Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001), страница 2

voltz( t )14321012343t. 10msРис.1.1.63Ответ. При единице времени одна миллисекунда ms 10 . sec, номе1.5 . volt , периоде Tрах гармоник k0 .. 5 , амплитуде U m2 . ms, час-тоте 1-й гармоники f 11Tи k-й гармоники fkk . f 1 амплитудный спектр121.Ak2.U m if k 01. .k π2( k. π )sin.Um if k 0График амплитудного спектра в виде столбчатой диаграммы приведен нарис.1.1.7.1вольт0.75 .

voltA0.477 . voltk05001000150020002500fkгерцРис.1.1.7Задача 1.1.4. Найти амплитудный и фазовый спектры сигнала u(t) навыходе однополупериодного выпрямителя на основе комплексного ряда Фурье. График сигнала показан на рис.1.1.8.volt2Umu( t )132101234tsecРис.1.1.8Ответ. Амплитудный спектр1.A u( k )U m if k 141.2( )sin ω 0 tcos ( k . π ) 1if k 12 . U m.2π .( k1).13πФазовый спектр φ u ( k )2if ( cos ( k .

π )1) 0 .0 otherwiseЗадача 1.1.5. Найти амплитудный и фазовый спектры сигнала s(t) навыходе двухполупериодного выпрямителя на основе комплексного ряда Фурье. График сигнала показан на рис.1.1.9.volt4s( t )Um23210123( )sin ω 0 t3t. 10msРис.1.1.9Ответ. Амплитудный спектрA s( k )Фазовый спектр φ s ( k )2. U m.2π . 4. k1sin ( 2 . k . π )atan.( cos ( 2 .

k . π ) 1 )Задача 1.1.6. Найти амплитудный и фазовый спектры периодическойпоследовательности идеальных прямоугольных импульсов p(t), график которой приведен на рис.1.1.10, на базе комплексного ряда Фурье.volt2Ump( t)0.150.10.0500.0523t. 10msРис.1.1.10Ответ. Амплитудный спектр0.10.150.2Um14A p( k )0 if k 01.2.2 .

cos ( k . π )U m.Фазовый спектр φ p ( k )atan 2 .1k. πcos ( 2 . k . π )if k 0cos ( π . k ) ).( 2 . sin ( π . k ) sin ( 2 . π . k ) )(11.2. Спектральные характеристики непериодическихсигналов1.2.1. Основные понятия и соотношенияСпектральное представление можно обобщить на случай, когда функцияx(t) — непериодическая, т.е. T→∞.

В этом случае применяется интегральноепреобразование Фурьеx(t ) =12πF ( jω) =∞∫ F ( jω)ejωtdt = Φ −1 [F ( jω)] (обратное), где(1.6)−∞∞∫ x(t)e− jωtdt = Φ[x(t )] (прямое).(1.7)−∞Здесь Ф и Ф-1 - обозначения прямого и обратного оператора Фурье .Формулы (1.6) и (1.7) — пара интегральных преобразований Фурье.Функция F(jω) называется спектральной функцией или комплекснымспектром непериодического сигнала.

Она определена при положительных иотрицательных частотах.Спектральную функцию можно представить в видеF ( jω) = a (ω) + jb(ω) = A (ω)e jϕ( ω ) ,(1.8)гдеA (ω) = a 2 (ω) + b 2 (ω) = F ( jω)ϕ(ω) = arctg-спектрамплитуд;b ( ω)- спектр фаз.a (ω)1.2.2. Типовые примерыПример 1.2.1. Найти спектр функции x ( t ) , заданной на интервале2 ; возможная периодич-τ/2<t<τ/2, при исходных данных: U m 0.5 ; τ.2 τ (рис.1.2.1).ность повторения TАналитическое выражение функции15x( t )τU m if2tτ20 otherwiseτ1τ2x( t )64220246tРис.1.2.1Решение. Поскольку функция представляет собой непериодическуюфункцию времени, найдем ее спектральную функцию (комплексный спектр)на основании интегрального преобразования Фурье (1.7). Оперируя безразмерными величинами, следует помнить, что спектральная функция характеризует спектральную плотность амплитуд и фаз элементарных комплексныхj .

