_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007 (1185320), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тем не менее ни для одного элементарного исхода ω значения ξ(ω) и η(ω) не совпадают. Иными словами, ξи η одинаково распределены, но не одинаковы как функции.П р и м е р 39. Точка наудачу бросается на отрезок [0, 1]. В этом случае Ω есть отрезок [0, 1] с σ -алгеброй борелевских подмножеств [0, 1]§ 2. Распределения случайных величин53и мерой Лебега в качестве вероятности. Читатель убедится, что две совершенно разные функции: ξ(ω) = ω и η(ω) = 1 − ω (расстояния до упавшейточки от левого и от правого концов отрезка соответственно) обладаютодинаковыми вероятностями принимать значения внутри любых борелевских множеств B.
Вероятности эти равны мере Лебега пересечения множеств B и [0, 1]. Эти случайные величины одинаково распределены, ноне одинаковы: их значения совпадают лишь при одном элементарном исходе ω = 0,5 (нарисовать графики функций ξ(ω) и η(ω)).П р и м е р 40. На том же отрезке Ω = [0, 1] построим две функции:ξ(ω) = 0 при всех ω; η(ω) = 0 при всех ω, кроме ω = 0,5, а в точкеω = 0,5 положим η(ω) = −17.Поскольку мера Лебега точки (она же — вероятность) равна нулю, распределения величин ξ и η одинаковы. Теперь ξ(ω) и η(ω) снова не совпадают как функции, но отличаются их значения лишь на множестве нулевой вероятности — только в точке ω = 0,5. В этом случае говорят, чтоξ и η совпадают «почти наверное»: P(ξ = η) = 1.Опишем различные типы распределений случайных величин.
Вся вероятностная масса может быть сосредоточена в нескольких точках прямой,а может быть «размазана» по некоторому интервалу или по всей прямой.В зависимости от типа множества, на котором сосредоточена вся единичная вероятностная масса, распределения делят на дискретные, абсолютнонепрерывные, сингулярные и их смеси.О п р е д е л е н и е 23. Случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если существует конечный или счётный набор чиселa1 , a2 , .
. . такой, чтоP(ξ = ai ) > 0 для всех i,∞XP(ξ = ai ) = 1.i=1Итак, случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если онапринимает не более чем счётное число значений. Значения эти иначе называют атомами: ξ имеет атом в точке x, если P(ξ = x) > 0.Если случайная величина ξ имеет дискретное распределение, то длялюбого B ⊆ RXP(ξ ∈ B) =P(ξ = ai ).ai ∈BДискретное распределение удобно задавать следующей таблицей, в которой pi = P(ξ = ai ) :54ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯξPa1p1a2p2a3p3......О п р е д е л е н и е 24.
Cлучайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция fξ (x)такая, что для любого борелевского множества B имеет место равенство:ZP(ξ ∈ B) = fξ (x) dx.BФункцию fξ (x) называют плотностью распределения величины ξ.З а м е ч а н и е . Интеграл выше есть интеграл Лебега, а не Римана.Вполне достаточно, если читатель, не знакомый с интегралом Лебега,будет представлять его себе просто как площадь под графиком подынтегральной функции над множеством B.
При этом площадь над множеством B, имеющим нулевую меру Лебега, равна нулю. Заметим, чтолюбая функция, отличающаяся от функции fξ (x) лишь в конечном илисчётном числе точек (или на множестве нулевой меры Лебега), будет являться плотностью того же распределения, так как интеграл не изменитсяот изменения подынтегральной функции на множестве меры нуль.Т е о р е м а 19. Плотность распределения обладает свойствами:∞Zfξ (t) dt = 1.(f1) fξ (x) > 0 для любого x ;(f2)−∞Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойство (f1) выполнено по определению плотности, свойство (f2) также следует из определения 24. Действительно, еслив качестве борелевского множества B взять всю числовую прямую, получим:ZP(ξ ∈ R) = 1 = fξ (x) dx.RЭти два свойства полностью характеризуют класс плотностей.Т е о р е м а 20.
Если функция f обладает свойствами (f1) и (f2),то существует вероятностное пространство и случайная величина ξна нём, для которой f является плотностью распределения.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ω — область, заключенная между осьюабсцисс и графиком функции f. Площадь области Ω равна единицепо свойству (f2).
Возьмём в качестве F множество борелевских подмножеств Ω, а в качестве вероятности P — меру Лебега (площадь) на множествах из F. И пусть случайная величина ξ — абсцисса точки, наудачу55§ 2. Распределения случайных величинброшенной в эту область. Тогда для любого B ∈ B(R) выполненоZплощадь DB= f (x) dx.P(ξ ∈ B) = P(точка попала в DB ) =площадь Ω(11)Bf (x)DBBxРис. 6.
Область DB = {ξ ∈ B}Здесь область DB есть криволинейная трапеция с основанием B подграфиком плотности (рис. 6). По определению, равенство (11) означает,что функция f является плотностью распределения величины ξ.Отметим полезное свойство абсолютно непрерывных распределений.С в о й с т в о 7. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то P(ξ = x) = 0 для любого x ∈ R.Д о к а з а т е л ь с т в о сразу следует из определения 24 и следующегоза ним замечания: интеграл по области интегрирования, состоящей из одной точки, равен нулю.Можно выделить ещё один особый класс распределений, сосредоточенных, в отличие от абсолютно непрерывных распределений, на множественулевой меры Лебега, но не имеющих, в отличие от дискретных, атома нив одной точке этого множества.О п р е д е л е н и е 25. Случайная величина ξ имеет сингулярное распределение, если существует борелевское множество B с нулевой лебеговой мерой λ(B) = 0 такое, что P(ξ ∈ B) = 1, но при этом P(ξ = x) = 0для любой точки x ∈ B.Можно отметить следующее свойство сингулярных распределений.Множество B, на котором сосредоточено всё распределение, не можетсостоять из конечного или счётного числаP точек.
