Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов (Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов.pdf), страница 2

. kn ) с knнеизвестными cβα (α = 1, 2 . . . kn ).Условие разрешимости выписанной системы(1)det kVnγ,nα − Enβ δγα k = 0(1)является алгебраическим уравнением kn -го порядка на Enβ . Этоуравнение называется секулярным. В общем случае такое уравнение(1)имеет точно kn решений Enβ (β = 1, 2 . . . kn ).Таким образом, секулярное уравнение определяет характер расщепления n-го уровня невозмущенной системы на kn подуровней поддействием возмущения V̂ .

Состояние с энергией(1)Enβ ' En0 + Enβ8в нулевом приближении описывается векторомXcβα |nαi.|ψnβ i 'αЛекция №2. Нестационарная теория возмущенийПостановка задачиПусть возмущение V̂ (t) зависит от времени. Будем считать, чтовозмущение начинает действовать в момент t = 0, т.е. V̂ (t) ≡ 0 приt < 0.Внезапное возмущениеВнезапным возмущением называется случай, когда V̂ (t) меняетсяот нуля до фиксированного значения V̂ за время τ , малое по сравнению с характерным временем изменения системы T .

Для оценкивремени T возьмем уравнение Шредингера:i~∂Ψ= ĤΨ.∂tЗа малое время ∆t масштаб изменения волновой функции |∆Ψ| определяется соотношением:~|∆Ψ|∼ |Ei − Ej | |Ψ|,∆tгде |Ei − Ej | – разность характерных энергий системы. Ясно, чтоотносительное изменение волновой функции мало,|∆Ψ|∆t|Ei − Ej |∼¿ 1,|Ψ|~если время ∆t незначительно по сравнению с характерным временемизменения системы.

Отсюда получаем порядковую оценку времениT:~∆t ¿∼ T.|Ei − Ej |9Пусть при t = 0 система находится в стационарном состоянии |ii,т.е.|Ψi (0)i = |ii.За время τ ¿ T волновая функция не успевает заметно измениться,поэтому:|Ψ(τ )i ' |Ψ(0)i = |ii.С другой стороны, при t > τ система описывается гамильтонианомĤ 0 = Ĥ0 + V̂ ,а ее стационарные состояния определяются собственными векторами|ψk0 i этого гамильтониана.

Разложим |Ψ(τ )i по полному ортонормированному базису |ψk0 i:X|Ψ(τ )i =ak |ψk0 i.kКоэффициент разложенияak = hψk0 |Ψ(τ )i ' hψk0 |iiесть не что иное, как амплитуда вероятности перехода из i-го стационарного состояния исходной системы в k-ое стационарное состояниеизмененной системы.Обобщение на случай произвольного τЕсли время τ не мало, то для определения вектора состояния|Ψ(t)i нужно решать уравнение Шредингера:i~∂|Ψ(t)i= (Ĥ0 + V̂ (t))|Ψ(t)i,∂tс начальным условием:|Ψ(0)i = |ii.Ищем |Ψ(t)i в виде разложения|Ψ(t)i =Xak (t)|kie−i100tEk~,по стационарным состояниям системы, описывающейся гамильтонианом Ĥ0 .

При этом в силу начального условия:ak (0) = δik .Подстановка выписанного разложения в уравнение Шредингера дает:0t0tXXEkEki~ȧk (t)|kie−i ~ +ak (t)|kiEk0 e−i ~ =k=kXak (t)Ĥ0 |kie−i0tEk~+Xkak (t)V̂ (t)|kie−i0tEk~.kПоскольку Ĥ0 |ki = Ek0 |ki, то после сокращений получаем:i~Xȧk (t)|kie−i0tEk~=Xkak (t)V̂ (t)|kie−i0tEk~.kПроецируя это соотношение на hn|, находим:i~ȧn (t)e−i0tEn~=Xak (t)Vnk (t)e−i0tEk~,kгде Vnk (t) = hn|V̂ (t)|ki, илиȧn (t) = −0 −E 0 )t(EkniX~ak (t)Vnk (t)e−i.~kМы получили систему линейных дифференциальных уравненийпервого порядка для неизвестных амплитуд an (t), n = 1, 2 . .

. Есливозмущение мало,hV̂ (t)i ∼ εhĤ0 i,ε ¿ 1,то система может быть решена методом последовательных приближений.Представим каждую неизвестную амплитуду в виде ряда по малому параметру ε:(1)(2)an (t) = a(0)n (t) + an (t) + an (t) + . . . ,11где верхний индекс указывает на порядок малости, т.е., например,(2)an ∼ ε2 .

