_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007 (_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007.pdf)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМеханико-математический факультетКафедра теории вероятностей и математической статистикиН. И. ЧерноваТеория вероятностейУчебное пособиеНовосибирск2007УДК 519.21ББК В17я73-2Ч493Чернова Н. И. Теория вероятностей: Учеб. пособие / Новосиб.

гос.ун-т. Новосибирск, 2007. 160 с.ISBN 978-5-94356-506-9Учебное пособие содержит полный курс лекций по теории вероятностей, более10 лет читаемый автором на первом курсе отделения экономики экономическогофакультета НГУ. Подбор материала является традиционным для курса теории вероятностей, излагаемого студентам экономических специальностей университетов, и включает основы теории меры, основы комбинаторики, элементарную и аналитическуютеорию вероятностей, предельные теоремы теории вероятностей.Пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандартак профессиональным образовательным программам по специальности 061800 «Математические методы в экономике».Предназначено для студентов экономических специальностей.Рецензентканд.

физ.-мат. наук А. П. КовалевскийИздание подготовлено в рамках выполнения инновационно-образовательной программы «Инновационные образовательные программы и технологии, реализуемые на принципах партнерства классического университета, науки, бизнеса и государства» национального проекта «Образование».c Новосибирский государственныйуниверситет, 2007ISBN 978-5-94356-506-9c Чернова Н. И., 2007ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Г л а в а I. Основные понятия теории вероятностей§ 1. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . .§ 2. События и операции над ними . . . . . . . . . . .§ 3. Дискретное пространство элементарных исходов .§ 4. Геометрическая вероятность . . .

. . . . . . . . . ..........................7. 9. 9. 13. 19. 24Г л а в а II. Аксиоматика теории вероятностей . . . . . . . . . . 27§ 1. Алгебра и сигма-алгебра событий . . . . . . . . . . . . . . . . 27§ 2. Мера и вероятностная мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Г л а в а III. Условная вероятность и независимость§ 1.

Условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Независимость событий . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . .§ 4. Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................3737384041Г л а в а IV. Схема Бернулли . . . . . . .

. . . . . . .§ 1. Распределение числа успехов в n испытаниях . .§ 2. Номер первого успешного испытания . . . . . . .§ 3. Независимые испытания с несколькими исходами§ 4. Теорема Пуассона для схемы Бернулли . . . . ...............................4343444546Г л а в а V. Случайные величины и их распределения§ 1. Случайные величины . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .§ 2. Распределения случайных величин . . . . . . . . . . .§ 3. Функция распределения . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Примеры дискретных распределений . . . . . . . . . .....................4949525657.....4ОГЛАВЛЕНИЕ§ 5.

Примеры абсолютно непрерывных распределений . . . . . . 59§ 6. Свойства функций распределения . . . . . . . . . . . . . . . 64§ 7. Свойства нормального распределения . . . . . . . . . . . . . 69Г л а в а VI. Преобразования случайных величин . . . . . . . . 71§ 1. Измеримость функций от случайных величин . . . .

. . . . . 71§ 2. Распределения функций от случайных величин . . . . . . . . 72Г л а в а VII. Многомерные распределения . .§ 1. Совместное распределение . . . . . . . . . .§ 2. Типы многомерных распределений . . . . .§ 3. Примеры многомерных распределений . . .§ 4. Роль совместного распределения . .

. . . .§ 5. Независимость случайных величин . . . . .§ 6. Функции от двух случайных величин . . . .§ 7. Примеры использования формулы свёртки................................................................................7575767980818385Г л а в а VIII. Числовые характеристики распределений . . .§ 1. Математическое ожидание случайной величины . . . . . . .§ 2.

Свойства математического ожидания . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Дисперсия и моменты старших порядков . . . . . . . . . . . .§ 4. Свойства дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5. Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 6. Другие числовые характеристики распределений . . . . . . .898990939596100Г л а в а IX. Числовые характеристики зависимости . . . . . . 102§ 1. Ковариация двух случайных величин . . . . . . . . . . . . . 102§ 2. Коэффициент корреляции . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 104Г л а в а X. Сходимость последовательностей случайныхличин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1. Сходимости «почти наверное» и «по вероятности» . . .§ 2. Неравенства Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Законы больших чисел . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .ве. . .. . .. . .. . .111111115117Г л а в а XI. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . 1215ОГЛАВЛЕНИЕ§ 1. Как быстро среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Слабая сходимость . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Предельная теорема Муавра — Лапласа . . . . . . . . . . . .Г л а в а XII. Характеристические функции . . . . .§ 1. Определение и примеры . . . . . . . . . . . . . .

