Элементы квантовой механики (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями), страница 5

Определите длинуволны де Бройля такого электрона.5. Две одинаковые нерелятивистские частицы движутся перпендикулярно друг другу, имея длины волн де Бройля λ1 и λ2 . Найдитедлины волн де Бройля каждой частицы в системе их центра масс.6. Нерелятивистская частица массой m1 с кинетической энергией E1испытывает упругое лобовое соударение с покоящейся частицеймассой m2 . Найдите дебройлевские длины волн частиц после соударения в системе отсчёта, связанной с центром масс этих частиц.7.

Вычислите длину волны де Бройля электрона, движущегося в атоме водорода на n−й стационарной орбите.8. Параллельный пучок электронов с кинетической энергией EK =25 эВ испытывает дифракцию на плоской щели шириной b = 5 мкм.Оцените ширину центрального дифракционного максимума на экране, расположенном на расстоянии l = 1 м от щели.Задачи домашнего задания299.

Узкий пучок моноэнергетических нерелятивистских электронов падает нормально на поверхность монокристалла. В направлении, составляющем угол α = 55◦ с нормалью к поверхности, наблюдаетсямаксимум отражения электронов второго порядка. Определите скорость падающих электронов, если расстояние между отражающимиатомными плоскостями кристалла d = 0,2 нм.10. Узкий пучок моноэнергетических нерелятивистских электронов испытывает при падении на монокристалл интенсивное отражениечетвёртого порядка.

Расстояние между отражающими атомнымиплоскостями d = 0,21 нм. Определите кинетическую энергию падающих электронов, если угол между падающим и отражённымэлектронными пучками α = 90◦ .11. Моноэнергетический пучок нерелятивистских электронов зеркально отражается от поверхности монокристалла, испытывая брэгговское отражение.

На сколько отличаются скорости электронов длядвух последующих порядков отражения? Пучок электронов падает под углом скольжения θ = 30◦ . Расстояние между соседнимикристаллическими плоскостями d = 1,65·10−10 м.12. Пучок электронов с кинетической энергией EK = 15 кэВ проходитчерез тонкую поликристаллическую золотую фольгу, а затем попадает на фотопластинку. Области почернения на пластинке имеютформу концентрических колец с центрами на оси пучка.

Рассчитайте диаметр первого кольца, если расстояние от фольги до пластинки L = 10 см. Расстояние между соседними атомными плоскостямидля решетки золота d = 2,9·10−10 м.13. Поток нейтронов проходит через узкие радиальные щели в двухдисках из кадмия, поглощающего нейтроны. Диски насажены наобщую ось так, что щели повернуты друг относительно друга наугол α = 4◦ . Диски вращаются с угловой скоростью ω = 300 рад/с.Определите длину волны де Бройля нейтронов, пропускаемых таким устройством, если расстояние между дисками L = 1 м.14. Оцените с помощью соотношения неопределённостей Гейзенберганеопределённость скорости электрона в атоме водорода, полагаяразмер атома l = 10−10 м.

Сравните полученную величину со скоростью электрона на первой Боровской орбите.Задачи домашнего задания3015. Электрон с кинетической энергией EK = 4 эВ движется в области пространства размером a = 10−10 м. Оцените относительнуюнеопределённость скорости электрона.16.

Используя соотношение неопределённостей, оцените минимальнуюэнергию частицы массой m0 , движущейся в одномерной потенциальной яме шириной a.17. Оцените относительную ширину ∆ωспектральной линии, соответωствующую длине волны λ = 0,6 мкм, если известно время жизниатома в возбуждённом состоянии τ = 10−8 c.18. Типичное время жизни возбуждённого ядра имеет порядок τ ≈10−12 c. Найдите неопределённость энергии (в мегаэлектронвольтах) испускаемых ядрами γ-квантов.19. С помощью соотношения неопределённостей оцените угловую ширину центрального дифракционного максимума на экране послепрохождения пучка электронов с энергией EK = 20 эВ через щельшириной b = 0,6 мкм.20.

Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальнойяме с бесконечно высокими стенками, имеющей ширину a. В какихточках интервала 0 < x < a плотность вероятности обнаружениячастицы одинакова для основного и первого возбуждённого состояний?21. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальнойяме с бесконечно высокими стенками во втором возбуждённом состоянии. Ширина ямы равна a. В каких точках интервала 0 < x < aплотность вероятности обнаружения частицы имеет максимальноеи минимальное значения?22.

Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальнойяме с бесконечно высокими стенками. Найдите отношение вероятностей нахождения частицы в средней трети ямы для первого ивторого возбужденных состояний.23. Частица массой m0 находится в двумерной квадратной потенциальной яме с непроницаемыми стенками. Какова энергия частицыЗадачи домашнего задания31в основном состоянии, если максимальное значение плотности вероятности обнаружения частицы равно wm ?24. Частица массой m0 находится в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Сторона ямы равнаa.

Найдите разность энергий частицы на 3-м и 4-м уровнях ∆E34 ,а также кратность вырождения этих уровней K3 и K4 .25. Частица массой m0 находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Координаты x, yчастицы лежат в пределах 0 < x < a, 0 < y < b, где a и b — стороныямы.

