Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов (Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов.pdf), страница 6

C другой стороны, mmax == m1max + m2max = j1 + j2 . Следовательно, jmax = j1 + j2 .Легко понять, что при j = jmax и m = mmax = jmax разложение сводится к одному единственному слагаемому, в котором m1 == m1max = j1 и m2 = m2max = j2 , то есть:2 j1 +j2|jmax jmax i = Cjj11j+j|j1 j1 i|j2 j2 i1 j2 j2⇒2 j1 +j2Cjj11j+j= 1.1 j2 j23) Установим теперь значение jmin . Естественно предположить,что jmin = |j1 − j2 |. Докажем это следующим образом. Пусть j2 6 j1и jmin = j1 − j2 . Тогда общее количество собственных векторов |jmiопределяется суммой:jX1 +j2(2j + 1) = 2j=j1 −j2= 2 (2j2 + 1)jX1 +j2j+j=j1 −j2jX1 +j2=j=j1 −j2(j1 − j2 ) + (j1 + j2 )+ (2j2 + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1).2Так, конечно, и должно быть.Итак, мы установили, что собственные векторы операторов ĵ21 , ĵ22 ,2ĵ и ĵz определяются разложениями:X jm|jmi =Cj1 m1 j2 m2 |j1 m1 i|j2 m2 i.m1 ,m2При этом число j (полный угловой момент объединенной системы)меняется от |j1 − j2 | до j1 + j2 , т.е.

возможными значениями j являются |j1 − j2 |, |j1 − j2 | + 1 . . . j1 + j2 . Для каждого фиксированного jпроекция m полного углового момента на ось z принимает значения−j, −j + 1, . . . j. Таким образом задача сложения угловых моментовполностью сводится к определению численных значений коэффициентов Клебша–Гордана. Одно из этих значений нам уже известно:2 j1 +j2Cjj11j+j= 1.1 j2 j2Для установления всех остальных значений может быть использованспособ, который мы продемонстрируем на примере, когда j1 = 1/2 иj2 = 1/2.47Пример.

Сложение угловых моментов 1/2 + 1/2Вычислим коэффициенты Клебша–Гордана для случая, когдаскладываются угловые моменты (спины) s1 = 1/2 и s2 = 1/2. Собственные векторы операторов ŝ21 , ŝ1z , ŝ22 и ŝ2z имеют вид:11| σ1 i| σ2 i,2211σ1 = ± , σ2 = ± .2 {z2}|всего 4 вектораПустьŜ = ŝ1 + ŝ2 ,тогда собственными векторами операторов ŝ21 , ŝ22 , Ŝ2 и Ŝz являются:|SSz i,S = 0, Sz = 0,|S = 1, Sz = −1, 0, 1 .{z}новые 4 вектораПо общему правилу новые векторы состояний выражаются черезстарые векторы состояний следующим образом:X|SSz i =σ1 ,σ211zC SS| σ1 i| σ2 i.112 σ1 2 σ2 22Удобно ввести сокращенные обозначения для спиноров:α=|11i,22Известно, чтоβ=|C 111 11 12 2 2 211− i.22= 1.Поэтому вектор |11i имеет вид:|11i = |11 11i| i ≡ α(1)α(2).22 22Для определения других коэффициентов Клебша–Гордана введемоператор понижения:Ŝ− = Ŝx − iŜy = (ŝ1x + ŝ2x ) − i(ŝ1y + ŝ2y ) = ŝ1− + ŝ2−48и подействуем этим оператором на состояние |11i:µ¶µ¶1 11 11 11 1Ŝ− |1 1i = ŝ1− |i |i+|i ŝ2− |i .2 22 22 22 2Напомним, что ранее из коммутационных соотношений для операторов углового момента было получено:pĵ± |j mi = (j ∓ m)(j ± m + 1) |j m ± 1i.Пользуясь этой формулой, находим:p√Ŝ− |11i = (1 + 1)(1 − 1 + 1)|10i = 2 |11i,а также:11ŝ1− | i =22r1 1 1 11111( + )( − + 1) | − i = | − i.2 2 2 22222Таким образом, получаем:µ¶111 1111 11|10i = √| − i| i + | i| − i ≡2 2222 222 21≡ √ (β(1)α(2) + α(1)β(2)) .2Это означает, чтоC 11 0− 121 12 2 2= C 11 0112 2 2− 121=√ .2Подействуем теперь оператором Ŝ− на вектор состояния |10i:µµ¶ µ¶¶111111111Ŝ− |10i = √| − i ŝ2− | i + ŝ1− | i | − i .22222222 2В левой части получаем:p√Ŝ− |10i = (1 + 0)(1 − 0 + 1) |1 − 1i = 2 |1 − 1i,тогда как правая часть принимает вид:µ¶√ 1111 1111 111 11√| − i| − i + | − i| − i = 2 | − i| − i.2 2222 2222 222 249Следовательно:|1 − 1i = |то есть:11 11− i| − i ≡ β(1)β(2),22 22C 11 −1−112 22− 21= 1.Итак, мы получили явные выражения для векторов состояний сполным спином S = 1:|1 1i = α(1)α(2),1|1 0i = √ (α(1)β(2) + β(1)α(2)) ,2|1 − 1i = β(1)β(2).Найдем теперь те коэффициенты Клебша–Гордана, которые определяют вектор состояния с полным спином S = 0,|00i = C 01 0112 2 2− 12 α(1)β(2)+ C 001−121 12 2 2β(1)α(2).Мы имеем, во-первых, условие нормировки:¯¯2 ¯¯¯¯h00|00i = 1 ⇒ ¯C 01 01 1 − 1 ¯ + ¯C 01 0− 12 2 2221 12 2 2¯2¯¯ = 1,и, во-вторых, условие ортогональности уже построенным векторамсостояний, то есть, в частности,h10|00i = 0⇒1√ C 01 012 2212− 121+ √ C 01 0− 12 2 21 12 2= 0.Из этих двух условий находим:C 01 0112 2 2− 12= − C 01 0− 121 12 2 21=√ .2Окончательно, получаем, что переход к новым базисным векто-50рам происходит по следующим правилам:1|00i = √ (α(1)β(2) − β(1)α(2)) ,2|11i = α(1)α(2),1|10i = √ (α(1)β(2) + β(1)α(2)) ,2|1 − 1i = β(1)β(2).Лекция №7.

