Элементы квантовой механики (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями), страница 3

Решение общего временного уравнения Шрёдингера в стационарнойзадаче может быть записано в видеiΨ(x, y, z, t) = Ψ(x, y, z)e− ~ Et .(3.25)Поскольку временной множитель в (3.25) известен, то основное внимание мы будем уделять координатной части Ψ(x, y, z), которую и называют волновой функцией стационарной задачи. Такая волновая функцияΨ(x, y, z) зависит только от пространственных координат и удовлетворяет уравнению Шрёдингера для стационарных состояний−~2∆Ψ + U Ψ = EΨ2m0(3.26)или в другой форме записи∆Ψ +2m0(E − U )Ψ = 0~2(3.27)Конкретный вид силового поля в стационарной задаче квантовой механики определяется заданием потенциальной энергии частицы U (x, y, z).В этих задачах плотность вероятности обнаружения частицы (но не самаволновая функция Ψ) не зависит явно от времени:w=dP= |Ψ(x, y, z, t)|2 = |Ψ(x, y, z)|2 .dVРассмотрим некоторые примеры задач о стационарных состояниях вквантовой механике.Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокимистенками.

В этой одномерной задаче потенциальная энергия частицыЗадачи о стационарных состояниях в квантовой механикеU (x)IIIE = E3 , n = 314IIIE = E2 , n = 2E = E1 , n = 1a0x-Рис. 3. 3.1имеет вид (рис. 3) ∞,приx < 0 — область I ,0, при 0 < x < a — область II ,U (x) =∞, приx > a — область III .В областях I и Ш Ψ = 0, так как из-за бесконечной высоты стенокямы частица не может там оказаться, т.е. плотность вероятности w =|Ψ|2 в областях I и Ш должна быть равна нулю. В области возможногодвижения частицы П решение уравнения Шрёдингера для стационарныхсостояний (??) с учётом условий непрерывности и нормировки волновойфункции выглядит так:sΨn (x) =2nπxsin,aan = 1, 2, 3, .

. . .(3.28)Каждому квантовому состоянию, описываемому волновой функцией Ψn (x)соответствует определённое значение полной энергии частицы (квантование энергии)π 2 ~2 2En =n,2m0 a2n = 1, 2, 3, . . . .(3.29)Таким образом, квантовое состояние частицы, движущейся в одномернойпотенциальной яме, характеризуется одним квантовым числом n.Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике15y6bΩU =0ax-Рис.

4. 3.2Частица в двумерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками. В такой задачеU (x, y) =0,∞,(x, y) ∈ Ω ,(x, y) 6∈ Ω ,где Ω = {(x, y) : 0 < x < a, o < y < b} — прямоугольная областьдвижения частицы на плоскости (рис. 4).Квантовое состояние частицы в такой двумерной задаче задается двумя квантовыми числами n1 и n2 , а соответствующая волновая функцияимеет видsΨn1 ,n2 (x, y) =4n1 πxn2 πysinsin,ababn1 , n2 = 1, 2, 3, .

. . ,(3.30)т.е. является произведением двух волновых функций для одномерных ям.Отметим, что на границе области Ω, т.е. на непроницаемых для частицыстенках ямы волновая функция обращается в нуль.Полная энергия частицы в любом квантовом состоянии определяетсявыражениемπ 2 ~2E=2m0"n1a2n2+b2 #,n1 , n2 = 1, 2, 3, . . . .(3.31)Частица в потенциальном ящике (трёхмерной потенциальной яме)с непроницаемыми стенками. Обозначим через G = {(x, y, z) : 0 <Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике16ya260Ga1a3 z x-Рис. 5.

3.3x < a1 , 0 < y < a2 , 0 < z < a3 } внутреннюю область прямоугольного параллелепипеда (рис. 5). В рассматриваемой задаче потенциальнаяэнергия частицы в точке M (x, y, z) пространства имеет вид(U (M ) =0, (x, y) ∈ G ,∞, (x, y) 6∈ G ,Вне потенциального ящика волновая функция равна нулю. Внутрипотенциального ящика ( M ∈ G ) волновая функция может быть найденакак решение уравнения Шрёдингера для стационарных состояний (??)sΨn1 ,n2 ,n3 (x, y, z) =n1 πxn2 πyn3 πy8sinsinsin,a1 a2 a3a1a2a3где n1 , n2 , n3 = 1, 2, 3, .