Действительно, если Bконечно или счётно, то P(ξ ∈ B) =P(ξ = xi ), где суммирование ведётся по всем xi ∈ B. Последняя сумма равна нулю как сумма счётногочисла нулей, что противоречит предположению P(ξ ∈ B) = 1.Таким образом, любое сингулярное распределение сосредоточено нанесчётном множестве с нулевой мерой Лебега. Примером такого множе-56ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯства может служить канторовское совершенное множество, а примеромтакого распределения — лестница Кантора9 (выяснить, что это).Наконец, распределение может быть выпуклой линейной комбинациейдискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного распределений.О п р е д е л е н и е 26.
Случайная величина ξ имеет смешанное распределение, если найдутся такие случайные величины ξ1 , ξ2 и ξ3 — с дискретным, абсолютно непрерывным и сингулярным распределениями соответственно (или такие три распределения), и числа p1 , p2 , p3 ∈ [0, 1),p1 + p2 + p3 = 1, что для любого B ∈ B(R) имеет место равенствоP(ξ ∈ B) = p1 P(ξ1 ∈ B) + p2 P(ξ2 ∈ B) + p3 P(ξ3 ∈ B).По заданным на одном вероятностном пространстве случайным величинам ξ1 , ξ2 , ξ3 и числам p1 + p2 + p3 = 1 можно построить случайнуювеличину со смешанным распределением так: пусть ϕ — случайная величина на том же вероятностном пространстве с дискретным распределениемP(ϕ = k) = pk для k = 1, 2, 3, и пусть при любом k и любом B ∈ B(R)события {ϕ = k} и {ξk ∈ B} независимы.Построим случайную величину ξ так: если ϕ(ω) = k, то положимξ(ω) = ξk (ω).
Её распределение найдём по формуле полной вероятности:P(ξ ∈ B) = P(ξ1 ∈ B, ϕ = 1) + P(ξ2 ∈ B, ϕ = 2) + P(ξ3 ∈ B, ϕ = 3).В силу независимости событий под знаком каждой из вероятностей,P(ξ ∈ B) = p1 P(ξ1 ∈ B) + p2 P(ξ2 ∈ B) + p3 P(ξ3 ∈ B).Никаких других видов распределений, кроме перечисленных выше, не существует (доказано Лебегом).§ 3. Функция распределенияОписание распределения набором вероятностей P(ξ ∈ B) не оченьудобно: слишком много существует борелевских множеств. Мы описалидискретные распределения таблицей распределения, абсолютно непрерывные — плотностью распределения. Попробуем поискать какой-нибудь универсальный способ описать любое возможное распределение.Можно поставить вопрос иначе: распределение есть набор вероятностей попадания в любые борелевские множества на прямой. Нельзя лиобойтись знанием вероятностей попадания в какой-нибудь меньший набормножеств на прямой? Борелевская σ -алгебра B(R) порождается интервалами (равно как и лучами (−∞, x) ), поэтому можно ограничиться только9Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3.03.1845, Russia — 6.01.1918, Germany).§ 4.
Примеры дискретных распределений57вероятностями попадания в такие лучи для всех x ∈ R. А уже с их помощью можно будет определить и вероятность попасть в любое борелевскоемножество.З а м е ч а н и е . Можно с таким же успехом ограничиться набором вероятностей попадания в интервалы (−∞, x], или в (x, ∞), или в [x, ∞).О п р е д е л е н и е 27. Функцией распределения случайной величины ξназывается функция Fξ : R → [0, 1], при каждом x ∈ R равная вероятности случайной величине ξ принимать значения, меньшие x :Fξ (x) = P(ξ < x) = P{ω : ξ(ω) < x}.Перечислим основные дискретные и абсолютно непрерывные распределения и найдём их функции распределения.§ 4. Примеры дискретных распределенийВырожденное распределение.
Говорят, что случайная величина ξ= Ic , еслиимеет вырожденное распределение в точке c ∈ R, и пишут: ξ ⊂ξ принимает единственное значение c с вероятностью 1, т. е. P(ξ = c) = 1.Функция распределения ξ имеет вид(0, если x 6 c,Fξ (x) = P(ξ < x) = P(c < x) =1, если x > c.Распределение Бернулли. Говорят, что случайная величина ξ име= Bp , если ξет распределение Бернулли с параметром p, и пишут: ξ ⊂принимает значения 1 и 0 с вероятностями p и 1 − p соответственно.Случайная величина ξ с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха p : ни одного успехаили один успех.Функция распределения случайной величины ξ такова:если x 6 0,0,Fξ (x) = P(ξ < x) = 1 − p, если 0 < x 6 1,1,если x > 1.Биномиальное распределение.
Говорят, что случайная величина ξимеет биномиальное распределение с параметрами n ∈ N и p ∈ (0, 1),= Bn,p , если ξ принимает значения k = 0, 1, . . . , n с веи пишут: ξ ⊂роятностями P(ξ = k) = Cnk pk (1 − p)n−k . Случайная величина с такимраспределением имеет смысл числа успехов в n испытаниях схемы Бер-58ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯнулли с вероятностью успеха p.
Таблица распределения ξ имеет видξP01(1 − p)n np(1 − p)n−1......kCnk pk (1 − p)n−k......n.pnНапример, количество выпавших шестёрок при двадцати подбрасыванияхправильной игральной кости имеет биномиальное распределение B20, 1 .6Распределение Бернулли совпадает с распределением B1, p .Геометрическое распределение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
