Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов (Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов.pdf), страница 10

Напомним, что волновая функция частицы, находящейся в связанномсостоянии, удовлетворяет следующему граничному условию:ψ(r) → 0при r → ∞.В нашем же случае, в задаче рассеяния, энергия положительна:E=~2 k 2> 0.2mСпрашивается: как выглядит граничное условие для ψ(r)?В задаче рассеяния волновая функция частицы, по-видимому,представляет собой суперпозицию падающей плоской волны и рассеянной волны. Рассеянная волна на бесконечности является сферической, так как любая ограниченная область по отношению к бесконечности может быть принята за точку. Следовательно в асимптотикеr → ∞ волновая функция частицы в задаче рассеяния должна иметьвид:eikrψ(r) → eikr + f (θ, ϕ), при r → ∞.rСферическая волна убывает с ростом r по закону 1/r, так как вероятность обнаружить частицу (пропорциональная квадрату модуляволновой функции рассеянной частицы) в слое радиуса r меняется,очевидно, по закону 1/r2 .

Углы θ и ϕ – это полярный и азимутальный углы, которыми определяется направление радиуса-вектора r.Величина f (θ, ϕ) называется амплитудой рассеяния. Далее в этойлекции мы докажем, что в задаче рассеяния действительно имеетсярешение уравнения Шредингера с выписанной (пока только угаданной) асимптотикой.Дифференциальное сечение упругого рассеянияРегистрация рассеянных частиц под углами θ и ϕ осуществляется детектором, охватывающим телесный угол dΩ. Скорость счетаdN/dt – это число частиц, попадающих в детектор в единицу времени. Очевидно, что скорость счета детектора пропорциональна потоку рассеянных частиц:dN∼ jрас .dt82Отношение скорости счета к потоку падающих частиц называетсядифференциальным сечением рассеяния,dσ =dN/dt,jпад[dσ] = см2 .Поскольку энергия частиц при рассеянии на потенциале не меняется,то речь здесь идет об упругом рассеянии.Плотность тока частиц в квантовой механике определяется формулой:~~j=(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) ≡(ψ ∗ ∇ψ − к.с.),2mi2miгде к.с.

– это комплексно сопряженная величина. Для падающегопотока имеем:jпад = jz |ψ=eikz =~~~k(e−ikz ikeikz − к.с.) =(ik − (−ik)) =.2mi2mimС другой стороны, скорость счета детектора задается выражением:dN= jрас r2 dΩ,dtгдеjрас = jr |ψ=f (θ, ϕ) eikrr~=2miµµ ikr ¶¶−ikr∂e∗eff− к.с. .r ∂rrПренебрегая в jрас слагаемыми, которые уменьшаются при r → ∞быстрее, чем 1/r2 , получаем:µ¶~ik~k12jрас =|f |− к.с. =|f (θ, ϕ)|2 2 .2mir2mrТаким образом, для дифференциального сечения упругого рассеяния находим:dσ(θ, ϕ) =dN/dt=jпад~km |f (θ,ϕ)|2 r12 r2 dΩhkm= |f (θ, ϕ)|2 dΩ.Следовательно решение задачи рассеянии сводится к поиску (вычислению) амплитуды рассеяния f (θ, ϕ).83Функция Грина задачи рассеянияДифференциальное уравнение Шредингера для задачи рассеяния выглядит следующим образом:µ¶~2~2 k 2−∆ + U (r) ψ(r) =ψ(r).2m2mДомножение обеих частей уравнения на 2m/~2 и перегруппировкаслагаемых дает:(∆ + k 2 )ψ(r) =2mU (r)ψ(r).~2Результат имеет вид уравнения Гельмгольца с ненулевой правой частью.

Ищем решение этого уравнения в виде суммы общего решенияоднородного уравнения,(∆ + k 2 )ψ0 (r) = 0,и частного решения неоднородного уравнения,(∆ + k 2 )ψ1 (r) =2mU (r)ψ(r),~2то есть:ψ(r) = ψ0 (r) + ψ1 (r).Для нахождения частного решения воспользуемся функцией Грина, G(r − r0 ), которая по определению представляет собой решениеследующего уравнения:(∆ + k 2 )G(r − r0 ) = δ(r − r0 ).Легко видеть, чтоZψ1 (r) =G(r − r0 )2mU (r0 )ψ(r0 )d3 r0 ,~2где ψ = ψ0 + ψ1 .

В самом деле, действуя оператором (∆ + k 2 ) на обечасти выписанного соотношения, получаем:Z2mU (r0 )2mU (r)(∆ + k 2 )ψ1 (r) = δ(r − r0 )ψ(r0 )d3 r0 =ψ(r).~2~284Найдем явное выражение для функции Грина. Для упрощениязадачи выберем начало координат таким образом, чтобы вектор r0оказался равным нулю, так что(∆ + k 2 )G(r) = δ(r).Ищем G(r) в виде:ZG(r) =Известно, чтоA(q) eiqr d3 q.1δ(r) =(2π)3Zeiqr d3 q.Подставляя выписанные выражения в уравнение, получаем:(−q 2 + k 2 )A(q) =1.(2π)3Откуда следует, чтоA(q) =1.(2π)3 (k 2 − q 2 )Таким образом, функция Грина определяется интегралом:Z11G(r) =eiqr 2d3 q =(2π)3k − q22π=(2π)3∞Z1q dq 2k − q2Zπ20eiqr cos θq sin θq dθq .0Осуществляя заменуsin θq dθq = −d cos θq = −dxи вычисляя интеграл по x, находим:ZπZ1e0iqr cos θqsin θq dθq =e−1iqrx¯11 iqrx ¯¯1 iqr−iqre).dx =¯ = iqr (e − eiqr−185Для G(r) на данном этапе имеем:1G(r) =(2π)2∞Z0q 2 dq 1 iqr(e − e−iqr ) =k 2 − q 2 iqr∞∞ZZ1qdqqdq=eiqr −e−iqr  =(2π)2 irk2 − q2k2 − q20i=(2π)2 r+∞Z−∞0qdq iqre .q2 − k2Для вычисления этого интеграла воспользуемся теорией вычетов.

