Методичка для ДЗ Часть 2 (МУ для ДЗ и КП по дисциплине "МЖГ" - Часть 2 Гидродинамика), страница 2

Уравнение Бернулли в таком виде применимо и длядвижения газообразных сред при соблюдении одного из основных условий. Этим условием является малое значение скорости течения газапо сравнению со скоростью распространения в нем звука.Задача 1.1. В трубу с поршнем (рис. 1.1) необходимо всосатьза время t объем V жидкости, имеющей плотность . При этомнужно определить: а) с какой скоростью vп нужно перемещатьпоршень? б) какую внешнюю силу P нужно при этом приложитьк поршню? в) какая работа A будет совершена при перемещениипоршня?Рис. 1.19Решение. При решении задачи принимаем следующие допущения: жидкость несжимаема, движение установившееся, скоростьпотока vп = const, процесс считается идеальным (гидравлическимипотерями напора пренебрегаем), жидкость невязкая, т.

е. отсутствует рассеяние механической энергии (она не переходит в теплоту),и наконец, поршень идеальный (он движется в трубе без трения,утечек нет).Решение задачи предусматривает использование двух законов,которые были приведены выше:1) закон сохранения массы: Q = vF = const — уравнение постоянства расхода;v2p+= const — урав2) закон сохранения энергии: H = z +g 2gнение Бернулли.Последнее утверждение кажется противоречивым. Действительно, затрачиваем энергию для перемещения поршня, а полный напорH = const. Почему энергия 1 кг жидкости в баке и энергия 1 кгжидкости, перемещаемой в трубе за поршнем, одинакова? Объяснение этому факту будет дано ниже.а) Объемный расход, м3 /с, может быть определен по формуQ V 4V.ле Q = .

Тогда скорость поршня, м/с, равна vп = =tFt D 2При всасывании жидкости в цилиндр сила P в ньютонах, которую нужно приложить к поршню, определяется значением вакуумапод поршнем. Исходя из условия равномерного движения поршня,имеемD 4,P = (pатм − pа )F = pв4где pа — абслютное давление; pв — давление вакуума.Значение вакуума может быть определено из уравнения Бернуллиp1 v12p2 v22+= z2 ++ .z1 +g 2gg 2gВыбрав сечения 1–1 и 2–2 и приняв за плоскость отсчета плоскость z = 0, совпадающую с уровнем жидкости в баке, получимz1 = 0;10p1 = pатм ;v1 ∼= 0,так как F1 F2 и v1 v2 ;z2 = Hвс ;p2 = pа ;v2 = vп .Уравнение Бернулли можно записать как в абсолютной, таки в избыточной системе давлений:pатмv2pа= Hвс ++ п;gg 2gpатм − pа pв= ;ggpвv2= Hвс + п .g2gВ последнем выражении Hвс — высота всасывания; vп2 /(2g) — скоростной напор в сечении 2–2; pв /( g) — вакуумметрическая высота.б), в) С учетом изложенного выше сила P может быть опредеv2 лена как P = g Hвс + п F .

Работа этой постоянной силы в джо2gулях равна произведению силы на перемещение S: A = P S. Так какS = V /F , то A = pв F V /F = pв V .Поскольку весовое количество всасываемой жидкости равноG = gV , работу можно представить иначе:v2 A = G Hвс + п .2gИз курса механики известны две формы механической энергии, присущие твердым телам, — энергия положения и кинетичеv2ская энергия: E = z + . В уравнение Бернулли для движущейся2gжидкости добавлена и третья форма — энергия давления p/( g). Этоэнергия, которую могут сообщить жидкости внешние силы давления.

В рассматриваемой задаче эту работу производит поршень.Именно поэтому энергия 1 кг жидкости в сечениях 1–1 и 2–2 одинакова.Задача 1.2. В стенку бака с бензином ( = 700 кг/м3 ) вмонтирован короткий трубопровод с вентилем на конце (рис. 1.2). Участокс сужением имеет минимальный диаметр d = 100 мм. Заглубление осевой линии трубопровода под свободную поверхность (СП)жидкости H = 3 м. Показание манометра M равно 150 кПа.

Барометрическое давление hбар = 736 мм рт. ст. Давление насыщенныхпаров бензина pн.п = 30 кПа. Определить возможный максимальный11где pатм = рт ghбар = 13 600 · 9,81 · 0,736 = 98 194 Па ( рт — плотность ртути), тогда98 194 + 150 000 − 30 000 vmax = 19,6 3 += 26,1 м/с.700 · 9,81Рис. 1.2Следовательно, возможный максимальный расход бензина черезтрубопровод составитQmax = vmaxрасход бензина Qmax через трубопровод. Гидравлическими потерями напора пренебречь.Решение. Расход может быть определен по уравнению постоянства расхода Q = vF .

