Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов (2001)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ___.___ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙРАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТС.В. КавчукСБОРНИК ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧПО ТЕОРИИ СИГНАЛОВРуководстводля практических занятийна базе Mathcad 6.0 PlusТаганрог 20012УДК 621.391.2(07)Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов: Руководство для практических занятий на базе Mathcad 6.0 Plus. Таганрог,Изд-во ТРТУ, 2001.

189с.Рассмотрены основные понятия и расчетные соотношения теориидетерминированных и случайных сигналов для практических занятийпо темам: спектральное представление сигналов, анализ прохождениясигналов через линейные устройства, аналого-цифровое преобразование и сжатие данных.Приводятся примеры решения типовых задач с использованиемпрограммного обеспечения Mathcad 6.0 Plus. Дается набор типовыхзадач с ответами.Руководство предназначено для улучшения качества изучениякурса “Теоретические основы информационно-измерительной техники”и других дисциплин, содержащих разделы теории сигналов.Табл. 2. Ил. 155.

Библиогр.: 14 назв.Рецензент С.В. Николаев, канд. техн. наук, доцент кафедры АСНИиЭТРТУ.31. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХСИГНАЛОВ1.1. Спектральные характеристики периодическихсигналов1.1.1. Основные понятия и соотношенияУсловие периодичности — x(t) = x(t+mT), где T — период, m - натуральное число, m= 1, 2, ....Любой периодический сигнал x(t) может быть представлен тригонометрическим рядом Фурьеx(t ) = a 0 +∞∑(a k cos kω1 t + b k sin kω1 t ) =a 0 +k =1∞∑ A k cos(kω1t + ϕ k )(1.1)k =1где ω 1 = 2π— угловая частота 1-й или основной гармоники; a 0 , a k и b k —Tкоэффициенты разложения, вычисляемые по формулам:1a0 =Tt н +Tt н +Tt н +Ttнtнtн∫2x(t )dt ; a k =T∫2x(t ) cos k ω1tdt ; b k =TA k = a 2k + b 2k ; ϕ k = −arctgbkak∫ x(t) sin kω tdt ;1, k = 12, ,3... ,где A k — амплитуда k-й гармоники; ϕ k — фаза k-й гармоники; a 0 —среднее значение сигнала (постоянная составляющая); k ω1 = ω k — угловая частота k-й гармоники; t н — момент времени, соответствующий началу периода.Зависимости A k и ϕ k от частоты ω k — это спектры амплитуд и фазсоответственно.В некоторых случаях более удобна комплексная форма ряда Фурьеx(t) =12∞∑ A& k e jkω t .(1.2)1k = −∞& ряда (1.2) вычисляются по формулеКоэффициенты Ak& = 2AkTt н +T∫ x ( t )etн− jkω1tdt .(1.3)4Формулы (1.2) и (1.3) — пара преобразований Фурье.

Совокупность& = A e jϕk — комплексный спектр периодического сигкоэффициентов Akk&нала x(t). Совокупность действительных величин A = Aв зависимостиkkот частоты — спектр амплитуд. Совокупность величин ϕ k в зависимости отчастоты — спектр фаз.Ряд (1.2) удобно представлять в форме∞x(t) =∑ C& ke jkω t ,&A1C& k = k =2Tгде(1.4)1k = −∞t н +T∫ x ( t )e− jkω1tdt .(1.5)tн1.1.2. Типовые примерыПример 1.1.1.

Построить спектры амплитуд и фаз сигнала x ( t ) , анали1тическое выражение которого при исходных данных V m 4 . volt . sec ,1 . sec имеет видT2 . sec и t 0x( t )V m. t t 0 if T < t < 0.Здесь:if читается как “если”;.V m t t 0 if 0 < t < Totherwise - в остальныхслучаях....V m t 3 t 0 if T < t < 2 T0 otherwiseсигналапридиапазонеизмененияT1.5 . T , 1.5 . T.. 2 . T представлен на рис.1.1.1.500Графикtvolt5x( t )42025tsecРис.1.1.146времени5Решение. Так как данный сигнал - периодическая функция времени, тодля его спектрального представления нужно использовать или тригонометрический или комплексный ряд Фурье.

