Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов (Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов.pdf), страница 8

Поэтому может быть построена общая системасобственных векторов операторов Ĥ, L̂2 , L̂z , Ŝ2 и Ŝz . Каждый такойсобственный вектор,ΨЕLLz SSz = |ELLz SSz i,определяет состояние атома с энергией E.Если в последней (nl) оболочке имеется k < 2(2l + 1) электронов(оболочка не заполнена), то говорят, что основное состояние атомаописывается электронной конфигурацией (nl)k . При этом, как показало исследование гелиеподобного атома, энергии состояний могуточень существенно зависеть от суммарного спина S электронов и,по-видимому, от их суммарного орбитального момента L, то естьE = E(L, S).Следовательно набор чисел L и S задает терм (состояние с определенной энергией) атома, который описывается символом:2S+1L.Каждый терм вырожден (2L + 1)(2S + 1) раз (по квантовым числамLz и Sz ). Полуэмпирическое правило Хунда утверждает, что энергия E терма минимальна при максимальном возможном S и (призаданном S) максимальном возможном L.63Введем полный угловой момент электронной оболочки атома:Ĵ = L̂ + Ŝ.Получаем новый набор коммутирующих операторов: Ĥ, L̂2 , Ŝ2 , Ĵ2 иJˆz .

Собственные векторы этих операторов,XJJz|EJJz (LS)i =CLL|ELLz SSz i,z SSzLz Szописывают (2L+1)(2S+1) вырожденных состояний, принадлежащихтерму 2S+1 L. Напомним, что число J меняется от |L − S| до L + S.Тонкая структура термовДополнительно следует учитывать спин-орбитальное взаимодействие:Ûs.o. = A L̂Ŝ.В присутствии Ûs.o. операторы L̂z и Ŝz не коммутируют с гамильтонианом атома Ĥ.

Каждый терм при этом, вообще говоря, расщепляется. Или, как говорят, формируется тонкая структура терма.Возводя определение полного углового момента Ĵ в квадрат, получаем:Ĵ2 = L̂2 + 2L̂Ŝ + Ŝ2 .Следовательно оператор спин-орбитального взаимодействия можнопредставить в форме:Ûs.o. = AĴ2 − L̂2 − Ŝ2.2Легко видеть, что оператор Ûs.o. диагонален в базисе |EJJz (LS)i.Поэтому каждое из состояний |EJJz (LS)i сдвигается на энергию(поправку 1-го порядка к энергии E):∆EJ = hJJz |Ûs.o. |JJz i = AJ(J + 1) − L(L + 1) − S(S + 1).2Эта поправка зависит от J, но не зависит от Jz , то есть кратностьвырождения уровня с полным угловым моментом J равна (2J + 1).Тонкое расщепление терма тем заметнее, чем тяжелее атом, т.е.чем больше заряд ядра Ze.

Действительно, чем больше заряд ядра,64тем выше характерные скорости электронов, т.е. тем больше релятивистские поправки к гамильтониану атома.Заметим, что разность энергий соседних уровней в тонкой структуре терма равна:EJ − EJ−1 = AJ(J + 1) − J(J − 1)= A J,2так что∆EJ ∼ J.Этот результат называется правилом Ленца.Лекция №9. Атом в магнитном полеГамильтониан сложного атома в магнитном полеРассмотрим атом в однородном и постоянном магнитном поле H.Это магнитное поле может быть описано векторным потенциалом:A(r) =1[H × r],2div A(r) = 0.Гамильтониан i-го электрона имеет вид:³e ´2p̂i − Aie~cĤ(i) =ŝi H,+ Ui (ri ) −2mmcAi = A(ri ).Преобразуя первое слагаемое гамильтониана, находим:³e ´2eee2p̂i − Ai = p̂2i − p̂i Ai − Ai p̂i + 2 A2i .ccccЗдесьp̂i Ai = −i~ (∇i A(ri )) + Ai p̂i ,и, так как div A = 0, то³e ´2ee2ee2p̂i − Ai = p̂2i − 2 Ai p̂i + 2 A2i = p̂2i − [H × ri ] p̂i + 2 A2i =ccccc= p̂2i −ee~e2e2[ri × p̂i ] H + 2 A2i = p̂2 −l̂i H + 2 A2i .cccc65Таким образом, гамильтониан атома в магнитном поле выглядитследующим образом:¶X µ p̂2e~e2e~i2Ĥ =−l̂i H +A + Ui (ri ) −ŝi H + Ûs.o.