При известной проходной площади узкогосечения задача по определению расхода сводится к нахождениюскорости в нем. Последняя может быть найдена из уравнения Бернулли для двух сечений, показанных на чертеже, с выбранной плоскостью отсчета z = 0:z1 +p1p2v2v2+ 1 1 = z2 ++ 2 2 .g2gg2gПо мере открывания вентиля скорость в суженном сечении увеличивается, а давление уменьшается.

В момент, когда абсолютноедавление в этом месте достигнет значения pн.п , скорость будет максимальной. Дальнейшее открытие вентиля уже не приведет к увеличению расхода. В абсолютной системе уравнение Бернулли призаданных условиях имеет видH+2pатм + pи pн.п vmax=+,gg2gгде pи — избыточное давление. Конфузор выравнивает скорости, поэтому считаем, что распределение скоростей по сечению равномерное, 2 = 1. Значение vmax находим по следующему выражению: pатм + pи − pн.п ,vmax = 2g H +g12d24= 26,1 ·4· 0,01 = 0,205 м3 /с = 205 л/с.2.

Режимы движения жидкости. Истечениежидкости через отверстия и насадкиВ теории гидродинамического подобия при исследовании установившегося движения однородных жидкостей в подобных потокаходним из важнейших критериев является число РейнольдсаRe =vL= idem;Re — величина безразмерная, выражающая отношение сил инерциии сил вязкости жидкости (v — характерная скорость; L — характерный линейный размер; — коэффициент кинематической вязкостижидкости). При движении жидкости в трубопроводе круглого сечения характерной скоростью является vср , за характерный размерпринимают диаметр d, число Рейнольдса определяют по формулеRe =vср d.Для потоков в трубах некруглого сечения число Re находятпо выражению Re = vD/, где D = 4F / — гидравлический диаметр; F — площадь сечения трубы; — периметр сечения (смоченный).Являясь основным критерием подобия напорных потоков (длякоторых характерно отсутствие свободной поверхности), число Reопределяет режим движения жидкости в трубопроводах.

ПриRe < Reкр (Reкр — критическое значение числа Рейнольдса) существует ламинарный режим течения, при Re > Reкр — турбулентный.При течении жидкости в различных каналах значения Reкр находятся в диапазоне Reкр = 2000 . .. 3000 (так называемая критическаязона). Для труб круглого сечения принимают Reкр = 2300.Задача 2.1. Для трубки квадратного сечения, сторона которого a = 10 мм (рис.

2.1), определить критическую скорость, соответствующую смене режимов движения воды при температуреt = 20 ◦ C ( = 0,01 Ст), воздуха при температуре t = 20 ◦ C и давле14нии p = 100 кПа ( = 1,82 · 10−4 П, == 1,17 кг/м3 ) и турбинного масла приt = 20 ◦ C ( = 1 Ст), приняв Reкр = 2000.Решение. Гидравлический диаметрРис. 2.1в данном случае D = 4a2 /(4a) = a = 0,01 м;следовательно, искомая критическая скорость может быть определена из формулыReкр =vкр a⇒ vкр =Reкр .aПри движении воды2 000 · 0,01 · 10−4= 0,2 м/с.0,01При движении воздухаvкр ===1,82 · 10−4 · 0,1= 1,55 · 10−5 м2 /с;1,172 000 · 1,55 · 10−5= 3,1 м/с.0,01При движении турбинного маслаvкр =vкр =2 000 · 1,00 · 10−4= 20 м/с.0,012.1.

Истечение жидкости через малые отверстияВ случае истечения жидкости через малые отверстия или насадки разной формы из емкостей в атмосферу или в пространство,заполненное жидкостью, основным вопросом является определениескорости истечения и расхода жидкости. При установившемся истечении жидкости из относительно большого резервуара через малоекруглое отверстие с острой кромкой (рис. 2.2) средняя скоростьв сжатом сечении струи может быть определена из уравнения Бернуллиp1 p2v2v2=++ .H0 +gg2g2gВведя понятие располагаемого напора истечения (разность значений гидростатического напора в резервуаре и в центре сжатого15p1 − p2, посечения струи) H = H0 +gлучим1 2gH = 2gH,v= +коэффициент скорогде — безразмерныйсти, = 1/ + ; — коэффициент кинетической энергии в сжатом сеченииструи; — коэффициент сопротивленияотверстия, выражающий потерю напорапри истечении в долях скоростного напора струи.Рис.