ω. tгармонических колебаний e. Она имеет для сигнала в виде напряженияразмерность вольт × секунда. Угловая частота ω имеет размерность радиан/секунда.Так как заданная функция является четной, то ее спектр должен бытьвещественной функцией. Для представления вещественной функции достаточен один график.Интегральное преобразование Фурьеτ2U m. eF x( ω )j .

ω. tdt.τ2Интегрирование дает действительную функцию1sin . ω . τ2F x( ω ).2 . U m.ωПолученное выражение запишем в компактной форме, введя определение функции отсчетовsin ( z )Sa ( z ).zТогда, умножая числитель и знаменатель спектральной функции на τ/2, ееможно записать в виде16ω.τ.U m. τ . Sa2Эта спектральная функция при ω=0 имеет неопределенность вида 0/0.Раскроем неопределенность по правилу Лопиталяassume τ11sin .

ω . τsin . ω . τ22U m. τ , причем limlim U m. τ .1.1. .1. .ω0ω0ω τω τ222 . τ , изГрафик спектральной функции приведен на рис.1.2.2 при Tменении угловой частоты ω с шагом в долях частоты первой гармоники2. πω 1и числе гармоник R12 (в случае периодического продолжеTω 1R.ω 1 , R.ω 1.. R . ω 1 .ния), а именно при ω100F x( ω )1F x( ω )202. π2. πττ100U m. τ1020ωРис.1.2.8Амплитудный спектр определяется как модуль спектральной функции,т.е.A x( ω )F x( ω ) .Переход от действительной и знакопеременной спектральной функцииF x ( ω ) к амплитудному спектру A x ( ω ) требует введения фазового спектра.При взятии модуля спектральная функция изменяет фазу на 1800=π (приπω.τ( 2 . k ) .

, когда значения SaM4иk1 .. M ) в точках ω k< 0.2τТаким образом, фазовый спектр17φ x( ω )πω.τif Sa2< 0.0 otherwiseГрафики амплитудного и фазового спектров приведены на рис.1.2.3 и1.2.4.Амплитудный спектр функции x(t)12. π 4. πA x( ω )τ2010τ010201020ωРис.1.2.34φ x( ω )220100ωРис.1.2.4Отсюда следует спектральная функция в экспоненциальной форме(рис.1.2.5)expF x ( ω )A x ( ω ). ej . φ x( ω ).1expF x( ω )202. π2. πττ100ωРис.1.2.5U m. τ102018Пример 1.2.2. Найти спектр синусоидальной функции z(t) , заданнойна интервале -τ/2< t <τ/2, при исходных данных: амплитуда U m 0.5 ;N2 .

π . f 0 ; воздлительность τ0.2 ; при N8 частота f 0или ω 0τ2. τ(рис.1.2.6приможнаяпериодичностьповторения TTt0.4 . T , 0.4 . T.. 0.4 . T ).500Аналитическое выражение функцииU m. sin ω 0 . tz(t)τif2tτ20 otherwise1z( t )τUm20.20.100.10.2Um1tРис.1.2.6Решение. Интегральное преобразование Фурьеτ2U m. sin ω 0 . t . eF z(ω )j . ω. tdt.τ2Представим подынтегральное выражение в экспоненциальной форме. Согласно формуле Эйлера, имеемassume ω 0 complexej .

ω 0. te2. jТогда интеграл приводится к видуj . ω 0. tsin ω 0 . t .19τF z(ω )U m.2. jτ2eω ω 0 .tj .dtτU m.2. j2ej .ω ω 0 .tdt.τ22С учетом введения функции отсчетовsin ( z )Sa ( z )zпосле интегрирования получимU m. τ1.. Sa 1 . ω ω.F z(ω )jSa . ω ω 0 . τ .0 τ222Так как функция z(t) является нечетной, то ее спектр представляетсячисто мнимой функцией Fz(ω)=jMz(ω), где мнимая частьU m. τ1. Sa 1 . ω ω.M z(ω )Sa .

ω ω 0 . τ .0 τ222График мнимой части спектральной функции приведен на рис.1.2.7 приω 0R2 иωR.ω 0 , R.ω 0.. R . ω 0 .200ω0ω0U m. τM z( ω )26004002000200400600U m. τ2ωРис.1.2.7jπ.Учитывая соотношение eсать в экспоненциальной форме2j , спектральную функцию можно запиπj .2F z(ω )M z ( ω ). e .Экспоненциальный множитель здесь определяет фазовый спектрπφ1 z(ω ).220Амплитудный спектр − это модуль спектральной функции, т.е.A z(ω )F z(ω )M z(ω ) .или A z ( ω )знакопеременной мнимой части M z ( ω ) спектральнойфункции F z ( ω ) к амплитудному спектру A z ( ω ) требует введения дополнительного фазового спектра. При взятии модуля функция M z ( ω ) изменяетПереход отфазу на 1800=π в точках, когда M z ( ω ) < 0 .

