_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007 (1185320), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

. , ξn заданы на одном вероятностномпространстве hΩ, F, Pi.О п р е д е л е н и е 28. ФункцияFξ1 , ..., ξn (x1 , . . . , xn ) = P(ξ1 < x1 , . . . , ξn < xn )называется функцией распределения вектора (ξ1 , . . . , ξn ) или функциейсовместного распределения случайных величин ξ1 , . .

. , ξn .Перечислим свойства функции совместного распределения. Для простоты обозначений ограничимся вектором (ξ1 , ξ2 ) из двух величин.(F0) Для любых x1 , x2 верно неравенство: 0 6 Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) 6 1.(F1) Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) не убывает по каждой координате вектора (x1 , x2 ).(F2) Для любого i = 1, 2 существует lim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = 0. Сущеxi →−∞ствует двойной пределlimlim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = 1.x1 →+∞ x2 →+∞(F3) Функция Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) по каждой координате вектора (x1 , x2 )непрерывна слева.(F4) Чтобы по функции совместного распределения восстановитьфункции распределения ξ1 и ξ2 в отдельности, следует устремить мешающую переменную к +∞ :lim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = Fξ2 (x2 ),x1 →+∞lim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = Fξ1 (x1 ).x2 →+∞(16)Доказательство всех этих свойств совершенно аналогично одномерному случаю.

Но теперь свойств (F0)—(F3) не хватает для описания класса функций совместного распределения. Иначе говоря, выполнение этих76ГЛАВА VII. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯсвойств для некоторой функции F : R2 → R не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.У п р а ж н е н и е . Доказать, что функция(0, если x1 6 0 или x2 6 0 или x1 + x2 6 1,F (x1 , x2 ) =1, если одновременно x1 > 0, x2 > 0, x1 + x2 > 1удовлетворяет всем свойствам (F0)—(F3), но не является функцией распределения никакого вектора (ξ1 , ξ2 ) хотя бы потому, что, найдись такойвектор, найдётся и прямоугольник [a1 , b1 ) × [a2 , b2 ), «вероятность» попасть в который (вычисленная с помощью этой якобы «функции распределения») отрицательна: P(a1 6 ξ1 < b1 , a2 6 ξ2 < b2 ) < 0.Легко убедиться (убедиться, что легко), что вероятность вектору(ξ1 , ξ2 ) попасть в прямоугольник [a1 , b1 ) × [a2 , b2 ) по функции распределения этого вектора вычисляется так: P(a1 6 ξ1 < b1 , a2 6 ξ2 < b2 ) == F (b1 , b2 ) + F (a1 , a2 ) − F (a1 , b2 ) − F (b1 , a2 ).Дополнительно к свойствам (F0)—(F3) от функции F требуют неотрицательности этого выражения (при любых a1 < b1 , a2 < b2 ).§ 2.

Типы многомерных распределенийОграничимся рассмотрением двух типичных случаев: когдас о в м е с т н о е распределение координат случайного вектора (ξ1 , ξ2 )либо дискретно, либо абсолютно непрерывно. Заметим, что сингулярныесовместные распределения тоже не являются редкостью, в отличие от одномерного случая: стоит бросить точку наудачу на отрезок на плоскости,и мы получим сингулярное совместное распределение (доказать).О п р е д е л е н и е 29. Случайные величины ξ1 , ξ2 имеют дискретноесовместное распределение, если существует конечный или счётный наборпар чисел {ai , bj } такой, что∞ X∞XP(ξ1 = ai , ξ2 = bj ) = 1.i=1 j=1Таблицу, на пересечении i -й строки и j -го столбца которой стоит вероятность P(ξ1 = ai , ξ2 = bj ), называют таблицей совместного распределенияслучайных величин ξ1 и ξ2 .Таблицы распределения каждой из случайных величин ξ1 , ξ2 в отдельности (таблицы частных, или маргинальных распределений) восстанавли-77§ 2.