=2m 2mc2mc2 imci=X µ p̂2ii2m¶+ Ui (ri ) + Ûs.o. + V̂ ,где V̂ есть оператор взаимодействия атома с магнитным полем:V̂ = −=−e~ Xe~ Xe2 X 2l̂i H −ŝi H +Ai =2mc imc i2mc ie~e2 X 2e~L̂H −ŜH +Ai =2mcmc2mc i= −µB (L̂ + 2Ŝ)H +e2 X 2Ai .2mc iЗдесьµB =e~2mcесть магнетон Бора.Внешнее поле H, как правило, мало по сравнению с полями внутри атома.

Поэтому, по-видимому, можно пренебречь теми слагаемыми в операторе V̂ , которые квадратичны по A и, следовательно, поH, оставив только линейные по H члены. Направляя ось z вдоль H,для оператора V̂ получаем:V̂ = −µB H(L̂z + 2Ŝz ).Далее расмотрим два случая – слабое поле и сильное поле.Слабое поле (эффект Зеемана)Магнитное поле называется слабым, если энергия взаимодействия атома с полем мала по сравнению с расщеплением уровнейтонкой структуры терма:µB H ¿ |EJ − EJ−1 |.66Напомним, что каждый уровень тонкой структуры обладает энергиейEJ = E + ∆EJ ,которая складывается из энергии терма E = E(L, S) и сдвига ∆EJ ,обусловленного спин-орбитальным взаимодействием Ûs.o.

. В отсутствие магнитного поля каждый уровень тонкой структуры вырожден по квантовому числу Jz . В магнитном поле уровни тонкой структуры расщепляются (эффект Зеемана). При этом в слабом поле можно пренебречь смешиванием уровней тонкой структуры под действием магнитного поля.В данном случае удобно представить гамильтониан атома,¶X µ p̂2iĤ =+ Ui (ri ) + Ûs.o. +V̂ ,2mi|{z}Ĥ0в виде суммы оператора Ĥ0 и возмущения V̂ . Собственные векторы|EJ JJz (LS)i гамильтониана Ĥ0 описывают уровни тонкой структуры терма в отсутствие магнитного поля. Если оператор V̂ диагонален в базисе|JJz i = |EJ JJz (LS)i,то каждое состояние |JJz i смещается на энергию (поправку 1-го порядка к энергии EJ ):∆EJJz = hJJz |V̂ |JJz i.Для матрицы оператора V̂ в базисе |JJz i имеем:hJJz |V̂ |JJz0 i = −µB HhJJz |L̂z + 2Ŝz |JJz0 i =³´= −µB HhJJz |Jˆz + Ŝz |JJz0 i = −µB H Jz δJz Jz0 + hJJz |Ŝz |JJz0 i .Пользуясь свойствами коэффициентов Клебша-Гордана, легко установить, что оператор Ŝz диагонален в базисе |JJz i.