.§ 2. Свойства характеристических функций . . . . . .§ 3. Доказательство ЗБЧ Хинчина . . . . . . . . . . . .§ 4. Доказательство центральной предельной теоремы..............................121122126127129129131134135К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137П р и л о ж е н и е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151П р е д м е т н ы й у к а з а т е л ь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155С п и с о к л и т е р а т у р ы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159— Знаете что, милый Арамис? — сказал д’Артаньян,ненавидевший стихи почти так же сильно, каклатынь. — Добавьте к достоинству трудностидостоинство краткости, и вы сможете быть увереныв том, что ваша поэма будет иметь никак не менеедвух достоинств.А. Дюма. Три мушкетёраПРЕДИСЛОВИЕУчебное пособие содержит курс лекций по теории вероятностей, читаемый автором студентам 1-го курса отделения экономики экономическогофакультета НГУ. Курс теории вероятностей опирается на курсы математического анализа и алгебры и служит основой для следующего за нимкурса математической статистики, которая, в свою очередь, является основой для одной из главных дисциплин специализации экономистов-математиков — эконометрики.Задача курса — обучить студентов математическим методам исследования вероятностных математических моделей, предоставить им необходимый математический аппарат, привить вероятностный взгляд на мир.Курс разбит на 12 глав.

Первые две главы знакомят читателя с основными понятиями и аксиомами теории вероятностей. Третья глава посвящена условной вероятности и её следствиям. Здесь же обсуждается понятиенезависимости событий. Схема Бернулли рассмотрена в четвёртой главе.Здесь же встречаются первые предельные теоремы.Пятая глава знакомит читателя с понятием случайной величины и еёраспределения. Здесь же дан перечень стандартных семейств распределений и изучаются их свойства.

Глава шестая посвящена изучению преобразований случайных величин.В седьмой главе рассмотрены совместные распределения случайныхвеличин. Особый акцент сделан на влиянии совместного распределенияна распределения функций от случайных векторов. Независимость случайных величин вводится как частный случай совместного распределения, позволяющий обойтись знанием маргинальных распределений.

Здесьже подробно рассмотрено суммирование независимых случайных величин,формула свёртки и следствия из неё.Глава восьмая посвящена математическим ожиданиям, дисперсиями другим важным числовым характеристикам распределений. Математические ожидания вводятся отдельно для дискретного и для абсолют-8ПРЕДИСЛОВИЕно непрерывного распределения. Коэффициент корреляции обсуждаетсяв главе девятой.Глава десятая знакомит читателя с видами сходимостей последовательностей случайных величин и законами больших чисел. В одиннадцатойглаве излагаются свойства слабой сходимости и центральная предельнаятеорема для независимых и одинаково распределённых слагаемых.

В последней главе рассмотрены характеристические функции и их применениев теории вероятностей.В конце курса приведён список контрольных вопросов. Вопросы подобраны так, чтобы акцентировать внимание читателя на важных моментах,которые могут остаться незамеченными при первом чтении. Если читателю не удаётся дать ответ на какой-либо вопрос, ему стоит повторно разобрать теоретический материал.Приложение содержит таблицы с перечнем основных характеристикдискретных и абсолютно непрерывных распределений, таблицу значенийфункции распределения стандартного нормального закона.В конце пособия приведён подробный предметный указатель. В спискелитературы перечислены учебники, которые можно использовать в дополнение к курсу, и сборники задач для практических занятий.Нумерация параграфов в каждой главе отдельная.

Формулы, примеры,утверждения и т. п. имеют сквозную нумерацию. При ссылке на объект издругой главы для удобства читателя указан номер страницы, на которойсодержится объект. При ссылке на объект из той же главы приводитсятолько номер формулы, примера, утверждения. Окончание доказательствотмечено значком .Автор искренне признателен своим коллегам по кафедре теории вероятностей и математической статистики ММФ НГУ за то влияние, котороеони оказали на содержание данного курса и на методические воззренияавтора.ГЛАВА IОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.