_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007 (1185320), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение.Возьмём η = −ξ. Тогда η тоже имеет стандартное нормальное распределение, а сумма ξ + η = 0 имеет вырожденное распределение.Возьмём теперь η = ξ. Тогда сумма ξ + η = 2ξ имеет уже не вырожденное, а нормальное распределение N0, 4 (проверить).Распределение функции нескольких случайных величин может определяться их частными распределениями только если совместное распределение этих случайных величин определяется их частными распределениями.Так бывает для независимых случайных величин.§ 5. Независимость случайных величинО п р е д е л е н и е 31. Случайные величины ξ1 , . . .

, ξn называют независимыми (в совокупности), если для любого набора борелевских множеств B1 , . . . , Bn ∈ B(R) имеет место равенствоP(ξ1 ∈ B1 , . . . , ξn ∈ Bn ) = P(ξ1 ∈ B1 ) · . . . · P(ξn ∈ Bn ).О п р е д е л е н и е 32. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn называют попарно независимыми, если независимы любые две из них.Оба этих определения годятся не только для конечного набора случайных величин, но и для их бесконечной последовательности.З а м е ч а н и е . Независимость случайных величин в совокупности влечёт попарную независимость.

Достаточно в определении независимости вкачестве «лишних» борелевских множеств взять R.82ГЛАВА VII. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯП р и м е р 43. Вспомним пример Бернштейна 31. Свяжем с событиямиA, B и C случайные величины ξ1 , ξ2 и ξ3 — индикаторы этих событий.Например, ξ1 = 1, если A произошло, и ξ1 = 0, если A не произошло.Случайные величины ξ1 , ξ2 и ξ3 независимы попарно (проверить), нозависимы в совокупности:14P(ξ1 = 1, ξ2 = 1, ξ3 = 1) = P(A ∩ B ∩ C) = ,18P(ξ1 = 1) P(ξ2 = 1) P(ξ3 = 1) = P(A) P(B) P(C) = .Попарная независимость случайных величин встречается редко. Поэтому всюду, где мы будем употреблять термин «независимы», будет подразумеваться независимость в совокупности.Определение независимости можно сформулировать в терминах функций распределения.О п р е д е л е н и е 33.

Случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы(в совокупности), если для любых x1 , . . . , xn имеет место равенствоFξ1 , ..., ξn (x1 , . . . , xn ) = Fξ1 (x1 ) · . . . · Fξn (xn ).Описать независимость случайных величин с дискретным распределением можно с помощью таблицы их совместного распределения.О п р е д е л е н и е 34. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn с дискретнымраспределением независимы (в совокупности), если для любых чисел a1 , . . .

, an имеет место равенствоP(ξ1 = a1 , . . . , ξn = an ) = P(ξ1 = a1 ) · . . . · P(ξn = an ).У п р а ж н е н и е . Доказать, что из независимости в смысле определения 31 следует независимость в смысле определения 33.У п р а ж н е н и е . Доказать, что для случайных величин с дискретнымраспределением определения 31 и 34 эквивалентны.Для случайных величин с абсолютно непрерывными распределениямисправедливо утверждение.Т е о р е м а 29.

Случайные величины ξ1 , . . . , ξn с абсолютно непрерывными распределениями независимы (в совокупности) тогда и только тогда, когда плотность их совместного распределения существуети равна произведению плотностей, т. е. для любых x1 , . . . , xn имеетместо равенство: fξ1 ,..., ξn (x1 , . . . , xn ) = fξ1 (x1 ) · . . . · fξn (xn ).З а м е ч а н и е . Плотность распределения определяется с точностью доеё значений на множестве нулевой лебеговой меры (распределение не меняется от изменения плотности на множестве нулевой меры). Поэтому ра-§ 6. Функции от двух случайных величин83венство плотности совместного распределения и произведения плотностейможно понимать тоже как равенство «почти всюду».Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы, т. е. для любых x1 , . . . , xnFξ1 ,..., ξn (x1 , . . . , xn ) = Fξ1 (x1 ) · . . . · Fξn (xn ).Но произведение функций распределения записывается произведением интегралов, или одним n -мерным интегралом:xZ1Fξ1 (x1 ) · . . .