Типы многомерных распределенийваются по таблице совместного распределения с помощью формулP(ξ1 = ai ) =∞XP(ξ1 = ai , ξ2 = bj ),P(ξ2 = bj ) =j=1∞XP(ξ1 = ai , ξ2 = bj ).i=1Так, первое равенство следует из того, что набор {ξ2 = b1 }, {ξ2 = b2 }, . . .есть полная группа событий, и поэтому событие {ξ1 = ai } раскладываетсяв объединение попарно несовместных событий:{ξ1 = ai } =∞[{ξ1 = ai , ξ2 = bj }.j=1О п р е д е л е н и е 30. Случайные величины ξ1 , ξ2 имеют абсолютнонепрерывное совместное распределение, если существует неотрицательнаяфункция fξ1 , ξ2 (x, y) такая, что для любого множества B ∈ B(R2 ) имеетместо равенствоZZP((ξ1 , ξ2 ) ∈ B) =fξ1 , ξ2 (x, y) dx dy.BЕсли такая функция fξ1 , ξ2 (x, y) существует, она называется плотностьюсовместного распределения случайных величин ξ1 , ξ2 .f (x, y)yxBРис.

12. Плотность в R2Достаточно, если двойной интеграл по множеству B читатель будетпонимать как объём области под графиком функции fξ1 , ξ2 (x, y) над множеством B в плоскости переменных (x, y), как показано на рис. 12.Плотность совместного распределения обладает такими же свойствами,как и плотность распределения одной случайной величины:(f1) неотрицательность: fξ1 , ξ2 (x, y) > 0 для любых x, y ∈ R;78ГЛАВА VII. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯZZfξ1 , ξ2 (x, y) dx dy = 1.(f2) нормированность:R2Справедливо и обратное: любая функция, обладающая этими свойствами, является плотностью некоторого совместного распределения.

Доказательство этого факта ничем не отличается от одномерного случая.Если случайные величины ξ1 , ξ2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, то для любых x1 , x2 имеет место равенствоxxZ1Z2Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = P(ξ1 < x1 , ξ2 < x2 ) =fξ1 , ξ2 (x, y) dy  dx.−∞−∞По функции совместного распределения его плотность находится каксмешанная частная производная: fξ1 , ξ2 (x, y) =∂2F(x, y) для по∂x∂y ξ1 , ξ2чти всех (x, y).Из существования плотностей ξ1 и ξ2 не следует абсолютная непрерывность совместного распределения этих случайных величин. Например,вектор (ξ, ξ) принимает значения только на диагонали в R2 и уже поэтому не имеет плотности распределения (его распределение сингулярно).Обратное же свойство, как показывает следующая теорема, всегда верно: если совместное распределение абсолютно непрерывно, то и частныераспределения тоже таковы.Т е о р е м а 28.

Если случайные величины ξ1 и ξ2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение с плотностью f (x, y), то ξ1и ξ2 в отдельности также имеют абсолютно непрерывное распределение с плотностями:∞∞ZZfξ1 (x) =f (x, y) dy; fξ2 (y) =f (x, y) dx.−∞−∞Для n > 2 плотности случайных величин ξ1 , . . . , ξn по плотностиих совместного распределения f (x1 , . . . , xn ) находятся интегрированиемфункции f по всем «лишним» координатам.Д о к а з а т е л ь с т в о. Например, в силу равенств (16), ∞xZ1xZ1ZFξ1 (x1 ) = lim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = f (x, y) dydx = fξ1 (x) dx.x2 →+∞−∞ −∞−∞79§ 3. Примеры многомерных распределенийАналогично устанавливается и справедливость второго равенства.§ 3.

Примеры многомерных распределенийПриведём два наиболее употребительных примера абсолютно непрерывных многомерных распределений.Равномерное распределение. Пусть S ⊂ Rn — борелевское множество с конечной лебеговой мерой λ(S). Говорят, что вектор (ξ1 , . . . , ξn )имеет равномерное распределение в области S, если плотность совместного распределения fξ1 , ..., ξn (x1 , . . . , xn ) постоянна в области S и равнанулю вне этой области:( 1, если (x1 , . . . , xn ) ∈ S,(17)fξ1 , ...,ξn (x1 , . . .

, xn ) = λ(S)0,если (x1 , . . . , xn ) 6∈ S.Убедимся, что эта функция является плотностью распределения:ZZ11fξ1 , ..., ξn (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn =dx1 . . . dxn =λ(S) = 1.λ(S)Rnλ(S)SКак и в одномерном случае, вектор (ξ1 , . . . , ξn ) с равномерным распределением в области S есть просто вектор координат точки, брошеннойнаудачу в область S.Многомерное нормальное распределение. Пусть Σ > 0 — положительно определённая симметричная матрица (n × n), матрица Σ−1 —обратная к Σ, и ~a ∈ Rn — n -мерный вектор-столбец.