В самом деле,XX JJ 0JJzhJJz |Ŝz |JJz0 i =CLLCLLz0z SSz0 hLz Sz |Ŝz |L0z Sz0 i =z SSzLz ,Sz=XL0z ,Sz0JJ 0JJzCLLCLLzz SSz Sz = δJz Jz0z SSzLz ,SzXLz ,Sz67JJz(CLL)2 Sz .z SSzТаким образом, матрицаhJJz |V̂ |JJz0 i = −µB HδJz Jz0 Jz +XJJz(CLL)2 Sz z SSzLz ,Szдействительно диагональна.Мы видим, что сдвиг ∆EJJz состояния |JJz i зависит от среднегозначения Sz ,XJJz(CLL)2 Sz ,hJJz |Ŝz |JJz i =z SSzLz ,Szв этом состоянии. Явное выражение для этого среднего значенияможно получить следующим образом.Ясно, что в состоянии |JJz i среднее значение вектора спина Sпрямо пропорционально среднему значению вектора полного углового момента J, то естьhJJz |Ŝ|JJz i = С hJJz |Ĵ|JJz i,или, иначе,hJJz |Ŝα |JJz i = С hJJz |Jˆα |JJz i,α = x, y или z.Естественно предположить, что тот же численный множитель C входит в соотношениеhJJz |Jˆα Ŝα |JJz i = С hJJz |Jˆα Jˆα |JJz i,связывающее средние значения JS и J2 .

Но из определенияĴ = L̂ + Ŝлегко получить:Ĵ − Ŝ = L̂⇒Ĵ2 − 2ĴŜ + Ŝ2 = L̂2 ,то есть:Ĵ2 + Ŝ2 − L̂2.2Поэтому коэффициент C определяется выражением:ĴŜ =C=J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1).2J(J + 1)68Следовательно,hJJz |Ŝz |JJz i =J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)Jz .2J(J + 1)Для сдвига энергии находим:µ¶J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)∆EJJz = −µB HJz 1 +2J(J + 1)или∆EJJz = −µB Hg(J)Jz ,гдеg(J) =¶µJ(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)1+2J(J + 1)есть фактор Ланде.Интервалы между расщепленными подуровнями определяютсяфакторомµB Hg(J),то есть эти интервалы, вообще говоря, различны для уровней тонкойструктуры с разными J.

Чтобы подчеркнуть удивительность этого результата, говорят об аномальном эффекте Зеемана. Если покаким-либо причинам g(J) = 1, так что интервалы между состояниями равны µB H, то эффект Зеемана называют нормальным.Сильное поле (эффект Пашена–Бака)Рассмотрим теперь случай сильного поля, когдаµB H À |EJ − EJ−1 |,то есть оператор взаимодействия атома с полем V̂ существенно превосходит оператор спин-орбитального взаимодействия Ûs.o. . Тогда вгамильтониане атома,¶X µ p̂2iĤ =+ U (ri ) + Ûs.o. + V̂ ,2mi69оператором Ûs.o. можно пренебречь. Следовательно гамильтонианатома в сильном магнитном поле имеет вид:¶X µ p̂2iĤ =+ Ui (ri ) +V̂ ,2mi|{z}Ĥ0гдеV̂ = −µB H(L̂z + 2Ŝz ).Легко установить, что возмущение V̂ диагонально в базисе собственных векторов,|Lz Sz i = |ELLz SSz i,оператора Ĥ0 .

В самом деле:hLz Sz |V̂ |L0z Sz0 i = −µB HhLz Sz |L̂z + 2Ŝz |L0z Sz0 i == −µB H(Lz + 2Sz )δLz L0z δSz Sz0 .Поэтому каждое состояние |Lz Sz i сдвигается на энергию:∆ELz Sz = hLz Sz |V̂ |Lz Sz i = −µB H(Lz + 2Sz ).Таким образом, в сильном магнитном поле интервалы между расщепленными подуровнями равны µB H (эффект Пашена–Бака).Диамагнетизм инертных газовУ атомов инертных газов полностью заполнены внешние электронные оболочки, поэтому в основном состоянии имеем:S = 0,L = 0,J = 0.Оператор взаимодействия атома с магнитным полем выглядит следующим образом:V̂ = −µB H(L̂z + 2Ŝz ) +70e2 X 2Ai .2mc2 iЛегко видеть, что первое слагаемое в операторе V̂ в 1-м и 2-м (вдействительности, в любом) порядках теории возмущений не приводит к сдвигу основного состояния атома.