Поэтому дополнительный фазовый спектрφ2 z(ω )π if M z ( ω ) < 0 .0 otherwiseПолный фазовый спектр синусоидальной функции z(t) принимает видφ z(ω )φ 1 z ( ω ) φ 2 z ( ω ).Графики амплитудного и фазового спектров приведены на рис.1.2.8 иω 01.2.9 при R2 иωR.ω 0 , R.ω 0.. R . ω 0 .200ω0ω0U m. τA z( ω )26004002000200400600ωРис.1.2.86ω0φ z( ω )3. πω042π226004002000200400600ωРис.1.2.9В конечном итоге спектральную функцию можно выразить через амплитудный и фазовый спектры, представив ее в экспоненциальной формеF z(ω )M z ( ω ) .ej .

φ z( ω ).21Эту задачу можно также решить, используя теорему о переносе спектра.В нашем случае функция z(t) есть результат умножения функции x(t) из примера 1.2.2 на синусоиду sin ω 0 . t . Последняя, согласно соотношению Эйлера, представляется с точностью до множителя 1/2j разностью двух экспонентj . ω 0. tj .

ω 0. teи e. Поэтому на основании теоремы спектр функции z(t) будетпредставлять собой разность двух спектров, а именно спектра функции x(t),перенесенного на частоту +ω0, и спектра функции x(t), перенесенного на час-тоту -ω0. Одновременно при переносе значения исходного спектра уменьшаются в два раза за счет множителя 1/2j. На основании изложенного, знаяспектр функции x(t)ω.τF x( ω ),U m. τ .

Sa2спектр функции z(t) можно записать следующим образом:1 .F z(ω )F x ω ω 0F x ω ω 0 ..2 jГрафик мнимой части спектральной функции Fz(ω), соответствующейэтой форме записи, приведен на рис.1.2.10. Он аналогичен графику на рис.1.2.7.ω0ω0U m. τ2Im F z( ω )6004002000200400600U m. τ2ωРис.1.2.10Пример 1.2.3. Построить спектры амплитуд и фаз одиночного прямоугольного видеоимпульса P ( t ) при исходных данных: амплитудаU m0.8 .

volt ; длительность τ0.1 . sec ; начальный момент времениt00 . sec ; возможная периодичность повторения T2 . τ (рис.1.2.11 приTt1.5 . T , 1.5 . T.. 2 . T ).50022Математическая модель сигналаP( t )U m if 0 t τ0 otherwisevolt1P( t )0.40.200.20.40.6tsecРис.1.2.11Решение.

Поскольку сигнал представляет собой непериодическуюфункцию времени, найдем спектральную функцию (комплексный спектр)импульса P(t) на основании интегрального преобразования Фурье (1.7). Таккак сигнал - нечетная функция, то его спектр должен быть комплексной функцией.Интегральное преобразование Фурьеτj . ω. tF p( ω )U m.

edt ;0F p( ω )j .U m. exp ( j . ω . τ )ωили при записи в форме a+jbF p( ω )sin ( ω . τ )U m.ω1Например, F p ( 1 . sec ) = 0.08Отсюда следуют:U mj .0.004jU m. cos ( ω . τ )ωU m.sec volt .sin ( ω . τ );U m.ωU m. cos ( ω . τ ) U m1) действительная часть D p ( ω )2) мнимая часть M p ( ω ).ωДанная спектральная функция при ω=0 имеет неопределенность вида0/0. Раскроем неопределенность по правилу ЛопиталяU m. cos ( ω . τ ) U msin ( ω . τ )j .lim U m..ωωω023Значение предела будет U m. τ . Таким образом, при ω=0 значение спектральU m. τ .ной функции F0 pАмплитудный спектр сигнала определяется как модуль спектральнойфункции, т.е.A p( ω )F p( ω )илиA p( ω )A p( ω )sin ( ω .