Найдем спектры амплитуд и фаз на основе тригонометрического ряда Фурье.0 .. TОпределим коэффициенты разложения сигнала на интервале t2. πω 1при угловой частоте основной (первой) гармоникиTrad) и числе гармоник k1 .. 5 .( ω 1 = 3.142sec1) Постоянная составляющаяT1.a0V m. t t 0 d t, a 0 = 0 volt .T02) Косинусоидальный коэффициент ( k 1 )T2.akV m. t t 0 . cos k . ω 1 . t d t.T0Подстановка численных значений V m, T и ω 1 дает2 . sec2 .volt .1 .ak4.( t 1 .

sec ) . cos k . π .t dt..2 secsecsec0 . secВ результате интегрирования получим( cos ( 2 . k . π )4 . volt .akk . π . sin ( 2 . k . π )1)2. 2.(k π )Например, a 1 = 0 volt ; a 2 = 0 volt ; a 3 = 0 volt ; a 4 = 0 volt .Более удобна другая форма определения коэффициентов разложения.Так как2. πTω 1,и t0T2то выражая t 0 и ω 1 через T , имеемak2.TV m. tT02. π .T .cos k .t dt;2T61. .( cos ( 2 . k .

π ) k . π . sin ( 2 . k . π ) 1 ).T V m.2 22( k .π )Отсюда следует, что при k>0 коэффициенты ak равны нулю.ak3) Cинусоидальный коэффициент ( k 1 )T2.bkV m. t t 0 . sin k . ω 1 . t d t.T0Выражая t 0 и ω 1 через T , можно получитьbkbk2.T2. π .T .sin k .t dt;2TV m. tT01. .( sin ( 2 . k .

π )T V m.2Отсюда после упрощений следуетbkk . π . cos ( 2 . k . π )2 2( k .π )T. V mk. π ).при k>0.k. πАмплитуда k-й гармоникиSkakпри k 1 будет2bk2T. V m.k. πТаким образом, с учетом постоянной составляющей амплитудный спектрA( k )C 0 if k 0 .SkS( k ) if k 0Фазовый спектрφkatanТак как коэффициенты ak=0 и bk<0, то φ kbkak.atan ( ∞ ) и составит, напримердля k=1, φ 1 = 1.571 rad .Графики данных спектров в виде столбчатых диаграмм приведены нарис.1.1.2 и 1.1.3.72k 2φk 1radvoltA402460kномер гармоники246kномер гармоникиРис.1.1.2Рис.1.1.3Пример 1.1.2.

Построить спектры амплитуд и фаз периодического сигнала x ( t ) , заданного в примере 1.1.1, на основе комплексного ряда Фурье приисходных данных:14 . volt . sec ; T1 . sec .Vm2 . sec ; t 0Решение. Аналитическое выражение сигнала на интервале, равном периоду, имеет видx( t )V m. t t 0 , t0 .. T .Определим согласно (1.5) комплексные коэффициенты разложения сигнала в ряд (1.4) на интервале t0 .. T при угловой частоте основной (пер2. π1π.) и числе гармоник N5.(ω 1вой) гармоники ω 1Tsec2. π,Подстановка в (1.5) выражения для сигнала и соотношений ω 1TTt0дает комплексные коэффициенты разложения2TC( k )1.V m.

tTT .e2j .k .2. πT.tdt;0C( k )..1. . T V m ej42. j . k . π.k. π2. j . k . π2 2( k .π )При k=0 имеем неопределенность С 0ность по правилу Лопиталяj .e00jk. π.. Раскрывая неопределен-8assume T , V m2 j k π. .2j k π..k π j .ejk. π1. . T V m elim0,j2 2( k .π )k0 4можно найти C( 0 ) = 0 volt .Значение постоянной составляющей С 0 , равное C ( 0 ) , можно также. . ..