. . ,(3.32)т. е. представляет собой произведение трёх одномерных волновых функций.Квантовые состояния частицы, находящейся в потенциальном ящике,определяются тремя квантовыми числами n1 , n2 и n3 . Каждому квантовому состоянию соответствует определённое значение полной энергиичастицыπ 2 ~2E=2m0"n1a12n2+a22n3+a32 #,n1 , n2 , n3 = 1, 2, 3, . .

. .(3.33)17Задачи о стационарных состояниях в квантовой механикеU (x)Irm06II66U0E?0?x-Рис. 6. 3.4Только при этих значениях полной энергии E уравнение Шрёдингераимеет регулярные решения.Отметим, что для потенциального ящика кубической формы, т.е. приa1 = a2 = a3 = a, задача о движении частицы обладает пространственнойсимметрией за счёт равноправия всех трех пространственных направлений. В этом случае существуют квантовые состояния (например, Ψ112 ,Ψ121 , Ψ211 ), находясь в которых частица имеет одинаковые значения полной энергии.

Совокупность таких состояний, в которых частица имеетодинаковые значения полной энергии E, называют вырожденными состояниями. При этом число состояний с одинаковым значением полнойэнергии частицы называют кратностью, или степенью вырождения этихсостояний.Прохождение частицы через потенциальный порог или барьер.Пусть частица массой m0 , имеющая полную энергию E, налетает напотенциальный порог (рис. 6), двигаясь, для определённости, слева направо. Потенциальная энергия частицы в такой задаче имеет вид ступенчатой функции(U (x) =0, при x < 0 — область I ,U0 , при x > 0 — область II .Решения уравнения Шрёдингера (??) для стационарных состояний,удовлетворяющие условиям непрерывности волновой функции и её про-Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике18изводной в точке x = 0, выглядят так:Ψ1 (x) = eik1 x +Ψ2 (x) =k1 − k2 −ik1 xe;k1 + k 22k1 ik1 xe,k1 + k 2(3.34)(3.35)где Ψ1 (x) — волновая функция частицы в областиI; Ψ2 (x) — волноваяq√11функция в области П; k1 = ~ 2m0 E; k2 = ~ 2m0 (U0 − E).Вероятность того, что частица отразится от потенциального порога,определяется коэффициентом отражения k − k 22 1R = .k1 + k2 (3.36)Вероятность прохождения частицы через потенциальный порог характеризуется при этом коэффициентом прохождения D = 1 − R.При квантовомеханическом рассмотрении задачи о прохождении частицы через потенциальный порог конечной толщины — потенциальныйбарьер (рис.

7), для которого 0,приx<0,U (x) = U0 , при 0 < x < d ,0, приx>d.можно показать, что существует отличная от нуля вероятность того, чточастица преодолеет даже высокий потенциальный барьер, высота которого U0 больше полной энергии налетающей частицы E. Такое прохождение частицы через потенциальный барьер в случае E < U0 называюттуннельным эффектом.Вероятность преодоления частицей высокого потенциального барьерахарактеризуется коэффициентом прохождения (коэффициентом прозрачности) D, который определяется выражением√2dD = D0 e− ~ 2m0 (U0 −E) , D0 ' 1 .(3.37)В случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 8) коэффициент прозрачности находят по формуле− ~2D = D0 eRb √a2m0 (U (x)−E) dx.(3.38)19Задачи о стационарных состояниях в квантовой механикеU (x)6rm066U0E?0?x-Рис.