Поскольку r > 0, то контур интегрирования следует замкнуть вверхней полуплоскости. Полюсы подинтегрального выражения расположены в точках:q = −k, q = k.Существует 4 возможных варианта обхода двух полюсов. Однакотолько один из них (а именно, тот, где контур интегрирования охватывает только полюс q = k ) позволяет получить ту функцию Грина,которая приводит к решению с нужной нам асимптотикой. Иначе этуфункцию Грина можно получить, выполнив замену:k → k + iε,где ε – есть малая положительная величина.

В этом случае имеем:iG(r) =(2π)2 r=+∞Z−∞qeiqr dq=(q − (k + iε))(q + (k + iε))iqeiqreikr2πiRes|=−.q=k+iε(2π)2 r(q − (k + iε))(q + (k + iε))4πrОкончательный ответ записан в пределе ε → 0. Осуществляя заменуr → r − r0 , для функции Грина общего вида получаем:0G(r − r0 ) = −86eik|r−r |.4π|r − r0 |Интегральное уравнение рассеянияОбщее решение уравнения Шредингера,ψ(r) = ψ0 (r) + ψ1 (r),принимает вид:ψ(r) = ψ0 (r) −1 2m4π ~2Z0eik|r−r |U (r0 )ψ(r0 )d3 r0 .|r − r0 |Это решение является, конечно, формальным. В самом деле, подинтегралом в правой части стоит та же неизвестная функция ψ(r),что и в левой части.

Поэтому правильнее было бы сказать, что мывыполнили переход от дифференциального уравнения Шредингерак эквивалентному интегральному уравнению.Заметим, что подинтегральное выражение в правой части отлично от нуля только в области, где r0 < a. Следовательноr0 < a ¿ rпри r → ∞,т.е. при переходе к асимптотике r → ∞ возникает малый параметрr0 /r. Разложение по этому малому параметру дает:r|r − r0 | ' r − r0 n, n = ,rи00eik|r−r |eikr−ikr n'.|r − r0 |rМы пренебрегаем всеми слагаемыми в волновой функции, которыес ростом r падают быстрее, чем 1/r.Итак, волновая функция ψ(r) в асимптотике принимает вид:Z ikr −iknr0me eψ(r)|r→∞ = ψ0 (r) −U (r0 )ψ(r0 )d3 r0 =2π~2reikr m= ψ0 (r) −r 2π~2Z0e−iknr U (r0 )ψ(r0 )d3 r0 .Ранее мы предположили, что волновая функция в асимптотикедолжна иметь следующую форму:ψ(r)|r→∞ = eikr + f (θ, ϕ)87eikr.rЛегко видеть, что, взяв в качестве решения ψ0 однородного уравнения плоскую волну,ψ0 (r) = eikr ,мы получаем точно то, что и ожидали.

При этом амплитуда рассеяния определяется следующей формулой:Z0me−iknr U (r0 )ψ(r0 )d3 r0 .f (θ, ϕ) = −22π~Таким образом, мы осуществили переход от исходного дифференциального уравнения Шредингера к интегральному уравнениюследующего вида:Z ik|r−r0 |meU (r0 )ψ(r0 )d3 r0 .ψ(r) = eikr −2π~2 |r − r0 |В асимптотике r → ∞ решение этого уравнения имеет требуемыйвид. Само уравнение называют интегральным уравнением теориирассеяния.Борновское приближениеРассмотрим отдельно случай, когда потенциал U (r) мал. В силумалости потенциала, мал и вклад второго слагаемого в волновуюфункцию, то естьψ ' ψ0 = eikr .Тогда для амплитуды рассеяния мы получаем приближенное выражение:Z0 0mf (θ, ϕ) ' −ei(k−k )r U (r0 )d3 r0 .2π~2Здесь k0 = kn есть волновой вектор рассеянной частицы.

Данноеприближение называется борновским (или, точнее, 1-м борновскимприближением).Условие применимости борновского приближения выглядит следующим образом:|ψ1 | ¿ |ψ0 | = 1.Вычисляя для определенности функцию ψ1 (r) в точке r = 0, получаем:¯Z¯¯ eikr0¯m¯ikr0 3 0 ¯|U|edr¯¯ ¿ 1,¯ r0¯2π~288где среднее значение потенциала вынесено из-под знака интеграла.Далее возможны два случая.1) Медленные частицы, для которых ka ¿ 1.

В этом случае, опуская все числовые множители, получаем:m|U |a2¿1~2⇒|U | ¿~2.ma22) Быстрые частицы, для которых ka À 1. В этом случае под интегралом находится быстро осциллирующая экспонента. Вновь опуская все числовые множители, находим:m|U |a2 1¿1~2ka⇒|U | ¿~2ka.ma2Лекция №13. Метод парциальных волнИдея методаМы продолжаем обсуждение задачи рассеяния. Примем для простоты, что потенциал является сферически симметричным, т.е.U = U (r).Как и ранее считаем, что потенциал отличен от нуля лишь в ограниченной области пространства:U (r) ≡ 0,еслиr > a.Величину a естественно назвать радиусом потенциала.Выпишем стационарное уравнение Шредингера с асиптотическим граничным условием:~2 k 2> 0,Ĥψ(r)=Eψ(r),E=2mikr ψ(r) = eikr + f (θ) e ,rr → ∞.Амплитуда рассеяния f (θ) не зависит от угла ϕ.