balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (Л.И. Балабух, Н.А. Алфутов, В.И. Усюкин - Строительная механика ракет), страница 8

ному состоянию. Основное практическое значение имеет прямая задача: именно такие задачи обычно встречаются в инженерной практике. Но решение уравнений в частных производных (2.5) или (2.8), к которым сводится плоская задача, при произвольно заданных форме контура и нагрузках представляет собой чрезвычайно сложную математическую проблему.

Точное решение этих уравнений удается получить лишь для. ряда частных задач. В подавляющем большинстве случаев решение может быть|выполнено только с помощью того или иногда приближенного метода. Получить точное решение 'обратной задачи, как правило, неизмеримо проще. Действительно, если для области произвольной формы заданы какие-то функции перемещений и = и (х, д) и о = о (х, у), то по формулам (2.2) и (2.3) легко определить деформации и напряжения. ~р = с,о х' + с„ху + соз у' + сз, х'у + с|з ху'+ сзо хз + + соз у + сз1 х у + с1з хуз (2.16) тождественно удовлетворяет уравнению (2.8) при любых с~ „.

Заметим, что вводить в решение слагаемые соо, с1о х, со1 у не имеет смысла, так как на значениях напряжений в соответствии с формулами (2.6) они никак не отражаются. По формулам (2.6), считая пока р д„= О и р д„= О, находим о,, = 2соз+ 2с1з х + 6соз у + 6с1з ху; а„= 2с„+ 2сз1 у + 6сзо х + 6сз1 ху~ т „„=- — с„— 2сз, х — 2с1з у — Зс„х' — Зс1, у'. (2.17) При этом уравнения равновесия (1.33) будут, конечно, автоматически удовлетворены.

Следует подчеркнуть, что на этом этапе решения обратной задачи еще не фигурируют ни форма интересующей нас области, ни ее положение относительно координатных осей х и у. Далее, конкретизировав геометрию той области, для которой находят решение обратной задачи, по зависимостям (2.4) определяют контурные нагрузки, которые необходимо приложить, чтобы создать поле напряжений (2.17).

Эти контурные нагрузки автоматически должны получаться самоуравновешенными, поскольку и внутри области, и на ее границе условия равновесия каждого элемента удовлетворены. В силу линейности задачи можно получать решения для отдельных членов полинома (2.16), а затем, используя принцип независимости действия сил, конструировать различные комбинации этих решений. Намеченная схема решения обратной задачи в прямоугольных координатах наиболее естественно выглядит для прямоугольной области (прямоугольной полосы) со сторонами, параллельными координат- Далее из условий равновесия (1.33) или (2.5) можно найти объемные нагрузки Х = Х (х, у) и 1' = У (х, у), а по значениям перемещений (или напряжений) на контуре определитЬ гсометрические (или силовые) граничные условия, соответствующие заданному напряженно-дефор* мированпому состоянию. Точные решения обратных задач полезны по двум,"причинам.

Вопервых, некоторые из решенных обратных частных задач имеют непосредственное практическое значение, и в этих случаяХ при прямой постановке задачи можно сразу воспользоваться готовым точным решением. Во-вторых, даже вычурное, заведомо не имеющее непосредственного практического применения, но точное решение обратной задачи может быть использовано как эталон при разработке приближенных методов решения прямой задачи. Рассмотрим примеры построения решений обратной плоской задачи теории упругости с помощью алгебраических полиномов.

Как было показано в предыдущем параграфе, решение плоской задачи в напряжениях сводится к бигармоническому уравнению (2.8). Очевидно, что полипом ным осям. Так, например, взяв ч~ =- сзз уз, получим о„= О, т„з — — О, «г = 2с„з, что соответсгвует одноосному равномерному растяяению (сжатию) полосы нормальными равномерно распределенными контурными нагрузками (рис.

2.4, а). Если с~ = с„ху, получим о = О, о„' = О, т„„= — с„: в этом случае полоса подвержена чистому сдвигу под действйем равномерно распределенных по контуру касательных сил (рис. 2А, б). При «р = с„у' получим чистьш изгиб полосы нормальными контурными нагрузками, линейно изменяющимися по коа) Ю Рис. 2.4 ординате у (рис. 2.4, в); при этом «т„= бс„у, «т„= О, т„„= О.

Аналогично можно построить решения и для всех остальных членов поли- нома (2.16). Полученные решения можно объединять. Так, взяв функцию напряжений в виде двух слагаемых «р = соз у' + соз у', получим о„= = 2соз+ бсоз у, оо = О, т,,„= О, т. е.

получим сочетание растяжения (сжатия) полосы с чистым изгибом (рис. 2А, г). Рассмотрим чуть более сложную задачу. Функцию напряжений возьмем в виде двух слагаемых «р = см ху+ с1з хуз и найдем такое соотношение между коэффициентами с„и с« „при котором продоль.

