Элементы квантовой механики (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями), страница 4

Квантовая частица, т.е. частица, обладающая волновыми свойствами, имеет определённую вероятность отразиться от низкого потенциального порога.4Измерение физических величин в квантовомеханических системахКвантовая механика принципиально отличается от классической в подходе к вопросу о результатах измерения физических величин. В квантовой механике физическая величина может иметь дискретный спектрзначений (например, энергия атома водорода), тогда как в классическоймеханике физические величины изменяются непрерывно. Кроме того,результаты измерений в квантовой механике имеют вероятностный характер — в процессе измерения с определённой вероятностью реализуется одно из нескольких значений физической величины.

В классическоймеханике вероятностный подход к результатам измерения отсутствует.Указанные различия требуют для квантовой механики адекватного математического описания. Такое описание осуществляется с помощью операторов.В квантовой механике физическая величина характеризуется не своим численным значением, а линейным эрмитовым оператором, которымэта величина представляется. Линейность операторов необходима длявыполнения принципа суперпозиции, а эрмитовость — для того, чтобы значение физической величины, получаемое в результате измерения,Измерение физических величин в квантовомеханических системах23было действительным.

Каждой физической величине (координате, импульсу, моменту импульса и т.д.) ставится в соответствие свой оператор(оператор координаты, оператор импульса, оператор момента импульса ит.д.).Приведём выражения для операторов основных физических величин.• Операторы координаты:ŷ = y ;(4.39)ẑ = z .• Операторы проекции импульса:p̂x =~ ∂;i ∂xp̂y =~ ∂;i ∂y~ ∂.i ∂z(4.40)L̂z = x̂p̂y − ŷ p̂x .(4.41)p̂z =• Операторы проекции момента импульса:L̂x = ŷ p̂z − ẑ p̂y ;L̂y = ẑ p̂x − x̂p̂z ;Отметим, что в сферических координатах вид оператора L̂z заметноупрощается:~ ∂,(4.42)L̂z =i ∂ϕгде ϕ — азимутальный угол.• Оператор полной энергии (гамильтониан):Ĥ = ÊK + Û ,где ÊK — оператор кинетической, a U — оператор потенциальнойэнергии.Оператор кинетической энергии ÊK имеет вид:ÊK =p̂21 2=p̂x + p̂2y + p̂2z =2m02m0!~2∂2∂2∂2~2=−++=−∆.2m0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 22m0Оператор потенциальной энергииÛ = U (x, y, z) .(4.43)Измерение физических величин в квантовомеханических системах24Таким образом, гамильтониан можно найти, используя выражениеĤ = −~2∆ + U (x, y, z) .2m0(4.44)Подчеркнём, что соотношения, которые классическая физика устанавливает для связи между значениями физических величин, в квантовой механике определяют связь между операторами этих величин.Один из основных постулатов квантовой механики утверждает, чтоединственными возможными результатами измерения физической величины f , которой соответствует оператор F̂ , являются собственные значения этого оператора, т.е.

собственные значения λn уравненияF̂ un = λn un .(4.45)Здесь un = un (x, y, z) — собственные функции оператора F̂ . Системасобственных функций {un } представляет собой, как правило, полнуюортонормированную систему функций. Следовательно, волновую функцию Ψ, которая описывает какое-либо состояние физической системы,можно разложить в ряд по собственным функциям UnZX(4.46)Ψ=Cn un , Cn = u∗n ΨdV .nVВ (4.46) интегрирование ведётся по всей области изменения пространственных переменных.Вероятность того, что при измерении физической величины f будетполучено численное значение λn ,P (λn ) = |Cn |2 .(4.47)Среднее значение физической величины f , которой соответствуетоператор F̂ , в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией Ψ, естьZΨ∗ F̂ ΨdV .hf i =(4.48)VВажным в квантовой механике является вопрос об одновременномизмерении (одновременном точном определении) двух физических величин. Необходимым и достаточным условием возможности одновременного измерения двух физических величин f и g является коммутативность25Измерение физических величин в квантовомеханических системахсоответствующих им операторов F̂ и Ĝ, т.е.

выполнение равенства[F̂ , Ĝ] ≡ F̂ Ĝ − ĜF̂ = 0 .(4.49)Оператор [F̂ , Ĝ] называется коммутатором операторов F̂ и Ĝ.4.1Примеры решения задач☞ Задача.4.I. Частица массой m0 находится в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной a в первомвозбуждённом состоянии. Найдите среднее значение проекции импульсачастицы hpx i и квадрата импульса hp2 i.☞ Решение.Волновая функция частицы в одномерной бесконечноглубокой прямоугольной потенциальной яме имеет вид /см. (refeq3.3)/sΨ2 (x) =22πxsin,aaгде n = 1, 2, 3, . . .. Первому возбуждённому состоянию частицы соответствует значение n = 2. Решим сначала задачу в общем случае для произвольного значения квантового числа n, а потом в полученное решениеподставим значение n = 2.Согласно (4.48) среднее значение проекции импульсаZahpx i = Ψ∗n (x)p̂2 Ψn (x) dx =0Zaa~ 2πnx ∂πnx~2 πnx = ·sinsindx =sin=0i aa ∂xaiaa 0(4.50)0Таким образом, hpx i = 0.

