Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001), страница 3

τ )U m.ω2 . U m.U m. cos ( ω . τ )2cos ( ω . τ )U m2ω;1.ωС учетом особой точки ω=0 амплитудный спектр представляется выражениемA p( ω )U m. τ if ω 0.2 . U m.cos ( ω . τ )1otherwiseωФазовый спектр (как аргумент спектральной функции)M p( ω )φ p( ω )arg F p ( ω ) или φ p ( ω )atan;D p( ω )Подстановка действительной и мнимой частей спектральной функции дает( cos ( ω .

τ ) 1 )φ p( ω )atan.sin ( ω . τ )Графики амплитудного и фазового спектров приведены на рис.1.2.12 и1.2.13 при изменении угловой частоты в долях частоты первой гармоники2. πω 1в случае периодического продолжения импульсного сигнала, аTименно приω 1R5иωR.ω 1 , R.ω 1.. R . ω 1 .25024вольт x секундаАмплитудный спектр сигнала P(t)2. π2. πττA p ( ω)2001000100200ωрадиан/секундаРис.1.2.122πрадиан2. πφ p( ω)2τ2001000100200π22ωрадиан/секундаРис.1.2.13Для области физически реализуемых частот (f>0) графики амплитудногоAS p ( f )A p ( 2 .

π . f ) и фазового Φ S p ( f )φ p ( 2 . π . f ) спектров приве-volt * secдены на рис.1.2.14 и 1.2.15 при изменении частоты в долях частоты первой1гармоники f 1в случае периодического продолжения импульсного сигTf110 и f0.01 . Hz , 0.01 . Hz.. R . f 1 .нала, а именно при R100AS p ( f )012ττU m. τ2040fHzРис.1.2.1460252radΦ S p ( f)12ττ0π2204060π22fHzРис.1.2.15Пример 1.2.4. Решить задачу из примера 1.2.3 на основе теоремы овременном сдвиге.Решение.

Согласно данной теореме временной сдвиг сигналаτx t t c , например, на величину t cэквивалентен умножению в час2тотной области его спектральной функции F x ( ω ) на комплексную экспоj . ω. t c. При этом амплитудный спектр исходного сигнала x ( t ) нененту eω . t c.изменяется. Изменится только спектр фаз на величину φ c ( ω )Перенесем начало координат в середину импульса путем его временногоτсдвига на величину t c. Это дает нам четную функцию P1(t) сдвинутого2сигнала (рис.1.2.16)ττP1 ( t )U m ift220 otherwisevolt1P1 ( t )0.40.200.20.40.6tsecРис.1.2.16Для четной функции импульса P1(t) его спектральная функция Fp1(ω)будет вещественной, а для нечетной - чисто мнимой.26Воспользуемся решением примера 1.2.1. Из этого примера следует, чтоспектральная функция симметричного относительно начала координат прямоугольного видеоимпульса с точностью до множителя U m. τ будет иметьвид функции отсчетовsin ( z ).zТаким образом, спектральная функция сдвинутого сигналаω.τU m.

τ . SaF P1 ( ω ).2Вернемся к исходному сигналу, сдвинув по времени симметричный виτдеоимпульс на величину t c. При этом на основании теоремы о времен2ном сдвиге можно получить спектральную функцию исходного видеоимпульсаSa ( z )j . ω. t cF P1 ( ω ) . eF P( ω );j . F P1 ( ω ) . sin ω . t c .F P1 ( ω ) . cos ω . t cF P( ω )Амплитудный спектр сигнала определяется как модуль спектральнойфункцииA p( ω )A p( ω )F P1 ( ω ) .

cos ω . t cF P1 ( ω ) .2F P1 ( ω ) . sin ω . t c2;Фазовый спектр (как арктангенс отношения мнимой и действительнойчастей спектральной функции)M p( ω )φ p( ω )atanD p( ω )или после подстановки действительной и мнимой частейsin ω . t cφ p( ω )atan.cos ω . t cГрафики амплитудного и фазового спектров приведены на рис.1.2.17 и1.2.18 при изменении угловой частоты ω в долях частоты первой гармоники2.

