Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001), страница 5

T ) . ω . Tf( ω )4ωто энергетический спектр на сопротивлении R2 . cos ( ω . T )1. Ω2,4721. V m . 4T if ω4 RE u( ω )02VmR. f( ω ) if ω0Полная энергия21. V m . 3T ; E u = 42.667 sec watt .3 REuЗадача 1.3.2. Найти для экспоненциального видеоимпульса E(t) из задачи 1.2.5 спектральную плотность энергии и полную энергию на основе егочастотного представления.Ответ. На сопротивлении R1 .

Ω спектральная плотность энергии2E e( ω )1. U mR α2ω2.Полная энергияEe1 .2 1U m . и составляет E e = 2 sec watt ..α2 RЗадача 1.3.3. Требуется определить энергетические характеристикивидеоимпульса S(t) синусоидальной формы из задачи 1.2.3 при амплитуде1U m2 . volt , длительности τ2 . π . f 0 ).(ω 00.1 . sec и частоте f 02.

τОтвет. На сопротивлении R1 . Ω энергетический спектр2. 2.2τ π U m ( ( cos ( τ . ω ) 1 ) 2 sin ( τ . ω ) 2 ).E s( ω ).R2. 22 2( ω τπ )Полная энергия2τ.U mEs.2. RЗадача 1.3.4. Определить на основе комплексного ряда Фурье спектрмощности видеоимпульса S(t) синусоидальной формы из задачи 1.2.3, имеющего амплитуду U m 2 . volt и длительность τ0.1 .

sec , в случае его пе2. τ .риодического продолжения с периодом T 0481 . Ω спектр мощностиОтвет. На сопротивлении R21 .U m16 RP s( k )if k 121 . U m . ( ( cos ( k . π ) 1 )sin ( k . π ) )if k 1 .24 R2.2π ( k1 )22Задача 1.3.5. Требуется определить энергетические характеристикиимпульсного сигнала x(t) с амплитудой U m 1.5 .

volt и длительностьюτ1 . sec, вид которого показан на рис.1.3.7.График сигнала x(t)volt2ττ2x( t )21Um0123Um2tsecОтвет. На сопротивлении RРис.1.3.71 . Ω энергетический спектр2E x( ω )4. U m.Rcos21. .ω τ2ω1.2При введении определения сигнум-функцииsignum ( t )1 if t 01 if t < 0полная энергияE x( τ )и так как signum ( τ ) = 11.R2signum ( τ ) . τ . U m, то2Exτ.U mR.49Задача 1.3.6. Найти энергию и спектральную плотность энергии импульсного сигнала U(t), рис.1.3.8, при скорости изменения фронтов импульса1Vm2 . volt .

sec и его длительности τ2 . sec.График сигнала U(t)volt2τU( t )1. volt220τV m.224tsecРис.1.3.8Ответ. На сопротивлении R1 . Ω энергетический спектрE u( ω )1 .2 4V m . τ if ω.16 R1 .2Vm ..4 R42 . sin01. . . .ω τ ω τ2ω4 . cos1. .ω τ242if ω0.Полная энергияE u( τ )и так как signum ( τ ) = 11. signum ( τ ) . τ 3..( 12 R )Vm2, тоEu1 . 3.2τ Vm.12 Rи составит E u = 2.667 sec watt .Задача 1.3.7. Определить на основе тригонометрического ряда Фурьеспектр мощности периодического сигнала s(t), приведенного на рис.1.3.9, гдеамппитуда импульса U m 1.5 . volt и его длительность τ1 . sec.50График сигнала s(t)volt22. τs( t )64Um2.

τ202468Um2tsecОтвет. На сопротивлении RPsk1.RsinU m.Рис.1.3.91 . Ω спектр мощности3. .k π4sin ( k . π )sin1. .k π4( k. π )2.1.4. Практическая ширина спектра1.4.1. Основные понятия и соотношенияРеальные сигналы, как правило, имеют конечную длительность и поэтомубесконечный спектр. Для практических расчетов ширину спектра можно ограничивать частотой среза ω c . Тогда под практической шириной спектра[]понимают интервал 0, ω c , внутри которого сосредоточена основная частьэнергии (или мощности) сигнала, например 90% или 99%.Ограничение спектра соответствует усечению ряда или интеграла Фурье.Оно ведет к погрешности δ(t ) = x(t ) − x ∗ (t ) представления исходного сигнала x(t ) усеченной оценкой x ∗ (t ) .

