENIEMRAWNOWESIQ RASSMATRIWAEMOJ SISTEMY. w \TOM SLU^AE, WSOOTWETSTWII S NEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM,Q(0 0) = 0:(1:2)dLQ POSTROENIQ LINEARIZOWANNYH URAWNENIJ DWIVENIQ SISTEMYW OKRESTNOSTI POLOVENIQ RAWNOWESIQ NUVNO SDELATX SLEDU@]EE.(i) wZQTX PRIBLIVENNOE WYRAVENIE DLQ KINETI^ESKOJ \NERGIIW WIDE KWADRATI^NOJ FORMY S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI (SM.NA^ALO PREDYDU]EGO RAZDELA)T = 21 (q_ Aq_ ):(1:3)(ii) rAZLOVITX Q1(q q_ ) : : : Qn(q q_ ) W RQDY tEJLORA I OTBROSITX^LENY WTOROGO I BOLEE WYSOKIH PORQDKOW OTNOSITELXNO q q_ .wOZNIKA@]IE PRIBLIVENNYE FORMULY DLQ OBOB]ENNYH SIL BUDUT25IMETX WID@Q@Qj j Qj = @q qk + @ q_ q_k :k = _ =0k=1 k = _ =0(1:4)Aq + B q_ + C q = 0(1:6)nXqqqqiSPOLXZUQ OBOZNA^ENIQ@Qj j k = 1 njb(1:4)bjk = ; @Qjk = ;@ q_k@qkWYRAVENIQ (1.4) MOVNO PEREPISATX W WEKTORNO-MATRI^NOJ FORME:Q(q q_ ) = ;B q_ ; C q(1:5)GDE B I C { (n n)-MATRICY S \LEMENTAMI bjk I cjkSOOTWETSTWENNO.

mATRICU B NAZYWA@T MATRICEJ SKOROSTNYH SIL(= ;B q_ ), MATRICU C { MATRICEJ POZICIONNYH SIL (= ;C q ).(iii) pOSLE PODSTANOWKI (1.2) I (1.5) W (1.1) POLU^IM URAWNENIQMALYH KOLEBANIJ W OKRESTNOSTI POLOVENIQ RAWNOWESIQoBO]ENNYE SILY(1.3) UDOBNO RASSMATRIWATX KAK SUPERPOZICI@ NESKOLXKIH OSOBYHTIPOW OBOB]ENNYH SIL, LINEJNYH PO q q_ .pUSTX D I ; QWLQ@TSQ SIMMETRI^NOJ I ANTISIMMETRI^NOJMATRICAMI, SUMMA KOTORYH RAWNA B :D = 21 (B + B T ) ; = 12 (B ; B T ):(1:7)sILY Qg = ;;q_ NAZYWA@T GIROSKOPI^ESKIMI.

w L@BOM DWIVENIIMO]NOSTX GIROSKOPI^ESKIH SIL Wg RAWNA NUL@:hiWg = ;(q_ Qg) = ;(q_ ;q_ ) = ; 12 (q_ B q_ ) ; (q_ B T q_ ) =1.2. kLASSIFIKACIQ OBOB]ENNYH SIL..= 21 (B q_ q_ ) ; (q_ B q_ )] = 0eSLI KWADRATI^NAQ FORMA R = 12 (q_ Dq_ ) PRINIMAET TOLXKONEOTRICATELXNYE ZNA^ENIQ, SILY Qd = ;Dq NAZYWA@T DISSIPATIWNYMI (ESLI R > 0 PRI q_ 6= 0, TO TOGDA SILYQd NAZYWA@T SILAMI S POLNOJ DISSIPACIEJ).fORMU RIMENU@T DISSIPATIWNOJ FUNKCIEJ r\LEQ.

nESLOVNO UBEDITXSQ WSPRAWEDLIWOSTI SOOTNOENIJQdj = ; @@Rq_ j = 1 nj26IWd = (q_Qd) = ;2RGDE Wd { MO]NOSTX DISSIPATIWNYH SIL.pOZICIONNYE OBOB]ENNYE SILY MOVNO PREDSTAWITX W WIDE SUMMYPOTENCIALXNYH SILQp = ;K qI CIRKULQCIONNYH SILQc = ;N qK = 12 (C + C T )N = 12 (C ; C T ):kWADRATI^NAQ FORMA = 12 (q K q) QWLQETSQ POTENCIALOM SILOWOGOPOLQ Qp :@ j = 1 n:Qpj = ; @qjiZ SWOJSTW POLQ CIRKULQCIONNYH SIL OTMETIM ORTOGONALXNOSTX QcWEKTORU OBOB]ENNYH KOORDINAT:(q Qc) = ;(q N q) = 0:4.3.wLIQNIE DISSIPATIWNYH SIL NA KOLEBANIQKONSERWATIWNOJ SISTEMY.

dWIVENIE KONSERWATIWNOJ MEHANI^ESKOJSISTEMY PRI DOBAWLENII DISSIPATIWNYH SIL Qd OPISYWAETSQURAWNENIQMIAq + Dq_ + K q = 0(1:8)GDE A D K { SIMMETRI^ESKIE POLOVITELXNO OPREDELENNYEMATRICY.rAZYSKIWAQ REENIE URAWNENIJ (1.8) W WIDE uet , POSLEPODSTANOWKI W (1.8) POLU^IM, ^TO WEKTOR u I MNOVITELX WPOKAZATELE \KSPONENTY DOLVNY UDOWLETWORQTX USLOWI@(A2 + D + K )u = 0:(1:9)nENULEWOJ WEKTOR u , UDOWLETWORQ@]IJ SOOTNOENI@ (1.9),SU]ESTWUET TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA QWLQETSQ KORNEMHARAKTERISTI^ESKOGOURAWNENIQdet(A2 + D + K ) = 0:27(1:10)hARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE QWLQETSQ ALGEBRAI^ESKIM URAWNENIEM STEPENI 2n OTNOSITELXNO . w OB]EM SLU^AE EGO KORNIBUDUT KOMPLEKSNYMI ^ISLAMI. pRI PODSTANOWKE W (1.9) = ,GDE { KOMPLEKcNYJ KORENX HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ,WOZNIKAET LINEJNAQ SISTEMA S KOMPLEKSNYMI KO\FFICIENTAMI EENETRIWIALXNOE REENIE u = u BUDET SODERVATX KOMPLEKSNYEKOMPONENTY.