Определите вероятность нахождения частицы с наименьшейэнергией в области:a) 0 < x < a3 ;б) 0 < y < 3b ;в) 0 < x < a3 , 0 < y < 3b .26. 26. Частица массой m0 находится в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками во втором возбуждённом состоянии. Сторона ямы равна a. Определите вероятностьнахождения частицы в области:a)б)в)a4a4a4<x<<y<<x<3a;43a;43a a, 44<y<3a.427. Частица массой m0 находится в кубической потенциальной яме сабсолютно непроницаемыми стенками. Длина ребра куба равна a.Найдите разность энергий частицы на 5-м и 6-м уровнях ∆E56 икратность вырождения этих уровней K5 и K6 .28. Частица массой m0 находится в кубической потенциальной яме сабсолютно непроницаемыми стенками. Найдите длину ребра куба,если разность энергий 3-го и 4-го уровней равна ∆E.29.

Квантовый гармонический осциллятор находится в основном состоянии. Найдите вероятность P обнаружения частицы в области−A < x < A, где A — амплитуда классических колебаний.Задачи домашнего задания3230. Частица с энергией E падает на прямоугольный потенциальныйпорог высотой U0 . Покажите, что при E < U0 коэффициент отражения частицы от порога R равен единице.31. Частица массой m0 , обладающая энергией E, падает на прямоугольный потенциальный порог высотой U0 < E.

Найдите коэффициент отражения R и коэффициент прохождения D этого порога.Убедитесь, что R + D = 1.32. Частица с энергией E падает на прямоугольный потенциальныйпорог высотой U0 . Найдите приближённое выражение для коэффициента отражения R для случая UE0 1.33. Энергия налетающей на прямоугольный потенциальный порог частицы E в η = 2 раз превышает высоту порога U0 . Найдите коэффициент отражения частицы от порога R и коэффициент прохождениячастицы через порог D.34. Коэффициент прохождения частиц через низкий потенциальныйпорог D равен коэффициенту отражения R. Найдите, во сколькораз энергия частиц E больше высоты потенциального порога U0 .35. Найдите коэффициент прохождения частицы массой m0 через треугольный потенциальный барьер видаU (x) = 0, U0 0,1−xdпри x < 0,, при 0 6 x 6 d,при x > d.в зависимости от энергии частицы E при E < U0 .36.

Найдите коэффициент прохождения частицы массой m0 через треугольный потенциальный барьер видаU (x) = 0,при x < 0,U0 xd , при 0 6 x 6 d,0,при x > d.в зависимости от энергии частицы E при E < U0 .Задачи домашнего задания3337. Найдите коэффициент прохождения частицы массой m0 через опотенциальный барьер видаU (x) = 0, U0 0,1−x2d2при x < 0,, при 0 6 x 6 d,при x > d.в зависимости от энергии частицы E при E < U0 .38.

Частица массой m0 падает на прямоугольный потенциальный барьер шириной d и высотой U0 , причём энергия частицы E > U0 .Найдите коэффициент прохождения частицы через барьер D, атакже значения энергии E, при которых частица будет беспрепятственно проходить через барьер.39. Частица массой m0 , обладающая энергией E, падает на прямоугольную потенциальную яму шириной a и глубиной U0 . Найдитекоэффициент прохождения ямы для этой частицы.40. Частица массой m0 падает на прямоугольную потенциальную ямушириной a и глубиной U0 . При каких значениях энергии частицыE она будет беспрепятственно проходить через яму? Убедитесь, чтоэто происходит при условии, что ширина ямы равна целому числудебройлевских полуволн частицы внутри ямы.41.

В некоторый момент времени частица находится в состоянии, описываемом волновой функцией, координатная часть которой имеетвидx2Ψ(x) = Ae− a2 ikx ,где A и a — некоторые постоянные, a k — заданный параметр,имеющий размерность обратной длины. Найдите для данного состояния средние значения координаты hxi и проекции импульсачастицы hpx i.42. Частица массой m0 находится в одномерной потенциальной яме сбесконечно высокими стенками в первом возбуждённом состоянии.Найдите ширину ямы a, если среднее значение кинетической энергии частицы равно E0 .34Список литературы43. Частица находится в двумерной квадратной потенциальной ямес непроницаемыми стенками во втором возбуждённом состоянии.Найдите площадь ямы S, если среднее значение квадрата импульсачастицы hp2 i равно p20 .44.

Определите возможные результаты измерения проекции моментаимпульса Lz , и их вероятности для частицы, находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ(ϕ) = A(1 + sin ϕ), где ϕ— азимутальный угол, а A — некоторая постоянная.45. Найдите средние значения кинетической и потенциальной энергийквантового осциллятора с частотой ω0 в основном состоянии, описываемом волновой функцией Ψ(x) = Ae−постоянная, а m0 — масса осциллятора.m0 ω0 x22~, где A — некоторая~ 2 может быть46. Докажите, что квадрат момента импульса частицы Lодновременно измерим с кинетической энергией частицы EK .Указание.