Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов (Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов.pdf)

А.Л. БарабановКВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЧасть 2Москва 2005В этой книге представлен конспект лекций по курсу квантовой механики, прочитанных мной в весеннем (часть 1) и осеннем(часть 2) семестрах 2004 года студентам факультета физической иквантовой электроники Московского физико-технического института. По построению и кругу обсуждаемых вопросов этот курс примерно соответствует годовым курсам квантовой механики, читаемых надругих факультетах МФТИ.Идея создания конспекта принадлежит студенту группы 154А.В. Шелаеву. Он же, Артем Шелаев, выполнил основную часть работы по составлению конспекта (включая набор формул и созданиерисунков в пакете LATEX). Со своей стороны я не только внимательно прочел представленные Артемом тексты, но также исправил их,дополнил (стараясь не выходить за рамки заданного жанра – конспект) и отредактировал. Поэтому я несу полную ответственностьза все формулировки в этой книге и, разумеется, за все возможныеоплошности и опечатки.

Буду признателен всем, кто пришлет мнесвои замечания по адресу a_l_barabanov@mail.ru .Я очень благодарен Артему Шелаеву, без инициативы которогоэта книга не появилась бы, а также всем, кто ему помогал. Я такжеочень признателен всем своим коллегам по кафедре теоретическойфизики МФТИ за многочисленные обсуждения проблем квантовоймеханики и вопросов, связанных с ее изложением, в особенности,Б.В.

Гешкенбейну, С.А. Гордюнину, Г.С. Ирошникову, Э.П. Котовой,В.П. Кузнецову, В.И. Манько, Д.Л. Осипову, В.П. Смилге, А.И. Тернову, С.В. Толоконникову, С.В. Фомичеву. Отдельно хотелось бы выразить благодарность С.П. Аллилуеву и Ю.М. Белоусову – не толькоза поддержку и вдохновляющие дискуссии, но и за последовательное утверждение на кафедре творческой и доброжелательной атмосферы. Особая признательность – Н.Н.

Пастушковой – за неоценимый вклад в образ и стиль жизни кафедры теоретической физикиМФТИ.А.Л. Барабановc А.Л. Барабанов, 2005°Лекция №1. Стационарная теория возмущенийПостановка задачиПусть система описывается гамильтонианом Ĥ0 , а |ki – это собственные векторы этого гамильтониана, или, иначе, решения стационарного уравнения Шредингера,Ĥ0 |ki = Ek0 |ki.В ряде случаев (для ряда гамильтонианов Ĥ0 ) это уравнение решается сравнительно просто. Однако чаще бывает трудно установитьявный вид решений стационарного уравнения Шредингера.Предположим, что система описывается гамильтонианомĤ = Ĥ0 + V̂таким, что собственные векторы |ki и собственные значения Ek0 гамильтониана Ĥ0 известны, а V̂ есть малая поправка к Ĥ0 или, какговорят, возмущение.

Тогда для поиска собственных векторов |ψn i исобственных значений En гамильтониана Ĥ можно воспользоватьсястационарной теорией возмущений.Оператор V̂ может, к примеру, описывать взаимодействие системы с известным спектром Ek0 с некоторой другой системой или свнешним полем. Если это взаимодействие является слабым, т.е. имеется малый параметр ε такой, чтоhV̂ i ∼ εhĤ0 i,ε ¿ 1,то следует ожидать, что энергетический спектр системы меняетсянезначительно.Векторы состояний |ψn i и спектр En возмущенной системы определяются стационарным уравнением Шредингера:(Ĥ0 + V̂ )|ψn i = En |ψn i.Поскольку ортонормированные векторы |ki образуют полный базисв пространстве векторов состояний, то каждый из векторов |ψn i может быть представлен в виде разложенияX|ψn i =cnk |ki.k3Задача сводится к определению коэффициентов cnk .Случай невырожденного спектраВ качестве первого шага мы рассмотрим случай, когда спектргамильтониана Ĥ0 невырожден.Подставляя |ψn i в виде выписанного разложения в стационарноеуравнение Шредингера, получаем:XXXĤ0cnk |ki + V̂cnk |ki = Encnk |ki,kилиXkcnk Ek0 |ki +Xkkcnk V̂ |ki = EnkXcnk |ki.kПроецируя полученное соотношение на hm|, находим:XXXcnk Ek0 hm|ki +cnk hm|V̂ |ki = Encnk hm|ki.kkkУсловие ортонормировки для собственных векторов гамильтонианаĤ0 имеет видhm|ki = δmk .Поэтому0+cnm EmXcnk Vmk = En cnm ,kгде Vmk ≡ hm|V̂ |ki.

Таким образом мы приходим к уравнению длянеизвестных величин En и cnk :X0)cnm =cnk Vmk .(En − EmkИдея теории возмущения заключается в том, что все неизвестныевеличины ищутся в виде разложений по малому параметру ε:(0)(1)(2)En = En + En + En + . . . ,(0)(1)(2)cnk = cnk + cnk + cnk + . . . ,4где верхний индекс указывает на порядок малости, т. е., например,(2)En ∼ ε2 . Соответственно:|ψn i = |ψn i(0) + |ψn i(1) + . . . ,где|ψn i(0) =X(0)cnk |ki,|ψn i(1) =kX(1)cnk |ki,...kПодставляя выписанные разложения в уравнение для En и cnk ,получаем:(0)(1)(2)(0)(1)(2)0(En + En + En + . .