Наиболее удобно эту погрешность оценивать с помощью среднеквадратичного критерия приближения. В зависимостиот вида сигнала среднеквадратичная погрешность за счет ограничения спектра будетσ2 =1tmtm∫ δ (t)dt = ΔP ⇒ для мощностных сигналов20(например, периодических);512σ =1tmtmΔE∫ δ (t)dt = t20⇒ для энергетических сигналов(1.19)m(например, импульсных),где ΔP = (1 − γ )P и ΔE = (1 − γ )E - соответственно средняя мощность и энергия отброшенной высокочастотной части спектра; γ -коэффициент, равный0,9÷0,99; t m - длительность сигнала (например, его период).На основании (1.10), (1.12) и (1.14) условие для выбора практическойширины спектра принимает вид:a 20 +12C 02 + 2nc∑Ak =1nc2k∑ C& k= γ ⋅ P - для тригонометрического ряда (1.1); (1.20)2= γ ⋅ P - для комплексного ряда (1.4);(1.21)k =1ωc1⋅ A 2 (ω )d ω = γ ⋅ E - для интегрального преобразования Фурье, (1.22)π∫0где ω c - частота среза (ограничения) спектра; n c - число учитываемых гармоник спектра, причем ω с = n c ⋅ ω1 .1.4.2.

Типовые примерыПример 1.4.1. Рассчитать практическую ширину спектра периодиче0.95 иского линейно изменяющегося сигнала x ( t ) из примера 1.1.1 при γ1исходных данных: скорость изменения V m 4 . volt . sec ; период T2 . sec1 . sec .и временной сдвиг t 0Математическая модель сигнала для одного периода имеет видx( t )V m. t t 0 if 0 < t < T .0 otherwiseРешение. Так как периодический сигнал относится к мощностным сигналам, то нужно рассматривать его среднюю за период T мощность.

При временном представлении сигнала его полная средняя мощность, согласно (1.9),1 . Ω будетна сопротивлении Rassume T , V m , t 0 , R52T2PVmT. R2.tt02dt0Vm( T. R ).1.3Tt031.3t03.2Vm3. t 3t0 Tи P = 5.333 watt .03. ( T . R )Для оценки практической ширины спектра этого сигнала воспользуемсяспектральным представлением на основе комплексного ряда Фурье.

Согласнорешению примера 1.1.2, комплексные коэффициенты разложенияT. V mC00 . volt и C( k ) j .(k>0).2 . k. πИтак,PТогда на основании (1.21) условие для выбора практической ширины5 ) принимает видспектра (например, при n cγ .PC022.RRnc2( C( k ) ) .k= 1Решим данное неравенство графически. Для этого при n cстроим (рис.1.4.1) зависимостьnc2C02.2Pγ nc( C( k ) ) .RRk= 11 .. 15 по-612watt5γ. PPγ nc43051015n cномер гармоникиРис.1.4.112 . Тогда частота среза в радиаИз графика на рис.1.4.1 следует n cнах за секунду532.

π1n c., ω c = 37.699 secT1n c. и составит f c = 6 Hz .или частота среза в герцах f cTω cПример 1.4.2. Рассчитаем практическую ширину спектра прямоугольного видеоимпульса x ( t ) с амплитудой U m 0.4 . volt и длительностью2 . sec при сохранении в спектре сигнала 90% его энергии (коэффициентτγ0.9 ).Математическая модель сигнала (рис.1.4.2 при T2. τ иTt1.2 .

T , 1.2 . T.. 1.2 . T )500ττt.x( t )U m if220 otherwisevoltτ1τ2x( t )5205tsecRРис.1.4.2Решение. Полная энергия импульса, согласно (1.13), на сопротивлении1 . Ω будетassume U m , τ , RτE1.2R2U m dtτ1.R2U m .τ .2Итак,E2U m .τR, т.е. E = 0.32 sec watt .54Согласно решению примера 1.2.1, спектральная функция симметричногоотносительно начала координат прямоугольного импульса1sin . ω . τ22 . U m.F x( ω ).ωНа основании равенства Парсеваля (1.14) и условия (1.22) энергия сигнала, спектр которого ограничен частотой среза ωс, будетEγ ω c1 .π .Rω cF x( ω )2dω0или после подстановки спектральной функцииω c224.