Существенно, что ответ не зависит от n, т.е. отуровня, на котором находится частица в потенциальной яме. Более того,можно показать, что результат, полученный здесь для конкретного вида потенциальной ямы, оказывается справедливым и для более общегослучая: среднее значение проекции импульса частицы, которая в стационарном состоянии имеет дискретный энергетический спектр, равнонулю.Интересно отметить, что значение hpx i = 0 для частицы в яме получается и в классической механике.

Для классической частицы этотИзмерение физических величин в квантовомеханических системах26результат очевиден, так как частица движется вдоль одной оси, отражаясь от стенок ямы, а её импульс направлен то в одну, то в другую,противоположную первоначальной сторону. Поэтому среднее значениеhpx i равно нулю.Вычислим теперь среднее значение квадрата импульса hp2 i. Поскольку мы имеем дело с одномерным случаем, тоhp2 i = hp2x i = −~2∂2.∂x2В соответствии с (4.48) для hp2 i находимZaZa2πnx ∂ 2 πnx2∗22hp i = Ψn (x)p̂ Ψn (x)dx = −~sindx =aa ∂x2a0= −2~2a!−π 2 n2a2! Za0sin2∂22~2 πn2 ax=· 2 · .∂d2aa2000000000000000000 (4.51)Таким образом, hp2 i =окончательный ответπ 2 ~2 n2.a2Подставляя значение n = 2, получаем4π 2 ~2.a2Отметим, что хотя среднее значение проекции импульса hpx i равно нулю,среднее значение квадрата импульса hp2 i отлично от нуля.☞ Задача.4.2.

Определите возможные результаты измерения проекции момента импульса Lz и их вероятности для частицы, находящейсяв состоянии, описываемом волновой функцией Ψ(ϕ) = A cos2 ϕ, где ϕ —азимутальный угол.☞ Решение.Прежде всего найдём нормировочную константу A.Из условия нормировки следует, что2π2πZZ∗2Ψ (ϕ)Ψ(ϕ) dϕ = Acos4 ϕ dϕ .hp2 in=2 =R2π04Поскольку 0 cos ϕ dϕ =A = √23π . Таким образом,03π,4то для A получаем следующее значение:2Ψ(ϕ) = √ cos2 ϕ .3πИзмерение физических величин в квантовомеханических системах27Оператор проекции момента импульса L̂z в сферических координатахимеет вид~ ∂L̂z =,i ∂ϕа его нормированные собственные функции и собственные значенияопределяются выражениями [1]1um (ϕ) = √ eimϕ ,2πLz = m~ ,где m = 0, ±1, ±2, . .

.. Разложим волновую функцию Ψ(ϕ) по собственным функциям оператора L̂z :22 1 + cos 2ϕ1 + cos 2ϕ√Ψ(ϕ) = √ cos2 ϕ = √ ·=.23π3π3πВ соответствии с формулой Эйлераeiα = cos α + i sin α,представим cos 2ϕ следующим образом: cos 2ϕ = 12 (ei2ϕ + e−i2ϕ ). Приэтом разложение волновой функции Ψ(ϕ) принимает следующий вид:111Ψ(ϕ) = √1 + ei2ϕ + e−i2ϕ =223πsss2 1 i·0·ϕ1 1 i·2·ϕ1 1 −i·2·ϕ√ e√ e√ e=++=3 2π6 2π6 2πsss211u0 (ϕ) +u+2 (ϕ) + +u−2 (ϕ) . (4.52)=366Поскольку в разложении (4.52) присутствуют только собственныефункции оператора L̂z , отвечающие значением m = 0 и m = 2, то этоозначает, что из всего спектра собственных значений оператора L̂z длячастицы, находящейся в данном состоянии, реализуютсяLz = 0,Lz = 2~,Lz = −2~.Именно эти значения и будут найдены в результате измерений.

Вероятность получить при измерении какое-либо одно из них определяется, согласно (??), квадратом модуля коэффициента разложения волновойЗадачи домашнего задания28функции Ψ(ϕ) по соответствующей собственной функции um (ϕ). Какследует из (4.52),211P (0) = , P (2~) = , P (−2~) = .3665Задачи домашнего заданияСтудент решает задачи, номера которых определяются из таблицы вариантов, предлагаемой кафедрой физики.1. Вычислите длину волны де Бройля молекул водорода, соответствующую средней скорости их теплового движения. Газ имеет комнатную температуру T = 300 К.2.

Вычислите длину волны де Бройля молекул водорода, соответствующую их наиболее вероятной скорости при температуре T = 273 К.3. Рассчитайте наиболее вероятную длину волны де Бройля молекул кислорода, находящегося в термодинамическом равновесии притемпературе T = 273 К.4. Электрон движется по окружности радиусом R = 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией B = 8·10−3 Тл.