Тождественные частицы.Гелиеподобный атомСимметрия волновой функции тождественных частицВолновая функция одной частицы со спином s, Ψ(r, σ), имеетсмысл амплитуды вероятности найти частицу в точке r с проекциейσ спина на выбранное направление (ось z). Волновая функция Nчастиц, Ψ(r1 , σ1 , r2 , σ2 . . . rN , σN ), это амплитуда вероятности найти1-ю частицу в точке r1 с проекцией σ1 спина на ось z, 2-ю частицу в точке r2 с проекцией σ2 спина на ось z и т.д.

Удобно ввестисокращенное обозначение:xi = (ri , σi ),тогда Ψ(x1 , x2 . . . xN ) есть волновая функция N частиц.Пусть i-я и j-я частица тождественны (неразличимы). Легко понять, что амплитудыΨ(x1 , x2 . . . xi . . . xj . . . xN ) и Ψ(x1 , x2 . . . xj . . . xi . . . xN )характеризуют одну и ту же конфигурацию: одна из двух неразличимых частиц находится в точке ri с проекцией σi спина на ось z, адругая – находится в точке rj с проекцией σj спина на ось z. Поэтомуволновая функция должна удовлетворять условию:|Ψ(x1 , x2 . .

. xi . . . xj . . . xN )| = |Ψ(x1 , x2 . . . xj . . . xi . . . xN )| ,51или, иначе, две амплитуды, относящиеся к одной и той же конфигурации, могут отличаться только на фазовый множитель:Ψ(x1 , x2 . . . xi . . . xj . . . xN ) = eiϕ Ψ(x1 , x2 . . . xj . . . xi . . . xN ).Введем оператор перестановки двух частиц P̂ij :P̂ij Ψ(x1 , x2 . . . xi . . .

xj . . . xN ) = Ψ(x1 , x2 . . . xj . . . xi . . . xN ).Мы показали, что если i-я и j-я частицы тождественны, то:P̂ij Ψ = P Ψ,|P | = 1.Легко убедиться в том, что число P может быть равным только 1или −1. В самом деле:P̂ij P̂ij Ψ = Ψ⇒P2 = 1⇒P = ±1.Установлено, что предсказания квантовой теории находятся всогласии с экспериментами только в том случае, когда на волновую функцию тождественных частиц накладывается дополнительное требование (можно считать его постулатом или законом природы): для частиц с целым спином (бозоны) число P всегда равно 1, адля частиц с полуцелым спином (фермионы) число P всегда равно−1. Другими словами, волновая функция должна быть симметричнаотносительно перестановки координат любых двух тождественныхбозонов и антисимметрична относительно перестановки координатлюбых двух тождественных фермионов.Гелиеподобный атомРассмотрим задачу об описании состояний гелиеподобного атома, считая, что ядро обладает зарядом Ze и является бесконечнотяжелым.

