_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007 (_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007.pdf), страница 13

Если ξ ⊂ξ−aσ= N0, 1 .⊂Д о к а з а т е л ь с т в о. Убедимся, что случайная величина η имеетфункцию распределения Φ0, 1 (x) :ξ−aFη (x) = P(η < x) = P< x = P(ξ < σx + a) =σσx + a − a= Φa, σ2 (σx + a) = Φ0, 1= Φ0, 1 (x).σ= Na, σ2 , тоС л е д с т в и е 3. Если ξ ⊂P(x1 < ξ < x2 ) = Φa, σ2 (x2 ) − Φa, σ2 (x1 ) = Φ0, 1x2 − aσ− Φ0, 1x1 − aσ.Видим, что вычисление любых вероятностей для нормально распределённой случайной величины сводится к вычислению функции распределения Φ0, 1 (x). Она обладает следующими свойствами (нарисуйте их награфике плотности стандартного нормального распределения).С в о й с т в о 15. Φ0, 1 (0) = 0,5,Φ0, 1 (−x) = 1 − Φ0, 1 (x).70ГЛАВА V.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ= N0,1 , то для любого x > 0С в о й с т в о 16. Если ξ ⊂P(|ξ| < x) = 1 − 2Φ0, 1 (−x) = 2Φ0, 1 (x) − 1.Д о к а з а т е л ь с т в о. При x > 0 имеемP(|ξ| < x) = P(−x < ξ < x) = Φ0, 1 (x) − Φ0, 1 (−x) == 1 − 2Φ0, 1 (−x) = 2Φ0, 1 (x) − 1.= Na, σ2 , тоС в о й с т в о 17 (п р а в и л о т р ё х с и г м).

Если ξ ⊂P(|ξ − a| > 3σ) = 0,0027 (совсем мало).Д о к а з а т е л ь с т в о. Перейдём к противоположному событию:ξ−aP |ξ − a| > 3σ = 1 − P |ξ − a| < 3σ = 1 − P <3 .σξ−aНо величина η =имеет стандартное нормальное распределениеσи можно использовать свойство 16:1 − P(|η| < 3) = 2Φ0, 1 (−3) = 2 · 0,00135 = 0,0027.Число Φ0, 1 (−3) = 0,00135 полезно отыскать в таблице.Большого смысла в запоминании числа 0,0027 нет, но полезно помнить,что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границахот a − 3σ до a + 3σ.Г Л А В А VIПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. . . По данному соотношению между флюентами определитьсоотношение между флюксиями.И.

Ньютон. Метод флюксий и бесконечных рядов. . .§ 1. Измеримость функций от случайных величинПусть на вероятностном пространстве hΩ, F, Pi задана случайная величина ξ. Если g(ξ) — случайная величина, то полезно уметь находитьраспределение g(ξ) по распределению ξ. Эта проблема возникает, например, при моделировании случайных величин с заданным распределением. Датчик случайных чисел может генерировать лишь значения случайных величин с равномерным распределением. Если же нам необходимы значения показательно распределённой случайной величины, нужнонайти преобразование, которое из равномерного распределения сделаетпоказательное.Вопрос об измеримости g(ξ) решает следующая теорема.Т е о р е м а 24. Пусть ξ — случайная величина, а g : R → R — борелевская (измеримая по Борелю) функция, т.

е. такая, что для всякогоборелевского множества B его прообраз g −1 (B) есть снова борелевскоемножество. Тогда g(ξ) — случайная величина.Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим, что прообраз любого борелевскогомножества при отображении g(ξ) : Ω → R является событием. Возьмёмпроизвольное B ∈ B(R) и положим B1 = g −1 (B). Множество B1 борелевское, так как функция g измерима по Борелю. Но тогда (g(ξ))−1 (B) == ξ−1 (B1 ).

Это множество принадлежит F, поскольку B1 — борелевскоемножество и ξ — случайная величина.Борелевскими являются все привычные нам функции. Функцией, неизмеримой по Борелю, будет, например, индикаторная функция неизмери-72ГЛАВА VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНмого множества Витали. Вообще говоря, неизмеримые функции суть объекты экзотические, в обычной жизни не встречающиеся.§ 2. Распределения функций от случайных величинЛинейные и монотонные преобразования.

Если ξ имеет дискретное распределение, то для любой g(ξ) также имеет дискретное распределение, и таблица её распределения находится просто по определению. Поэтому мы будем рассматривать преобразования случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями.Пусть случайная величина ξ имеет функцию распределения Fξ (x)и плотность распределения fξ (x). Построим с помощью борелевской функции g : R → R случайную величину η = g(ξ). Требуется найти плотностьраспределения величины η (если таковая существует).З а м е ч а н и е . Плотность распределения случайной величиныη = g(ξ) существует далеко не при любых функциях g.

Так, еслифункция g кусочно-постоянна, то η имеет дискретное распределение.У п р а ж н е н и е . Привести пример плотности распределения fξ (x)и непрерывной функции g таких, что η = g(ξ) имеет: а) дискретное распределение; б) невырожденное дискретное распределение.Для отыскания плотности распределения мы не можем просто продифференцировать функцию распределения, поскольку не знаем, существуетли плотность. Следует доказать, что распределение абсолютно непрерывно. Но доказывая это, мы попутно найдём и плотность распределения.Действительно, у нас есть следующий путь доказательства абсолютнойнепрерывности распределения.