В частности, для начальных условий получаем:(1)(2)an (0) = a(0)n (0) + an (0) + an (0) + . . . = δni .Следовательно:a(0)n (0) = δni ,a(1)n (0) = 0,a(2)n (0) = 0,...Подставляем выписанные разложения в систему дифференциальных уравнений:(1)ȧ(0)n (t) + ȧn (t) + . . . = −0 −E 0 )t(Ekni X (0)(1)~.(ak (t) + ak (t) + . . .)Vnk (t)e−i~kПриравнивая величины одного порядка малости друг другу, в нулевом порядке находим:ȧ(0)n (t) = 0Следовательноa(0)n (t) = const.⇒(0)a(0)n (t) = an (0) = δni .Далее, в 1-ом порядке имеем:ȧ(1)n (t) = −0 −E 0 )t(Ekni X (0)~ak (t)Vnk (t)e−i.~k(0)Но ak (t) = δki , поэтому(E 0 −E 0 )ti−i i ~ n, ȧ(1)n (t) = − Vni (t)e~ (1)an (0) = 0.Решение записывается в виде интеграла:a(1)n (t) = −i~ZtVni (t0 )e−i0120 )t0(Ei0 −En~dt0 .Возмущение, действующее в течение конечного времениРассмотрим случай, когда возмущение V̂ (t) действует в течениеконечного времени или быстро затухает при t → +∞.

В этом случаеa(1)n (+∞) = −i~+∞ZVni (t)e−i0 )t(Ei0 −En~dt.0Таким образом, вероятность перехода из i-го состояния в n-ое состояние в 1-м порядке нестационарной теории возмущений равна¯ +∞¯2¯ Z¯0 −E 0 )t(E¯¯1 ¯2−i i ~ n¯ .w(i → n) = |a(1)(+∞)|=−V(t)edtnin¯¯2~ ¯¯0Пусть возмущение V̂ (t) плавно меняется за время действия τ ,значительно превосходящее характерное время изменения системыT , т.е.~τÀ 0∼ T.|Ei − En0 |Легко видеть, что в этом случае вероятность перехода w(i → n) мала.Такое медленно меняющееся возмущение называют адиабатическим.Периодическое возмущениеРассмотрим важный класс возмущений, описывающихся гармоническими функциями времени. Таково, к примеру, возмущение,связанное со взаимодействием атома с полем плоской электромагнитной волны (фотоэффект).

В силу эрмитовости гамильтонианаоператор возмущения в общем случае может быть представлен вформе:V̂ (t) = V̂ e−iωt + V̂ + eiωt .В 1-м порядке нестационарной теории возмущений амплитуда перехода из i-го состояния в n-е состояние имеет вид:a(1)n (t)ZtZt0 +~ω)t00 −~ω)t0(E 0 −En(Ei0 −Enii ∗−i i0~~= − Vni edt − Vin e−idt0 ,~~0013∗где Vni = hn|V̂ |ii и Vin= hn|V̂ + |ii. Вычисляя интегралы и принимаяво внимание начальные условия, находим:0 −~ω)t(Ei0 −En0 +~ω)t(Ei0 −Ena(1)n (t)−i~~−1−1e−i∗ e+V.= Vniin0000Ei − En + ~ωEi − En − ~ωОбратимся для наглядности к фотоэффекту.

До взаимодействияс переменным электромагнитным полем электрон находится в стационарном состоянии |ii с энергией Ei0 . После поглощения фотона сэнергией ~ω электрон переходит в одно из состояний непрерывногоспектра с энергиейEf = Ei0 + ~ω.(1)Легко видеть, что амплитуда an (t) перехода в состояние с энергиейEn0 действительно резко возрастает, если(0)En0 ' Ei+ ~ω.(1)В этом случае первое слагаемое в формуле для an (t) линейно растетсо временем:t∼ Vni ,~тогда как второе слагаемое имеет масштаб∼|Ei01V∗.− En0 | inЕсли время действия возмущения t велико по сравнению с характерным временем изменения системы T , т.е.tÀ~∼ T,|Ei0 − En0 |(1)то вторым слагаемым в формуле для an (t) можно пренебречь, такчто(E 0 −E 0 +~ω)t0 +~ω)t(E 0 −Ensin i 2~n(1)−i i 2~an (t) = −2iVni e.Ei0 − En0 + ~ωВводем обозначения:Ef = Ei0 + ~ω,∆n = En0 − Ef .14Тогда для вероятности перехода из i-го состояния в n-е состояниеполучаем:22wi→n (t) = |a(1)n (t)| = 4|hn|V̂ |ii|sin2 (∆n t/2~).∆2nЗависимость wi→n (t) от конечной энергии ∆n (отсчитанной от Ef )представлена на рисунке.wi→n (t)- 6π~t- 4π~t6 |hn|V̂~|ii|2- 2π~t02 2t2π~t4π~t6π~t∆nМы видим, что к моменту времени t характерное отличие конечной энергии En0 от энергии Ef определяется формулой2π~' ∆n .tВ общем случае вводят соотношение∆t∆E ' 2π~,связывающее время ∆t действия возмущения и характерную неопределенность ∆E энергии системы.