В таком приближении гамильтониан системы (два тождественных электрона в поле точечного ядра) имеет вид:Ĥ =p̂21p̂2Ze2Ze2e2+ 2 −−+.2m 2mr1r2|r1 − r2 |Решение уравнения Шредингера,ĤΨ(r1 , σ1 , r2 , σ2 ) = EΨ(r1 , σ1 , r2 , σ2 ),52ищем в виде:Ψ(r1 , σ1 , r2 , σ2 ) = Φ(r1 , r2 )χ(σ1 , σ2 ),поскольку гамильтониан Ĥ не содержит спиновых операторов.Понятно, что в качестве χ(σ1 , σ2 ) можно взять собственные функции операторов ŝ21 , ŝ1z , ŝ22 и ŝ2z , а именно:χ(σ1 , σ2 ) = χ 21 λ1 (σ1 )χ 12 λ2 (σ2 ).Но в соответствии с постулатом о тождественных частицах волноваяфункция гелиеподобного атома должна удовлетворять условию:Ψ(r1 , σ1 , r2 , σ2 ) = −Ψ(r2 , σ2 , r1 , σ1 )илиΦ(r1 , r2 )χ(σ1 , σ2 ) = −Φ(r2 , r1 )χ(σ2 , σ1 ).Легко видеть, что удобно воспользоваться спиновыми функциями χSSz (σ1 , σ2 ), отвечающими определенным значениям полногоспина S двух электронов и проекции Sz этого спина на ось z:1χ00 (σ1 , σ2 ) = √ (α(σ1 )β(σ2 ) − β(σ1 )α(σ2 )) ,2χ11 (σ1 , σ2 ) = α(σ1 )α(σ2 ),1χ10 (σ1 , σ2 ) = √ (α(σ1 )β(σ2 ) + β(σ1 )α(σ2 )) ,2χ1 −1 (σ1 , σ2 ) = β(σ1 )β(σ2 ),где1 111 11α(σ) = h σ| i, β(σ) = h σ| − i.2 222 22В самом деле, функция χSSz (σ1 , σ2 ) симметрична относительно перестановки σ1 и σ2 , если S = 1, и антисимметрична, если S = 0.Понятно, что полная волновая функция обладает требуемымисвойствами, если координатная волновая функция удовлетворяетусловиям:Φ(r1 , r2 ) = Φ(r2 , r1 ),еслиS = 0,Φ(r1 , r2 ) = −Φ(r2 , r1 ),еслиS = 1.53Таким образом, координатная функция Φ(r1 , r2 ), описывающая состояние с определенной энергией E, должна быть решением стационарного уравнения Шредингера,ĤΦ = EΦ,и, дополнительно, обладать определенной симметрией по отношениюк перестановке координат r1 и r2 .В качестве первого шага естественно воспользоваться стационарной теорией возмущений.

Для этого представим гамильтониан гелиеподобного атома в виде суммы,Ĥ = Ĥ0 + V̂ ,гамильтониана Ĥ0 двух невзаимодействующих друг с другом электронов,Ze2p̂2,Ĥ0 = Ĥ(1) + Ĥ(2), Ĥ(i) = i −2mriи оператора V̂ кулоновского отталкивания электронов,V̂ =e2,|r1 − r2 |рассматриваемого как возмущение.В нулевом приближении имеем:Ĥ0 Φ(0) (r1 , r2 ) = E (0) Φ(0) (r1 , r2 ).Поскольку Ĥ0 есть сумма двух гамильтонианов водородоподобныхатомов, то, казалось бы,Φ(0) (r1 , r2 ) = ψn1 l1 m1 (r1 )ψn2 l2 m2 (r2 ),иE (0) = En1 + En2 = −Z 2 e22aµ11+ 2n21n2¶,где a = ~2 /me2 есть боровский радиус.

Энергия E (0) принимает минимальное значене при n1 = n2 = 1.Таким образом, основное состояние (ground state) гелиеподобногоатома в нулевом приближении описывается следующей координатной волновой функцией:Φ(0)g.s. (r1 , r2 ) = ψ1s (r1 )ψ1s (r2 ).54Эта функция симметрична относительно перестановки r1 и r2 . Следовательно в основном состоянии гелиеподобного атома два электрона обладают полным спином S = 0.Поправка 1-го порядка к энергии основного состояния определяется следующим матричным элементом:(1)Eg.s.= hΦ(0)g.s.

|e25Ze2|Φ(0).g.s. i =|r1 − r2 |8aУсловием применимости теории возмущений является малость поправки к энергии по сравнению с характерным расстоянием междууровнями. В данном случае имеем:(1)Eg.s.(0)Eg.s.=5.8ZМы видим, что даже при Z = 2 (атом гелия) отношение мало (хотяи не сильно) по сравнению с единицей. Таким образом, используемый нами подход является пусть грубым, но все же допустимымприближением.Обсудим в этом же приближении структуру возбужденных состояний гелиеподобного атома.