U m1 .1.Eγ ω csin . ω . τ d ω .22π .Rω0Данный интеграл не выражается через элементарные функции. Если ввести определение функции интегрального синусаxsin ( z )Si( x )dz ,z0то интеграл приводится к табулированному виду22 . U m cos ω c. τ1.Eγ ω cτ . Si ω c. τ .π .Rω c11 . sec ) безразмерную переменнуюВведем (пусть, например, ω cω c. τW. Тогда можно записатьπ22 . U m cos ( π .

W ) 1.E γ (W)τ . Si( π . W ) .π .Rπ .WПостроим при Wτ0 , 0.02 .. 3 зависимость (рис.1.4.3)E γ (W)γ (W).E5512γ( W )0.901234WРис.1.4.30.9 можно принять WИз графика на рис.1.4.3 видно, что для γсюда следует формула для частоты срезаassume π , τπ .Wπω c2. .ττ2. π1, т.е. ω c = 3.142 sec .Итак, частота среза ω cτ2 . От-1, т.е.τf c = 0.5 Hz. При этом энергия отброшенной высокочастотной части спектраΔE( 1 γ ) . E и составит Δ E = 0.032 sec watt .В случае выражения значений в герцах частота среза f cСогласно (1.19), среднеквадратическая погрешность за счет ограниченияспектра будетσΔ E.R и составит σ = 0.126 volt .τОтносительная среднеквадратическая погрешностьσ отн.Пример 1.4.3.ΔEEи составит σ отн.

= 31.623 %.Найти при γ0.95 практическую ширину спектра1150 . volt . sec и α10 . sec .сигнала u ( t ) , t 0 с параметрами μМатематическая модель сигнала (рис.1.4.4 при T1 . sec иTt1.0 . T , 1.0 . T.. 1.0 . T )400u( t )μ . t. eα .tif t 0 .0 otherwise56volt2u( t )10.500.51tsecРис.1.4.4Решение.

Интегральное преобразование Фурьеassume μ , α > 0∞μα . t j . ω. tF u( ω )μ . t. e . edt.22(α2. j . α . ω ω )0Таким образом, спектральная функцияμF u( ω ).22( 2. j . ω . α ωα )Энергетический спектр, определяемый как квадрат модуля спектральнойфункции, будетassume μ , α > 0F u( ω )2( μ )222 2.(αω )При частотном представлении сигнала на основании равенства Парсеваля (1.14) полная энергия сигнала на сопротивлении R1 .

Ω будетassume μ , α > 0 , R∞221 .μ1 .μE(α )dωπ .R( 4. R ) α 322 2(ωα )0или в другой форме записи21 .μи составит E u = 0.625 sec watt .( 4. R ) α 3Согласно условию (1.22), энергия сигнала, спектр которого ограниченчастотой среза ωс,Eu57ω c1 .π .REγ ω cμ(ω22 22dωα )0или после взятия интегралаμEγ ω catan2.ω c. α2αω c2α.ω c.2ω cТаким образом, уравнение (1.22) для расчета практической шириныспектра, ограниченного частотой среза ω c , принимает видγ.( 2. π .

R )μ232α . αμ2atan.ω c. α2αω c2α.ω c.2ω cДанное уравнение не имеет аналитического решения. Поэтому будемрешать его численным методом, используя для решения спецфункциюMathcad Find(x), где x - переменная, относительно которой решается уравнение (в нашем случае это ω c ). Тогда процедура решения представляется сле4. R . α3( 2. π .

R )32α . αдующим образом:1ω c1 . sec - начальное приближение;GIVEN - ключевое слово, за которым должно следовать уравнениеγ .E u E γ ω c ;ω пFind ω c - определение корня уравнения, решаемого относительно переменной ω c функцией Find(x).Результатом решения является практическая ширина спектра1ω c.ω п = 18.374 sec, причем ω п0.95 частота среза спектра сигналаТаким образом, при γω пfcи составит f c = 2.924 Hz .2. πПример 1.4.4.

Найти практическую длительность экспоненциальноговидеоимпульса с амплитудой U m 1 . volt и коэффициентом затухания1α0.95 .0.1 . sec при коэффициенте γ58Математическаяt0.4 . T , 0.4 . Tмодель сигналаT.. 0.4 . T )500(рис.1.4.5приT50 . secиα.tU m. eif t 0 .E(t)0 otherwisevolt1E( t )402002040tsecРис.1.4.5Решение. Найдем практическую длительность tп=tm экспоненциального видеоимпульса при γ0.95 из условияtm1α.t 22.U m.