· Fξn (xn ) =xZnfξ1 (s1 ) ds1 · . . . ·−∞Zx1=−∞xZn...−∞fξn (sn ) dsn =fξ1 (s1 ) . . . fξn (sn ) ds1 . . . dsn = Fξ1 ,..., ξn (x1 , . . . , xn ).−∞Мы представили функцию совместного распределения в виде интегралаот плотности совместного распределения, которая оказалась равной произведению плотностей частных распределений.Пусть теперь известно, что плотность совместного распределения существует и распадается в произведение плотностей. В таком случае функциясовместного распределения распадается в произведение функций распределения:xZx1ZnFξ1 ,..., ξn (x1 , . . . , xn ) = . . .fξ1 (s1 ) .

. . fξn (sn ) ds1 . . . dsn =−∞−∞= Fξ1 (x1 ) · . . . · Fξn (xn ),т. е. случайные величины независимы согласно определению 33.§ 6. Функции от двух случайных величинПусть ξ1 и ξ2 — случайные величины с плотностью совместного распределения fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ), и задана борелевская функция g : R2 → R.Требуется найти функцию (а если существует, то и плотность) распределения случайной величины η = g(ξ1 , ξ2 ).Пользуясь тем, что вероятность случайному вектору попасть в некоторую область можно вычислить как объем под графиком плотности распределения вектора над этой областью, сформулируем утверждение.84ГЛАВА VII.

МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯТ е о р е м а 30. Пусть x ∈ R, и область Dx ⊆ R2 состоит из точек(u, v) таких, что g(u, v) < x. Тогда случайная величина η = g(ξ1 , ξ2 )имеет функцию распределенияZZfξ1 , ξ2 (u, v) du dv.Fη (x) = P g(ξ1 , ξ2 ) < x = P (ξ1 , ξ2 ) ∈ Dx =DxДалее в этой главе предполагается, что случайные величины ξ1 и ξ2независимы, т.

е. fξ1 , ξ2 (u, v) ≡ fξ1 (u) fξ2 (v). В этом случае распределениевеличины g(ξ1 , ξ2 ) полностью определяется частными распределениямивеличин ξ1 и ξ2 .С л е д с т в и е 9 (ф о р м у л а с в ё р т к и). Если случайные величиныξ1 и ξ2 независимы и имеют абсолютно непрерывные распределенияс плотностями fξ1 (u) и fξ2 (v), то плотность распределения суммыξ1 + ξ2 существует и равна «свёртке» плотностей fξ1 и fξ2 :∞Z∞Zfξ1 (u) fξ2 (t − u) du =fξ1 + ξ2 (t) =−∞fξ2 (u) fξ1 (t − u) du.(18)−∞Д о к а з а т е л ь с т в о.

Воспользуемся утверждением теоремы 30 дляборелевской функции g(u, v) = u + v. Интегрирование по двумерной области Dx = {(u, v) | u + v < x} можно заменить последовательным вычислением двух интегралов: наружного — по переменной u, меняющейсяв пределах от −∞ до +∞, и внутреннего — по переменной v, котораяпри каждом u должна быть меньше, чем x − u. Поэтому∞Z x−uZZZfξ1 (u)fξ2 (v) dvdu.Fξ1 + ξ2 (x) =fξ1 (u) fξ2 (v) dv du = Dx−∞−∞Сделаем в последнем интеграле замену переменной v на t так: v = t − u.При этом v ∈ (−∞, x−u) перейдёт в t ∈ (−∞, x), dv = dt. В полученноминтеграле меняем порядок интегрирования: ∞∞Z ZxZxZFξ1 + ξ2 (x) =fξ1 (u) fξ2 (t − u) dt du =  fξ1 (u) fξ2 (t − u) dudt.−∞ −∞−∞−∞Итак, мы представили функцию распределения Fξ1 + ξ2 (x) в виде интеграла от −∞ до x от плотности распределения fξ1 + ξ2 (t) из формулысвёртки (18).85§ 7.