2.2Степень сжатия струи, вытекающейчерез круглое отверстие, характеризуется безразмерным коэффициентом сжатия = Fс /F0 = (dс /d0 )2 < 1.√Расход через отверстие определяют по формуле Q = F0 2gHили Q = F0 2p/ , где p — перепад давлений, под действием которого происходит истечение.В выражении для расхода — безразмерный коэффициент расхода, связанный с ранее упомянутыми коэффициентами и зависимостью = .Значения всех трех коэффициентов зависят от формы кромок,условий подтекания жидкости√ к отверстию и числа Рейнольдса,d0 2gH. При Re 105 влияние числа Reопределяемого как Re =на эти коэффициенты практически отсутствует (квадратичная зонаистечения), и для теоретических расчетов принимают их значения = 0,60; = 0,62; = 0,97.

При этом неравномерность скоростей∼в сжатом сечении струи весьма невелика, и поэтому = 1. Тогда∼∼ = 1/ 1 + и значение = 0,06.В случае истечения идеальной жидкости гидравлические потери отсутствуют, следовательно, = 0 и = 1. Идеальная скорость√истечения равна vи = 2gH. Тогда коэффициент скорости можнозаписать как отношение двух скоростей:vv=< 1.2gH vи = √16Отношение удельной кинетической энергии струи к располагаемому напору будет энергетической характеристикой самого процесса истечения через отверстие (КПД процесса):=v2= 2 =;2gH+∼=1 ∼ 2= (при больших Re).1+Задача 2.2. Определить расход воды через отверстие с остройкромкой диаметром d = 150 мм, выполненное в торце вертикальнойтрубы диаметром D = 300 мм, если показание манометра M перед отверстиемравно 150 кПа и высота расположенияманометра над плоскостью отверстияh = 1 м (рис.

2.3). Принять коэффициент сопротивления отверстия = 0,06.Коэффициент сжатия струи при выходеиз отверстия определить по эмпирической формуле, действительной присопоставимых порядках D и d: F 2отв = 0,62 + 0,38.Рис. 2.3F1Решение. Для выбранных сечений 1–1 и 2–2 с плоскостью отсчета z = 0, совпадающей с 2–2, запишем уравнение Бернулли в избыточной системе давлений:h+v2v2v2pи+ 1 1 = 2 2 + 2 .gg2g2gПолагая, что режим движения турбулентный, считаем 1 = 2 = 1.Уравнение постоянства расхода позволяет выразить среднюю скорость движения в трубопроводе v1 через среднюю скорость истечения v2 :F2v1 F1 = v2 F2 ; v1 = v2 .F1 d 2d2, то v1 = v2 ;Так как F2 = Fотв = 4D 150 4 = 0,62 + 0,38= 0,62 + 0,024 = 0,643.30017Скорость истеченияp1,5 · 105 2g h + и19,62·1+g9,81 · 103v1 = = 18,28 м/с. d 4 =1 + 0,06 − 0,1031 + − 2DИскомый расход воды через отверстиеQ = v2 d24= 18,28 · 0,643 ·4· 0,0225 = 0,208 м3 /с = 208 л/с.2.2.

Истечение жидкости через насадки различной формыПри истечении жидкости через насадки различной формы (чаще всего под относительно большим напором) скорость истеченияна выходе и расход через насадки определяют по следующим формулам:v = н 2gH; Q = н Fн 2gH,где Fн — выходная площадь насадка; н и н — безразмерные коэффициенты скорости и расхода насадка, определяемые опытнымпутем. Средние значения коэффициентов истечения для основныхтипов насадков при больших числах Re (квадратичная зона) приведены в справочной литературе.Для некоторых насадков коэффициенты истечения могут бытьприближенно определены при расчете путем суммирования потерьна отдельных участках потока.Общую потерю напора для внешнего цилиндрического насадка(рис.

2.4) можно представить в виде суммыhп = v2= hп(1−x) + hп(x−2) ,2gгде слагаемые в правой части уравнения — это потери напорана участках от входа в насадок до сечения x и от сжатого сечения x до выходного участка;hп(1−x) = 018vx22g;hп(x−2) =(vx− v)22g,Рис. 2.4и тогдаv2v 2 (vx − v)2= 0 x +,2g2g2gгде 0 — коэффициент сопротивления отверстия с острой кромкой.По уравнению постоянства расходаvvFн = vx Fx ; vx = .xЗначение коэффициента сжатия струи x при входе в насадокзависит от соотношения площадей Fн и F1 и может быть найденопо эмпирической формуле, приведенной в задаче 2.2.