Если для любого x мы представим функцию распределения величины η в видеZxh(y) dy, где h(y) > 0,Fη (x) =−∞то в качестве плотности распределения величины η можно взять подынтегральную функцию: fη (x) = h(x). Другой путь — продифференцироватьфункцию распределения и убедиться, что производная является плотностью распределения, т. е. обладает свойствами (f1) и (f2).Т е о р е м а 25. Пусть ξ имеет функцию распределения Fξ (x)и плотность распределения fξ (x), и постоянная a отлична от нуля.Тогда случайная величина η = aξ + b имеет плотность распределенияx−b1fη (x) =fξ.|a|a73§ 2.

Распределения функций от случайных величинД о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала a > 0.(x−b)/aZx−bx−bFη (x) = P(aξ + b < x) = P ξ <= Fξ=afξ (t) dt.a−∞Сделаем замену переменной в последнем интеграле. Переменную t замеdyy−b. Тогда dt =, нижняяним на новую переменную y так: t =aaграница области интегрирования t = −∞ перейдёт в y = −∞, верхняяx−bперейдёт в y = x. Получимграница t =aZxFη (x) =1fa ξy−bady.−∞Функция под интегралом есть искомая плотность распределения fη (y)случайной величины η = aξ + b при a > 0.Пусть теперь a < 0.+∞Zx−bFη (x) = P(aξ + b < x) = P ξ >=fξ (t) dt.a(x−b)/aСделаем ту же замену переменной.

Но теперь граница интегрированияt = +∞ перейдёт в y = −∞, поскольку a < 0. Получим−∞ZxZ1y−by−b1Fη (x) =fξdy =fξdy.a|a|aa−∞xФункция под интегралом — плотность распределения fη (y) случайной величины η = aξ + b при a < 0.Из теоремы 25 следуют уже знакомые нам утверждения.= N0,1 , то η = σξ + a ⊂= Na,σ2 .С л е д с т в и е 4. Если ξ ⊂Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно,(x−a)21x−a1−fη (x) = fξ= √ e 2σ2 .σσσ 2π= Na,σ2 , тоС л е д с т в и е 5.

Если ξ ⊂ξ−aσ= N0,1 .⊂= U0, 1 , то aξ + b ⊂= Ub, a+b при a > 0.С л е д с т в и е 6. Если ξ ⊂= Eα , то αξ ⊂= E1 .С л е д с т в и е 7. Если ξ ⊂74ГЛАВА VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНКвантильное преобразование. Полезно уметь строить случайныевеличины с заданным распределением по равномерно распределённой случайной величине (например, по результату датчика случайных чисел).Т е о р е м а 26. Пусть функция распределения F (x) = Fξ (x) непрерывна.

Тогда случайная величина η = F (ξ) имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение.Д о к а з а т е л ь с т в о. Найдём функцию распределения случайной величины η. Заметим, что всегда 0 6 η 6 1. Предположим сначала, чтофункция F всюду возрастает. Тогда она обратима, и поэтомуесли x 6 0,0,Fη (x) = P(F (ξ) < x) = P(ξ < F −1 (x)), если x ∈ (0, 1),(15)1,если x > 1.= U0,1 .Но P(ξ < F −1 (x)) = F F −1 (x) = x, т. е. η ⊂Если функция F не является всюду возрастающей, то у неё есть участки постоянства. В этом случае просто обозначим через F −1 (x) самуюлевую точку из замкнутого множества {t | F (t) = x}. При таком понимании «обратной» функции равенства (15) остаются справедливыми вместес равенством P(ξ < F −1 (x)) = F F −1 (x) = x для любого x ∈ (0, 1).Обратим теорему 26.

Следующее утверждение верно не только длянепрерывных, но для любых функций распределения F. Обозначим черезF −1 (x) точную нижнюю грань множества тех t, для которых F (t) > x :F −1 (x) = inf{t | F (t) > x}.Для непрерывной функции F это определение «обратной функции» совпадает с введённым в доказательстве теоремы 26.= U0,1 , а F — произвольная функция расТ е о р е м а 27. Пусть η ⊂пределения. Тогда случайная величина ξ = F −1 (η ) («квантильное преобразование» над η ) имеет функцию распределения F.= U0, 1 . Верны соотношения:С л е д с т в и е 8.

Пусть η ⊂−1α= Eα ,ln(1 − η) ⊂= Ca,σ ,a + σ tg(πη − π/2) ⊂= N0,1 .Φ−10,1 (η) ⊂У п р а ж н е н и е . Доказать теорему 27 и следствие 8, а также продолжить список соотношений. Как получить случайную величину с распределением Парето? А с нормальным распределением? (Указание: так еёникто не получает).Г Л А В А VIIМНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯНе следует множить сущности сверх необходимости.Принцип «бритва Оккам໧ 1. Совместное распределениеПусть случайные величины ξ1 , . .