Следовательно изменениеэнергии основного состояния определяется вторым слагаемым в V̂ ,квадратичным по H. В 1-м порядке теории возмущений получаем:∆E = hΨS=L=J=0 |=e2 X 1[H × ri ]2 |ΨS=L=J=0 i =2mc2 i 4e2 H 2 XχH 222hΨ|r,sinθ|Ψi=0i0i8mc2 i2гдеχ=e2 XhΨ0 |ri2 sin2 θi |Ψ0 i > 04mc2 iесть диамагнитная восприимчивость атома инертного газа.Лекция №10. Основы квантовой теории излученияКвантовое описание свободного электромагнитного поляВ классической физике электромагнитное поле описывается спомощью скалярного потенциала ϕ(r, t) и векторного потенциалаA(r, t). В случае, когда поле свободно, удобно пользоваться следующими калибровочными условиями:ϕ = 0,div A = 0.Напряженности электрического и магнитного полей определяютсяформулами:1 ∂AE=−, H = rot A.c ∂tКак было показано в лекции о квантовании электромагнитногополя, векторному потенциалу A(r, t) сопоставляется оператор:rX 2π~c2 ¡¢∗ −ikrA(r, t) → Â(r) =âλ eα eikr + â+.λ eα eVωλ71При этом среднее значение векторного потенциала в момент времениt в точке r определяется, как обычно, матричным элементом:hA(r, t)i = hΨ(t)|Â(r)|Ψ(t)i,где |Ψ(t)i – вектор состояния электромагнитного поля.В формуле для Â(r) суммирование ведется по модам λ поляв объеме V .

Каждая мода определяется совокупностью значений(k, eα ), где k – это волновой вектор, а eα – единичный вектор поляризации (eα e∗α0 = δαα0 ). Волна в каждой моде поперечна, eα ⊥ k,поэтому индекс α принимает только два значения: α = 1, 2. Частотаволны ω однозначно определяется длиной волнового вектора: ω == kc.

Периодические граничные условия приводят к квантованиюсоставляющих волнового вектора:kx =2πnx ,Lxky =2πny ,Lykz =2πnz ,Lzгде Lx , Ly и Lz – это длины сторон прямоугольного параллелепипедас объемом V = Lx Ly Lz , а nx , ny и nz – целые числа.Оператор Гамильтона для свободного электромагнитного поляимеет видXX1ĤF =ĤF λ =~ω(â+λ âλ + ),2λпри этом операторы âλ ионным соотношениям:λâ+λудовлетворяют следующим коммутаци-£¤0âλ , â+λ0 = δλλ .Гамильтониан каждой моды ĤF λ выглядит так же, как гамильтониан линейного гармонического осциллятора. Соответственно решениястационарного уравнения Шредингера для ĤF λ хорошо известны, аименно:ĤF λ |nλ i = EF λ |nλ i,1EF λ = ~ω(nλ + ),2nλ = 0, 1, 2 .

. .Операторы â+λ и âλ называются операторами рождения и уничтожения, поскольку:√√â+nλ + 1 |nλ + 1i, âλ |nλ i = nλ |nλ − 1i.λ |nλ i =72Величину nλ удобно интерпретировать как число фотонов в моде λ.Эту величину называют также числом заполнения моды.Собственный вектор |ΨF i оператора ĤF в общем случае имеетследующий вид:Y|ΨF i =|nλ i ≡ |{nλ }i.λЕму отвечает энергия свободного электромагнитного поля, равнаяEF =Xλ1~ω(nλ + ).2Мы видим, что числа заполнения nλ всех мод полностью определяютстационарное состояние свободного электромагнитного поля.Атом в классическом электромагнитном полеПусть атом находится в классическом электромагнитном поле,которое задается векторным потенциалом A(r, t) таким, чтоdiv A(r, t) = 0.Гамильтониан атома имеет вид:á!¢2Xp̂j − ec Ajσ j Hj + Ûs.o.