. − Em)(cnm + cnm + cnm + . . .) ==X (0)(1)(2)(cnk + cnk + cnk + . . .)Vmk .kРассматривая последовательно все слагаемые нулевого, 1-го, 2-гои т.д. порядков малости, мы получаем бесконечную последовательность равенств:(0)(0)0в 0-м порядке: (En − Em)cnm = 0,0(1) (0)в 1-м порядке: (En(0) − Em)c(1)nm + En cnm =X(0)cnk Vmk ,k0(1) (1)(2) (0)в 2-м порядке: (En(0) − Em)c(2)nm + En cnm + En cnm =X(1)cnk Vmk ,k······Легко видеть, что в нулевом порядке мы имеемEn(0) = En0 ,c(0)nm = δnm ,(0)т.е.

собственные векторы |ψn i(0) = |ni и собственные значения En == En0 гамильтониана Ĥ точно совпадают с собственными векторами и собственными значениями гамильтониана Ĥ0 (как, конечно, идолжно быть).В приближении 1-го порядка имеем0(1)(En0 − Em)c(1)nm + En δnm = Vmn .5Пусть n = m, тогдаEn(1) = Vnn .Пусть n 6= m, тогда0(En0 − Em)c(1)nm = Vmnc(1)nm =⇒Vmn.0− EmEn0(1)Коэффициенты cnn остались неопределенными.Выпишем вклады нулевого и 1-го порядков в вектор состояния|ψn i:X (1)|ψn i ' |ψn i(0) + |ψn i(1) = |ni +cnk |ki =k= (1 + c(1)nn )|ni +X(1)cnk |ki.k6=nМы видим, что новые состояния составляются из старых путем смешивания.

Условие нормировки для выписанного вектора состоянияимеет вид:X (1)2|1 + c(1)|cnk |2 = 1.nn | +k6=nЗаметим, что второе слагаемое в левой части имеет второй порядок малости. Следовательно в рассматриваемом приближении егонужно отбросить. Для условия нормировки тогда получаем:2|1 + c(1)nn | = 1.(1)Это означает, что cnn = iα есть чисто мнимая величина, где α ∼ε. Тогда с точностью до величин 1-го порядка малости вектор n-госостояния выглядит следующим образом:X (1)X (1)|ψn i = (1 + iα)|ni +cnk |ki = eiα |ni +cnk |ki.k6=nk6=nДомножая |ψn i на фазовый множитель e−iα , для переопределенноговектора n-го состояния с той же точностью находим:X (1)|ψn i = |ni +cnk |ki.k6=n6Таким образом, всегда можно принять, чтоc(1)nn = 0.Мы показали, что в 1-м порядке теории возмущений смещениеn-го энергетического уровня равно диагональному матричному элементу Vnn .

В случае, когда Vnn = 0, изменение энергии n-го уровняопределяется поправкой 2-го порядка. В этом приближении имеем:X (1)0(1)(2)cnk Vmk .(En0 − Em)c(2)nm + Vnn cnm + En δnm =kПолагая n = m, получаемEn(2) =XX |Vnk |2VknVnk =.0− EkEn0 − Ek0E0k6=n nk6=n∗Здесь учтено, что Vkn = Vnkвследствие эрмитовости оператора V̂ .Итак, мы рассмотрели случай, когда система, описывающаяся гамильтонианом Ĥ0 , обладает невырожденным энергетическим спектром. Полученные результаты верны, если|Vkn | ¿ |En0 − Ek0 |.Случай вырожденного спектраРассмотрим теперь случай, когда спектр оператора Ĥ0 , вообщеговоря, вырожден.

В этом случае каждому энергетическому уровнюможет соответствовать несколько векторов состояний. ПустьĤ0 |nαi = En0 |nαi,α = 1, 2 . . . kn ,где kn есть кратность вырождения n-го энергетического уровня.Задача на собственные векторы и собственные значения гамильтониана Ĥ имеет вид:(Ĥ0 + V̂ )|ψnβ i = Enβ |ψnβ i.Ищем новые собственные векторы в виде разложений по исходнымвекторамX|ψnβ i =cnβ,kα |kαi.kα7Действуя так же, как ранее, получаем точное уравнение для неизвестных величин Enβ и cnβ,kα :X0(Enβ − Em)cnβ,mγ =cnβ,kα Vmγ,kα .kαИщем энергии Enβ и коэффициенты cnβ,kα в виде разложений помалому параметру ε:(0)(1)(1)Enβ = Enβ + Enβ + . . . = En0 + Enβ + .

. . ,(0)(1)(1)cnβ,kα = cnβ,kα + cnβ,kα + . . . = cβα δnk + cnβ,kα + . . .(0)(0)Здесь мы сразу выписали явный вид Enβ и cnβ,kα понимая, что внулевом приближении собственные векторы и собственные значенияоператора Ĥ совпадают с собственными векторами и собственнымизначениями оператора Ĥ0 .В случае n = m приравнивание величин первого порядка в точном уравнении дает:X(1)Enβ cβγ =cβα Vnγ,nα ,αилиX(1)(Vnγ,nα − Enβ δγα )cβα = 0.αФиксируя β, получаем систему из kn уравнений (γ = 1, 2 . .