Элементы квантовой механики (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями), страница 2

решение задачи 1.2)λБ = √2π~.2m0 eU(1.14)Поэтому в случае интенсивного отражения электронов от кристалла n-гопорядка они ускоряются разностью потенциаловUn =n 2 π 2 ~2.2d2 m0 e sin θ(1.15)Отсюда минимальное значение ускоряющей разности потенциалов соответствует n = 1 и составляет U1 = 26 В для данных из условия задачи.☞ Задача.1.5. Пучок нерелятивистских электронов, прошедшихускоряющую разность потенциалов U = 180 В, падает на монокристаллпод углом α = 75◦ к его поверхности. В направлении, составляющемугол β = 55◦ с поверхностью кристалла, наблюдается максимум отражения электронов четвёртого порядка. Найдите расстояние между отражающими атомными плоскостями кристалла при условии, что падающийи отражённый пучки лежат в одной плоскости, перпендикулярной к поверхности кристалла.☞ Решение.Длину волны де Бройля для электронов, прошедшихускоряющую разность потенциалов U , определим по формулеλБ = √2π~,2m0 eU(1.16)полученной при решении задачи 1.2.

В рассматриваемом случае, когдаα 6= β, система отражающих атомных плоскостей не параллельна поверхности кристалла (рис. 2, где 1 — падающий электронный пучок; 2 — отражённый электронный пучок; 3 — отражающая плоскость кристалла).С учётом зеркального отражения волн от атомных плоскостей находим,что атомные плоскости должны быть перпендикулярны биссектрисе, делящей пополам угол у между падающим и отражённым электроннымиСоотношения неопределенностей Гейзенберга8αβγРис. 2.

1.2пучками. Из рис. 2 видно, что угол между падающим электронным пучком и системой отражающих атомных плоскостейθ=π γα+β− =.222(1.17)Поэтому если отражение от этой системы атомных плоскостей соответствует дифракционному максимуму n-го порядка, то выполняетсяусловие (??) Вульфа-Брэгга 2d sin θ = nλБ , которое можно записать ввидеα+βn·2π~=√.(1.18)2d sin22m0 eUОтсюда находим искомое межплоскостное расстояниеd=sinnπ~√.2m0 eUα+β2(1.19)Выполняя расчёт по этой формуле, получаем d = 2,1 · 10−10 м.2Соотношения неопределенностей ГейзенбергаВ 1927 г. В. ГЕЙЗЕНБЕРГ установил, что при наличии у частиц волновыхсвойств существует связь между неопределенностями координат и соот-Соотношения неопределенностей Гейзенберга9ветствующими неопределенностями компонент импульса частицы. Этасвязь имеет вид неравенств1 :∆x · ∆px ≥ ~ ,∆y · ∆py ≥ ~ ,∆z · ∆pz ≥ ~ .(2.20)Эти соотношения играют важную роль, позволяя очертить границыприменимости классической механики, в которой, в отличие от квантовой механики, пренебрегают волновыми свойствами частиц.Из соотношений Гейзенберга (??) следует, что из-за наличия у частицы волновых свойств нельзя одновременно точно измерить координатучастицы, например x, и соответствующую проекцию импульса ∆px .

Действительно, при одновременном точном измерении этих величин ∆x → 0и ∆px → 0. Но это противоречит неравенствам (??). Отсюда следует, вчастности, что в квантовой механике для описания движения частицынельзя использовать представление о движении частицы по определённой траектории, так как такое движение предполагает возможность одновременного точного определения и координат, и импульса (скорости)частицы.Аналогичные соотношения неопределённостей в квантовой механике записываются и для других пар физических величин. Так, например,энергия системы, существующей в течение промежутка времени ∆t, имеет неопределённость ∆E, причём∆E · ∆t > ~(2.21)Ограничения на информацию о движении частицы и её состоянии,вытекающие из соотношений неопределённостей, оказываются несущественными для лабораторных макроскопических масштабов.

Однако этиограничения становятся существенными для малых масштабов расстояний, импульсов, энергий и времён жизни частиц, с которыми мы сталкиваемся в атомной и ядерной физике и в физике элементарных частиц.2.1Примеры решения задач☞ Задача.2.1. Определите с помощью соотношений неопределённоИногда в правой части неравенств (2.20) записывают не ~, а 12 ~ или 2π~. В силутого, что эти соотношения используются как оценочные, принципиального различиямежду такими формами записи нет.1Соотношения неопределенностей Гейзенберга10стей минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося вобласти, размер которой L = 10−10 м соответствует характерному размеру атомов.☞ Решение.Для оценочных расчётов будем считать движение частицы одномерным и величину неопределённости координаты положимравной размеру области движения частицы, т.е.