πω 1в случае периодического продолжения импульсного сигнала сTпериодом T, а именно приω 1R5 и ωR.ω 1 , R.ω 1.. R . ω 1 .250вольт x секунда27A p( ω)2002. π2. πττ1000100200ωрадиан/секундаРис.1.2.172πрадиан2. πφ p( ω)2τ2001000100200π22ωрадиан/секундаРис.1.2.18Фазовые спектры на рис.1.2.13 и 1.2.18 аналогичны и соответствуют периодической форме представления линейного фазового спектра. Убедимся вэтом. Выражениеsin ω . t cφ p( ω )atancos ω . t cс учетом тригонометрического равенстваα1 cos ( α )tan2sin ( α )приводится при α=ωτ к виду фазовой характеристики примера 1.2.3, т.е.( cos ( ω . τ ) 1 )φ p( ω )atan.sin ( ω . τ )С другой стороны, так какφ p( ω )tan ω .

t c ,то отсюда имеем линейную форму представления фазового спектра(рис.1.2.19)φ p( ω )ω . t c.atan28радиан10φ p( ω)200100010020010ωрадиан/секундаРис.1.2.19HПример 1.2.5. Сигнал U ( t ) в частотной области имеет:а) равномерный спектр амплитуд (параметры - плотность амплитуд15 . sec )0.5 . volt . sec и частота среза спектра ω cA u( ω )H if ω c ω ω c ;0 otherwise2 .

sec )б) линейный спектр фаз (параметр t 0φ u( ω )ω . t 0 if ω c ω ω c .volt * secW0 otherwiseТребуется найти вид этого сигнала.Графики частотных характеристик приведены на рис.1.2.20 и 1.2.21 приW110 . sec и ωW, W.. W .200ωcA u( ω)1ωcH10505ωrad / secРис.1.2.20101529rad20φ u( ω)10505101520ωrad / secРис.1.2.21Решение. Спектральная функция сигнала U(t) в экспоненциальнойформеj .φ ( ω )uA u ( ω ).

eF u( ω ).Вид сигнала можно найти обратным преобразованием Фурье (1.4) егоспектральной функции:ω cj . ω. t 0 j . ω. t1 ..eH.eU(t)dω ;2. πω csin ω c. t t 0.π. t t 0Полученное выражение можно записать в компактной форме, если умножить его числитель и знаменатель на ωc и учесть определение функцииU(t)H.отсчетовSa ( z )В результате получимsin ( z )z.H.ω c.

Sa ω . t tc0 .πГрафик сигнала приведен на рис.1.2.22 приTT5 . sec и t0.4 . T , 0.4 . T.. 1.1 . T .400U(t)30H .ω1voltt0U( t )20cπ2461tsecРис.1.2.221.2.3. Типовые задачиЗадача 1.2.1. Построить спектры амплитуд и фаз сигнала U(t) на выходе генератора линейно изменяющегося напряжения (ГЛИН) при исходных12 .

secданных: скорость изменения V m 4 . volt . sec и длительность τ(рис.1.2.23) .Аналитическое выражение сигналаτU(t)V m. tif 0 t τ .20 otherwisevolt5τ2U( t )4202465tsecРис.1.2.23Ответ. Амплитудный спектрA u( ω )0 if ω 0, гдеV m B u( ω ).if ω2ω2B u( ω )2 2τ .ω4 . sin ( τ . ω ) . τ . ω402 2cos ( τ . ω ) . ( τ . ω4 ).31Фазовый спектрφ u( ω )atancos ( τ .

ω ) . τ . ωsin ( τ . ω ) . τ . ω2 . sin ( τ . ω ) τ . ω.2 . cos ( τ . ω ) 2Задача 1.2.2. Найти спектр косинусоидальной функции y(t) , заданнойна интервале -τ/2< t <τ/2 и показанной на рис.1.2.24, при исходных данных:Nамплитуда U m 0.5 ; длительность τ0.2 ; при N8 частота f 0τ2 . π . f 0 ; возможная периодичность повторения Tили ω 02. τ .Аналитическое выражение функцииy( t )U m. cos ω 0 . tifτ2tτ2.0 otherwise1y( t )0.20.100.101tРис.1.2.24Ответ. Спектр функции y(t)U m. τ. Sa 1 . ωF y( ω )22ω 0 .τU m. τ.

Sa 1 . ω22ω 0 .τ .Задача 1.2.3 Найти амплитудный спектр одиночного видеоимпульсаS( t ) синусоидальной формы (рис.1.2.25) при исходных данных: амплитуда11U m2 . volt ; длительность τ10 . sec; при N2 частота f 0N.τ2 . π . f 0 ) и период T 0N.τ.(угловая частота ω 0Аналитическое выражение сигнала:S( t )U m. sin ω 0 . t if 0 t τ .0 otherwise32volt2S( t )0.100.10.20.3tsecРис.1.2.25Ответ.

Амплитудный спектрcos ( ω . τ )2 . τ . π . U m.A s( ω )1.22 2πω .τГрафик амплитудного спектра видеоимпульса S(t) синусоидальной формы приведен на рис.1.2.26 при изменении угловой частоты ω в долях несущей2. πв случае периодического продолжения импульсногочастоты ω 0T0сигнала с периодом T0, а именно привольт x секундаRR.ω 0 , R.ω 08 и ωω 01006. π6. π2. τ2. τ..