7. 3.5U (x)6rm0U0............... ............. ..........6..........................E................................................................................... x........... ?0ab-Рис. 8. 3.6Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике20Интегрирование в (3.38) проводится по области, где E < U (см. рис. 8).Туннельный эффект позволяет объяснить такие физические явления,как α-распад ядер, холодную или автоэлектронную эмиссию электроновс поверхности металлов и ряд других физических явлений.3.1Примеры решения задач☞ Задача.Задача 3.1.

Электрон находится в потенциальной яме шириной a = 5 · 10−10 м с бесконечно высокими стенками. Найти минимально возможное значение энергии электрона в квантовом состоянии, длякоторого плотность вероятности обнаружения электрона в центре ямыравна нулю.☞ Решение.Стационарные волновые функции, описывающие квантовые состояния электрона в потенциальной яме, определяются выражением (3.28). Исходя из статистического смысла волновой функции дляплотности вероятности обнаружения электрона в различных точках ямы,получимw(x) =dP2πnx= |Ψn (x)|2 = sin2,dxaa06x6aПо условию задачи эта плотность вероятности обнаружения частицы= 0.в точке x = a2 равна нулю. Это приводит к соотношению sin πn2Из этого соотношения следует, что существует множество квантовыхсостояний, в которых вероятность обнаружить электрон в центре ямыравна нулю.

Эти состояния соответствуют значениям квантового числаn = 2, 4, 6, . . .. Но так как полная энергия электрона, движущегося впотенциальной яме, определяется выражениемEn =π 2 ~2 2n ,2m0 a2то минимальное значение полной энергии соответствует минимальномузначению квантового числа n, т.е.

для найденных состояний n = 2. ПоэтомуEmin = E2 =π 2 ~22 · (3.14)2 · (1.05 · 10−34 )2=w 9,5 · 10−19 Дж .2−31−1022m0 a9.1 · 10· (5 · 10 )Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике21☞ Задача.Задача 3.2. Частица в одномерной потенциальной ямес бесконечно высокими стенками шириной a находится в низшем (первом) возбужденном состояний.

Определите вероятность обнаружения частицы в интервале 14 a, равноудалённом от стенок ямы.☞ Решение.Квантовое состояние частицы с минимально возможным значением энергии называется основным, или невозбужденным состоянием. Такому состоянию при движении частицы в яме соответствуетзначение квантового числа n = 1. Остальные состояния называются возбуждёнными. Низшее возбуждённое состояние соответствует значениюn = 2.

Это квантовое состояние описывается волновой функциейsΨ2 (x) =22πxsin,aa06x6a.Согласно вероятностному смыслу волновой функции, вероятность обнаружения частицы в интервале x1 < x < x2 определяется выражениемxZ2|Ψ(x)|2 dx.P =x1В нашей задаче x1 = 83 a, а x2 = 58 a.

Поэтому искомая вероятность есть2P =a5a8Zsin22πx11dx = −w 0.09 .a4 2π3a8☞ Задача.3.3 При каком отношении высоты потенциального порога U0 к энергии налетающей частицы E коэффициент отражения R =0.5?☞ Решение.Из выражения (3.36) для коэффициента отраженияследует, что при E < U0 , когда параметр k2 = ik является чисто мнимойвеличиной, а |k1 − ik| = |k1 + ik|, частица всегда отражается от высокогопотенциального порога, так как для этого случая R = 1.

Если же поусловию задачи R < 1, то, следовательно, потенциальный порог в данной задаче является низким и E > U0 . Обозначив через ε < 1 искомоеотношение UE0 , запишем выражение для коэффициента отражения в виде√!2√√ k − k 2 E − E − U 21− 1−ε20 1√R= = √ =.√ k1 + k2 E+ E−U 1+ 1−ε0Измерение физических величин в квантовомеханических системах22Разрешая это соотношение относительно ε, находим√ !21− R√ε=1−.1+ RДля R = 0,5 получаем√ !2U01 − 0,5√ε==1−w 0,97 .E1 + 0,5Следует отметить, что в классической, механике коэффициент отражения частицы от низкого потенциального порога всегда равен нулю.Другими словами, классическая частица всегда преодолевает потенциальный порог, высота которого меньше полной энергии налетающей частицы.