ные стороны полосы (рис. 2.6, а) свободны от касательных напряжений. Из формул (2.17) имеем «г„= бс1з ху; о„= О, т „= — с„— Зс1з уз, откуда искомое соотношение см — — — Зс1з (6/2)з, где Ь вЂ” ширина полосы (см. рис. 2.4, а).

Окончательно получаем а = бс,з ху, оз — — О, т„д = Зс,з((Ы2)' — уЧ. (2.18) Это напряженное состояние соответствует поперечному изгибу полосы под действием касательных контурных нагрузок, изменяющихся на ее торцах по квадратичному закону и уравновешенных линейно изменяющейся нормальной нагрузкой на правом по рисунку торце. Бигармонические функции, т. е. функции, удовлетворяющие бигармоническому уравнению (2.8), можно построить и с помощью полиномов более высокой степени, чем полипом (2,16), но тогда их коэффициенты должны быть связаны определенными соотношениями. Например, будем искать бигармоническую функцию в виде полинома четвертой степени 7 — С40 Х + С22 Х Я + С04 Д (2.19) Подставив эту функцию в бигармоническое уравнение (2.8), найдем соотношение, связывающее коэффициенты с; ~: 24с4, + 8 с„+ 24с„= О.

При выполнении последнего соотношения функция (2.19) удовлетворяет бигармоническому уравнению (2.8). Рис. 2.5 Воспользуемся функцией (2.19) для решения еще одной обратной задачи. Положим с„= О; тогда функцию напряжений, удовлетворяющую уравнению (2.8), очевидно, можно записать в таком виде: ч) = с (хФ вЂ” у4). Из формул (2.Б) находим о„= — 12су', о' = 12сх', с„.„= О. Такому напряженному состоянию соответствует нормальная контурная нагрузка, изменяющаяся вдоль сторон полосы по квадратичному закону (рис. 2.5, б). Наложив на полученное решение одноосное рас- тяжение по оси х и одноосное сжатие по оси у и изменив обозначения коэффициентов, можно получить следующее напряженное состояние: а„= ао (1 — (2у/Ь)Ч, оо = — оо 11 — (2 х/а)'1 (аЧЬо), т „= О, где а и Ь вЂ” соответственно длина и ширина полосы (см.

рис. 2.4, а). Это состояние соответствует функции напряжений оо ~ о аа х4 у4 (р = — Зу' — 3 — хо+2 6 Ьо ь Нормальные контурные нагрузки, приводящие к такому напряженному состоянию, изменяются по квадратичному закону, повторяющему закон изменения нормальных напряжений а„и а„в сечениях х = =- сопз1 и у = сопз1 (рис. 2.5, в). Важно обратить внимание на следующее обстоятельство. Как мы видели в предыдущих примерах, нормальные нагрузки, линейно изменяющиеся вдоль стороны полосы, приводят к одноосному напряженному состоянию с напряжениями о„, постоянными вдоль всей полосы (см. рис. 2.4, а, в, г).

Другим словами, линейная нормальная контурная нагрузка передается без искажения по всей длине полосы и не вызывает никаких напряжений, кроме а„. Однако в общем случае это совсем не так: нормальная контурная нагрузка, изменяющаяся не по линейному закону, вызывает в полосе неоднородное двухосное напряженное состояние с напряжениями о„, изменяющимися как по ширине, так и по длине полосы. Например, если у изображенной на рис. 2.5, в полосы снять нагрузку с продольных сторон, то на первый взгляд может показаться, что это приведет только к обращению в нуль напряжений а„и не отразится на значении напряжений о„. В действительности же, хотя напряженное состояние и„= оо 11 — (2у/Ь)Ч, оо — — О, т„о — — О является с т а т и ч е с к и в о з м о ж н ы м, т.

е. уравнения равновесия и силовые граничные условия при таком напряженном состоянии удовлетворяются, но бигармоническое уравнение (2.8), как нетрудно проверить, удовлетворено не будет. Следовательно, это напряженное состояние не явлется решением задачи. В данном случае получить точное решение оказывается совсем не просто; можно только заранее утверждать, что действительное напряженное состояние не будет одноосным (рис. 2.5, г).

В приведенных решениях обратных задач объемные нагрузки полагались равными нулю. Нетрудно дополнить эти решения и для того случая, когда имеются постоянные объемные нагрузки Х =- ро„и У = рдо. Для этого достаточно ввести в решение величины о, = хромо и о„= уров и учесть их в граничных условиях.

Точное решение обратной задачи на основе принципа Сен-Венана может быть использовано для получения приближенных решений целой серии прямых задач, имеющих непосредственное практическое значение. В середине прошлого века Сен-Венаном было высказано предположение, что характер распределения нагрузки, прилсаюенной н малой части тела, существенно влияет на напряменное состояние лишь в непосредственной близости от места ее приложения, а в остальной части тела напряяенное состояние достаточно точно определяется только величинами равнодействующих силы и момента этой нагрузки и пРактически не зависит от закона распределения последней.