Этот результат иногда называютсоотношением неопределенности для времени и энергии.Предположим, что имеется плотное множество конечных состояний, т.е. на интервал энергий от En0 до En0 + ∆En0 приходитсяρ(En0 )∆En0 состояний. Функция ρ(E) называется плотностью конечных состояний. Тогда полная вероятность перехода из начальногоi-го состояния в одно из конечных состояний определяется интегралом:ZPi→f (t) = wi→n (t)ρ(En0 )dEn0 .Поскольку матричный элемент hn|V̂ |ii и плотность конечных состо15яний ρ(En0 ) являются медленными функциями энергии En0 , то+∞Z2Pi→f (t) = 4|hf |V̂ |ii| ρ(Ef )−∞sin2 (∆n t/2~)d∆n .∆2nВводя безразмерную переменную интегрированияx=∆n t,2~легко находим:2tPi→f (t) = |hf |V̂ |ii|2 ρ(Ef )~+∞Z−∞sin2 x2πtdx =|hf |V̂ |ii|2 ρ(Ef ).2x~Вероятность перехода прямо пропорциональна времени действиявозмущения.

Этот результат, однако, получен в рамках теории возмущений, т.е. справедлив лишь до тех пор, покаPi→f (t) ¿ 1.Соответственно удобно ввести вероятность перехода в единицу времениPi→f (t)wi→f =.tВ 1-м порядке нестационарной теории возмущений для этой вероятности получено:2πwi→f =|hf |V̂ |ii|2 ρ(Ef ).~Это соотношение называется правилом Ферми.Заметим, что правило Ферми для вероятности перехода в единицу времени справедливо также в случае, когда в момент времениt = 0 на систему накладывается постоянное (не зависящее от времени) возмущение V̂ (V̂ + = V̂ в силу эрмитовости гамильтониана).

Вэтом случае ω = 0, так что Ef = Ei0 .Пусть W (t) – это вероятность того, что система к произвольному(не обязательно малому) моменту времени t продолжает находитьсяв начальном i-м состоянии. Понятно, что W (0) = 1. Для малогопромежутка времени ∆t имеем:W (t + ∆t) = W (t)(1 − wi→f ∆t).16В пределе ∆t → 0 получаем дифференциальное уравнение:dW= −wi→f W (t).dtЕго решение имеет вид (закон радиоактивного распада):tW (t) = e−wi→f t = e− τ ,τ=1.wi→fВеличина τ называется временем жизни начального состояния.Лекция №3. Релятивистские квантовые уравненияНерелятивистское уравнение ШредингераВ нерелятивистской квантовой механике волновая функция частицы, движущейся в потенциале U (r), определяется уравнениемШредингера:µ 2¶∂Ψp̂i~=+ U (r) Ψ.∂t2mФормально это уравнение может быть получено из нерелятивистскойформулы для полной энергии частицы:E=p2+ U (r),2mесли ввести соотвествиеE → i~∂,∂tp → p̂ = −i~∇.Уравнение Клейна–ГордонаПредположим, что в релятивистском случае имеется точно такое же соответствие между классическими величинами и дифференциальными операторами.

В отсутствие внешнего поля соотношениемежду энергией и импульсом имеет вид:E 2 = p2 c2 + m2 c4 .17Выполняя соответствующие подстановки, получаем уравнение Клейна–Гордона∂2Ψ−~2 2 = (−~2 c2 ∆ + m2 c4 )Ψ.∂tУравнение Клейна–Гордона обладает рядом особенностей, которые выводят его за рамки привычных представлений о квантовоймеханике. Во-первых, уравнение Клейна–Гордона содержит вторуюпроизводную волновой фукции по времени.