∆x = L. При оценкенеопределённости импульса примем, что физически разумная неопределённость импульса не должна превышать значения самого импульса, т.е.положим ∆px = p. Тогда из соотношения неопределённостей∆x · ∆px = ~получим, что при движении электрона в рассматриваемой области пространства Lp > ~, т.е. импульс частицы не может быть меньше чемpmin =~L(2.22)Это означает, в частности, что в квантовой механике частица не может иметь нулевой импульс, т.е.

не может находиться в состоянии покоя.Используя связь между импульсом p√и кинетической энергией EK длянерелятивистской частицы в виде p = 2m0 EK запишем теперь следующее оценочное соотношение значения кинетической энергии частицы:minEK=~2.2m0 L2(2.23)Подставляя в эту формулу массу электрона m0 = 9.1 · 10−31 кг и размерminобласти движения L = 10−10 м, находим EK= 6 · 10−19 Дж = 3.9 эВ.Чтобы электрон с такой кинетической энергией удержать в области движения, необходима энергия связи такого же порядка. Этот вывод согласуется с опытными данными для энергий связи электронов в атомах.☞ Задача.2.2. Используя соотношения неопределённостей, покажите, что в ядре атома не могут находиться электроны.

Считать, чтолинейный размер ядра составляет L = 5 · 10−15 м.☞ Решение.Как и в задаче 2.1, на основании соотношения неопределённостей можно оценить минимальное значение импульса электрона~(2.24)LДля рассматриваемого размера ядра L = 5·10−15 м минимальный импульссоответствует релятивистской скорости электрона. Поэтому, используяpmin =Соотношения неопределенностей Гейзенберга11релятивистскую формулу связи импульса p с кинетической энергией EKчастицыq2pc = EK+ 2EK E0 ,получаем квадратное уравнение для расчёта минимальной кинетическойэнергии электрона в ядреmin 2(EK)+min2E0 EK~c−L!2=0Положительный корень этого уравненияminEK=vuutE02~c+L!2− E0определяет искомое значение кинетической энергии электрона, движущегося в ядре.

Учитывая, что энергия покоя электрона E0 = m0 c2 =min8,19 · 10−14 Дж =0,51 МэВ, находим окончательно значение EK= 6,2 ·−2210 Дж = 38,7 МэВ.Как показывают экспериментальные данные, энергия связи частиц вядре не превышает 10 МэВ. Следовательно, силы, действующие в ядре,не смогут удержать в нём электрон с кинетической энергией, равной38,7 МэВ.

Поэтому электрон не может быть составной частицей ядраатома.☞ Задача.2.3. Используя соотношения неопределённостей Гейзенберга, получите оценочное соотношение, определяющее границы применимости классической механики для описания движения частицы внекоторой области пространства с характерным линейным размером L.☞ Решение.Очевидно, что понятие траектории можно использовать для описания механического движения частицы только в том случае, если неопределённость её координаты мала по сравнению с характерным размером области движения, т.е. ∆x L.Из соотношений неопределённостей, полагая ∆px = p, получаем длянеопределённости координаты значение∆x =~~λБ= =,∆pxp2πгде λБ — длина волны де Бройля для рассматриваемой частицы.Соотношения неопределенностей Гейзенберга12Следовательно, условие, при выполнении которого для описания движения частицы можно использовать законы классической механики, пренебрегая квантовыми эффектами, можно записать в видеλБ L .Отметим, что в это условие входит размер области движения частицы, который обычно задаётся условием решаемой задачи.

Анализ показывает, что полученное условие нарушается для частиц с малой массой,т.е. микрочастиц, движущихся в областях пространства порядка атомных размеров.☞ Задача.2.4. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет τ = 10−8 с. Оцените минимальное значение неопределённости частоты излучения атома.☞ Решение.Частота излучения, соответствующая переходу атома из возбуждённого состояния с энергией E2 в основное состояние сэнергией E1 , определяется из соотношения~ω = E1 − E2 .Из соотношения неопределённостей (??) следует, что неопределённости энергий ∆E1 и ∆E2 зависят от времени жизни атома в основном ивозбуждённом состояниях, причём∆E1 =~,∆t1∆E2 =~.∆t2Так как в основном состоянии атом может находиться неограниченнодолго, то следует полагать, что ∆t1 → ∞.

Время жизни атома в возбуждённом состоянии ∆t2 = τ по условию задачи. Поэтому E1 = 0, аE2 = ~/τ .Тогда для оценки неопределённости частоты излучения атома получаем соотношение~~∆ω = ∆E2 = ,τ18из которого следует, что ∆ω = τ = 10 Гц.Именно это значение определяет минимальную ширину спектральных линий излучения атомов. Реальная ширина спектральных линийувеличивается за счёт теплового движения излучающих атомов и других факторов.Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике313Задачи о стационарных состояниях в квантовой механикеЕсли потенциальная энергия частицы U (x, y, z) в некотором силовом поле явно не зависит от времени, то полная энергия частицы E со временем не изменяется, и соответствующую задачу квантовой механикиназывают стационарной задачей, или задачей о стационарных состояниях.