R . ω 0 .2. τ. U mA s( ω )π3002001000100200300ωрадиан / секундаРис.1.2.26Задача 1.2.4. Решить задачу 1.2.3 с использованием теоремы о временном сдвиге.Ответ. Амплитудный спектр331. .ω τ2cos2. τ . π . U m .A s( ω )2 2ω .τπ2.Задача 1.2.5. Найти спектры амплитуд и фаз экспоненциального видеоимпульса E ( t ) , t 0 . sec с амплитудой U m 1 . volt и коэффициентомзатухания α10.1 .

sec (рис.1.2.27).volt1E( t )50050tsecРис.1.2.27Математическая модель сигналаE(t)α.tU m. eif t 0 .0 otherwiseОтвет. Амплитудный спектрA e( ω )U mα2ω.2Фазовый спектрφ e( ω )atanωα.Задача 1.2.6. Найти амплитудный спектр экспоненциального радиоимпульса E1 ( t ) , t 0 . sec (рис.1.2.28) с параметрами: амплитуда1U m5 . volt ; коэффициент затухания α400 .

sec ; несущая частота2 . π . f 0 ).f01000 . Hz ( ω 034volt5E1( t )0.010.0100.010.015tsecРис.1.2.28Математическая модель сигналаα .tU m. e . sin ω 0 . tE1 ( t )if t 0 .0 otherwiseОтвет. Амплитудный спектр экспоненциального радиоимпульсаU m11.A e1 ( ω ).22222αω ω 0αω ω 0Графикамплитудногоспектра234. ω 0 , W15 . 10 . secWW, W.. W .200αqω21приведенинаизменениирис.1.2.29угловойпричастотыvolt * secАмплитудный спектр сигнала E1(t)ω0A e1 ( ω )42 101 104ω00U m α q.2( q .α )41 102 104ωrad / secРис.1.2.29Задача 1.2.7.

Найти в рамках Mathcad 6.0 спектры некоторых специальных функций:1) дельта-функция δ ( t ) или функция Дирака35Dirac ( t )∞ if t 0, т.е. δ ( t )Dirac ( t ) ;0 otherwise2) единичный скачок ed ( t ) или функция Хевисайда [спецфункцияMathcad Ф(t)]Φ (t)1 if t 0 , т.е.

ed ( t )Φ ( t );0 otherwise3) комплексная синусоида (пусть ω 05).ks ( t )exp j ω 0 . t ;4) бесконечная косинусоида при ∞ < t < ∞ (и, например, Abk ( t )A. cos ω 0 . t ;5) постоянная функция p ( t )1)A.ПРИМЕЧАНИЕ. Все эти функции абсолютно неинтегрируемы, но путемпредельного перехода для них можно найти интегральное преобразованиеФурье.Ответ. Спектральные функции:1 - вещественна, постоянна и равна 1 на любой частоте;1) F δ ( ω )j2) F ed ( ω )π .

Dirac ( ω ), где Dirac(ω)=δ(ω) - дельта-функция в часωтотной области;2 . π . Dirac ω 0 ω ;3) F ks ( ω )A. π . Dirac ω ω 0Dirac ω ω 0 ;4) F bk ( ω )2 . π . A. Dirac ( ω ) .5) F p ( ω )ПРИМЕЧАНИЕ. Если интеграл непосредственно не берется, то следуетиспользовать в Mathcad команды прямого преобразования Фурье “FourierTransform” и обратного преобразования Фурье “Inverse Fourier Transform”меню Symbolic и Transforms.Задача 1.2.8.

Амплитудный спектр сигнала S(t) имеет параметры:0.5 . volt . sec;а) плотность амплитуд H14 . sec и ω c23 . ω c1 .б) частоты среза спектра ω c1Амплитудный спектр описывается выражением36A u( ω )ω c2 ωH ifH if ω c1 ωω c1 .ω c20 otherwiseСпектр фаз равен нулю. Требуется найти вид сигнала S(t).График частотной характеристики (амплитудного спектра) приведен наW1рис.1.2.30 при W18 . sec и ωW, W..

W .200volt * sec1ω c2ω c1A u( ω)H201001020ωrad / secРис.1.2.30Ответ. СигналS( t )H.sin ω c2 . tsin ω c1 . t( π .t ),причем при t=0 имеемS0График сигнала при TH.ω c1ω c2.π5 . secи tT1.0 . T , 1.0 . T400приведен на рис.1.2.31.2voltH.S( t )64202tsecРис.1.2.312ω c1 ω c2π46.. 1.0 . T37Задача 1.2.9. Найти амплитудный спектр одиночного видеоимпульсаU ( t ) специальной формы (рис.1.2.32) с параметрами: значения амплитудU m10.5 . volt и U m22.4 .