. .получить, подставляя k=0 непосредственно в формулу (1.5). Тогда постояннаясоставляющаяT1.TC0V m. td t, отсюда C 0 = 0 volt .T20Спектр периодического сигнала x ( t ) на основе комплексного ряда Фурье является двухсторонним, т.е. определяется на положительных и отрицательных частотах. Поэтому kN .. N и, например,C ( 1 ) = 1.273j volt ; C ( 0 ) = 0 volt ; C ( 1 ) = 1.273j volt .Для нахождения амплитудного и фазового спектра найдем действительную D ( k ) и мнимую M ( k ) части комплексного коэффициентаC(k)=D(k)+jM(k):1. .( sin ( 2 .

k . π ) . k . π cos ( 2 . k . π ) 1 )D( k );T V m.2 24( k .π )1. .( sin ( 2 . k . π ) k . π . cos ( 2 . k . π ) k . π )M(k).T V m.2 24( k .π )Например, при k=1 имеем D ( 1 ) = 0 volt и M ( 1 ) = 1.273 volt .Амплитудный спектр есть модуль комплексных коэффициентов, т.е.A( k )C( k ) .Так как sin ( 2 . k . π ) 0 и cos ( 2 . k . π ) 1 при любых k , то для k 1 действительная часть D ( k )0 .

volt и мнимая частьT. V mM(k).2. k. π22Тогда амплитудный спектр, определяемый как S( k )D( k )M(k) ,будет.1. T V mS( k )при k 1 .2 k .πВ конечном итоге с учетом особой точки k=0 (постоянной составляющей)амплитудный спектр9A( k )C 0 if k 0.S( k ) if k 0Фазовый спектр − это аргумент комплексных коэффициентов разложения, т.е. arg ( C ( k ) ) . Он определяется как арктангенс отношения мнимойчасти к действительной части комплексного коэффициента разложения, т.е.M(k)φ (k)atanD( k )....( k π cos ( 2 k π ) sin ( 2 . k .

π ) k . π )φ (k)atan.или( k . π . sin ( 2 . k . π ) cos ( 2 . k . π ) 1 )Например, φ ( 1 ) = 1.571, φ ( 0 ) = 0 , φ ( 1 ) = 1.571 .Найдем значение фазы φ 0 в точке k=0, раскрывая неопределенность поправилу Лопиталя( k . π . cos ( 2 . k . π ) sin ( 2 . k . π ) k . π )1.lim atanπ.......2( k π sin ( 2 k π ) cos ( 2 k π ) 1 )k01.π.Значение предела φ 02Теперь для k 1 , учитывая равенства sin ( 2 . k . π ) 0 и cos ( 2 . k . π ) 1 ,можно упростить выражение для фазового спектра.

В результате получим2. k. πφ (k)atan.01.π иИтак, с учетом знака номера гармоники k, значений atan ( ∞ )21.atan ( ∞ )π , а также особой точки k=0 выражение для фазового спек2тра принимает видπφ (k)if k 0 .2π2if k < 02. j . k . πравна 1, то выражение для комТак как при любых k функция eплексных коэффициентов разложения можно упростить10C( k )C 0 if k 0j .T. V m2.

k. π.if k 0Графики данных спектров в виде точечных диаграмм приведены нарис.1.1.4 и 1.1.5, где пунктиром показаны огибающие спектров.volt2C( k )1C( k )6420246kномер гармоникиРис.1.1.42radφ( k )φ( k )64202462kномер гармоникиРис.1.1.51.1.3. Типовые задачиЗадача 1.1.1. Разложить функцию x ( t )ческий ряд Фурье на интервале ( 0 , 1 ) .Ответ. Коэффициенты разложения a 0t, 0 t 1 в тригонометри1, ak0 и bk2Ряд Фурье (1.1) при числе гармоник k = 0,1, 2 имеет вид1.k.

π11x ф( t )11.2π2sin ( 2 . k . π . t )kk= 1.t из примера 1.1.1 в экспоЗадача 1.1.2. Разложить функцию x ( t )ненциальный ряд Фурье на интервале ( 0 , 1 ) .Ответ. Коэффициенты разложения1С0и СkС0 if k 0.2jif k 0.2 k. πЭкспоненциальный ряд Фурье (1.4) при числе гармоник m5 имеетвидx ф( t )11j .2. π21.k= mkmej . k . 2. π. tk= 11.kej . k . 2. π. t.Задача 1.1.3. Построить амплитудный спектр периодической последовательности идеальных прямоугольных импульсов z(t), график которой приведен на рис.1.1.6, на базе тригонометрического ряда Фурье.2volt1.5.