Транспонированныйвектор мы будем обозначать так: ~aT = (a1 , . . . , an ).Говорят, что вектор (ξ1 , . . . , ξn ) имеет многомерное нормальное распределение N~a, Σ с вектором средних ~a и матрицей ковариаций Σ, еслиплотность совместного распределения fξ1 , ..., ξn (x1 , . . . , xn ) равнаno11T−1f~ξ (~x) = √x − ~a) · Σ · (~x − ~a) .√ n exp − (~detΣ2π2Мы не будем проверять, что эта функция является плотностью совместного распределения, поскольку для этого требуется умение заменять переменные в многомерном интеграле. Выражение (~x −~a)T Σ−1 (~x −~a) в показателе экспоненты является квадратичной формой от переменных (xi − ai ).Действительно, для матрицы B = Σ−1 с элементами bij имеемT(~x − ~a) B(~x − ~a) =n XnXi=1 j=1bij (xi − ai )(xj − aj ).80ГЛАВА VII.

МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯПодробно с многомерным нормальным распределением мы познакомимся в курсе математической статистики, и там же выясним, что означаютслова «с вектором средних ~a и матрицей ковариаций Σ ».В частном случае, когда Σ — диагональная матрица с элементами2σ1 , . . . , σ2n на диагонали, совместная плотность превращается в произведение плотностей нормальных случайных величин:()nX111f~ξ (~x) =(xi − ai )2 =√ n exp −2σ1 . . . σn=1√σ1 2π2π−e(x1 −a)22σ212· ... ·i=11√σn 2πσi−e(xn −a)22σ2n .Скоро мы увидим, что это равенство означает независимость случайныхвеличин ξ1 , . . .

, ξn .§ 4. Роль совместного распределенияЕсли нам известно совместное распределение двух или нескольких случайных величин, становится возможным отыскать распределение суммы,разности, произведения, частного, иных функций от этих случайных величин. Заметим (но не будем доказывать), что применение к набору случайных величин многих привычных нам функций не выводит нас из классаслучайных величин. Интересующийся читатель может попробовать доказать, например, что сумма двух случайных величин есть снова случайнаявеличина.Следующие два примера показывают, что знания только частных распределений двух случайных величин недостаточно для отыскания распределения, например, суммы этих величин. Для этого необходимо знать ихсовместное распределение. Распределение суммы (и любой иной функции)не определяется, вообще говоря, распределениями слагаемых: при однихи тех же распределениях слагаемых распределение суммы может бытьразным в зависимости от совместного распределения слагаемых.П р и м е р 41.

Рассмотрим две случайные величины ξ и η с одними тем же распределением Бернулли с параметром p = 1/2 и следующейтаблицей совместного распределения: для 0 6 r 6 1/2 положимP(ξ = 0, η = 0) = r,P(ξ = 1, η = 0) =1− r,2P(ξ = 0, η = 1) =1− r,2P(ξ = 1, η = 1) = r,§ 5.

Независимость случайных величин81Если r = 0, то P(ξ + η = 1) = P(ξ = 0, η = 1) + P(ξ = 1, η = 0) = 1,т. е. распределение ξ + η вырождено в точке 1.Если r = 1/2, то P(ξ + η = 0) = P(ξ + η = 2) = 1/2, т. е. ξ + ηимеет невырожденное дискретное распределение, принимая значения 0и 2 с равными вероятностями.Взяв r = 1/4, получим P(ξ + η = 0) = 1/4, P(ξ + η = 2) = 1/4 и= B 1.P(ξ + η = 1) = 1/2, т. е. ξ + η ⊂2, 2Если взять r = 1/3, получим P(ξ + η = 0) = 1/3, P(ξ + η = 1) = 1/3и P(ξ + η = 2) = 1/3, т. е. ξ + η принимает значения 1, 2 и 3 с равнымивероятностями (это не биномиальное распределение).Ещё раз отметим, что частные распределения ξ и η от r не зависят.Распределение суммы меняется вместе с совместным распределением ξи η при неизменных частных распределениях величин ξ и η.П р и м е р 42.

Характеристики

Список файлов книги