Примеры использования формулы свёрткиСледствие 9 не только предлагает формулу для вычисления плотности распределения суммы, но и утверждает, что сумма двух независимыхслучайных величин с абсолютно непрерывными распределениями такжеимеет абсолютно непрерывное распределение.У п р а ж н е н и е . Для тех, кто уже ничему не удивляется: привестипример двух случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями таких, что их сумма имеет вырожденное распределение.Если даже одна из двух независимых случайных величин имеет дискретное, а вторая — абсолютно непрерывное распределение, то их сумматоже имеет абсолютно непрерывное распределение:У п р а ж н е н и е .

Пусть величина ξ имеет таблицу распределенияP(ξ = ai ) = pi , а η имеет плотность распределения fη (x), и эти величины независимы.Доказать, что ξ + η имеет плотность распределенияPfξ+η (x) =pi fη (x − ai ). Для вычисления функции распределения суммы использовать формулу полной вероятности.§ 7. Примеры использования формулы свёрткиП р и м е р 44. Пусть независимые случайные величины ξ и η имеютстандартное нормальное распределение. Докажем, что их сумма имеетнормальное распределение с параметрами a = 0 и σ2 = 2.Д о к а з а т е л ь с т в о. По формуле свёртки, плотность суммы равна∞Zfξ+η (x) =1 −u2/2 −(x−u)2/2eedu =2π−∞−x2/4∞Z=e−∞∞Zx22− u + 2 − xu1e2π−∞21 −(u− x )212edu = √ e−x /42π2 π∞Zdu =21 −v 2e−x /4√ edv = √ .π2 π−∞Последний интеграл равен единице, поскольку под интегралом стоит1плотность нормального распределения с параметрами a = 0 и σ2 = .2Итак, мы получили, что плотность распределения суммы есть плотностьнормального распределения с параметрами 0 и 2.Если сумма двух независимых случайных величин из одного и тогоже распределения (возможно, с разными параметрами) имеет такое жераспределение, говорят, что это распределение устойчиво относительносуммирования.

В следующих утверждениях перечислены практически всеустойчивые распределения.86ГЛАВА VII. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ= Πλ и η ⊂= Πµ незавиЛ е м м а 1. Пусть случайные величины ξ ⊂= Πλ+µ .симы. Тогда ξ + η ⊂Д о к а з а т е л ь с т в о. Найдём таблицу распределения суммы. Для любого целого k > 0P(ξ + η = k) ==kXi=0kXP(ξ = i, η = k − i) =P(ξ = i) · P(η = k − i) =i=0i=0−(λ+µ) 1=ekXλik!kXi=0i!e−λ ·µk−i(k − i)!e−µ =kk!i k−i−(λ+µ) (λ + µ)λµ=e.i! (k − i)!k!В последнем равенстве мы воспользовались биномом Ньютона.= Bn, p и η ⊂= Bm, p незаЛ е м м а 2. Пусть случайные величины ξ ⊂= Bn+m, p .висимы.

Тогда ξ + η ⊂Смысл леммы 2 совершенно понятен: складывая количество успехов впервых n и в следующих m независимых испытаниях одной и той жесхемы Бернулли, получаем количество успехов в n + m испытаниях. Полезно доказать это утверждение аналогично тому, как мы доказали лемму1.= N=Л е м м а 3. Пусть случайные величины ξ ⊂a1 , σ21 и η ⊂ Na2 , σ22= Nнезависимы. Тогда ξ + η ⊂a1 +a2 , σ21 +σ22 .= Γα, λ1 и η ⊂= Γα, λ2 незаЛ е м м а 4. Пусть случайные величины ξ ⊂= Γα, λ1 +λ2 .висимы.

Тогда ξ + η ⊂Эти утверждения мы докажем позднее, используя аппарат характеристических функций, хотя при некотором терпении можно попробовать доказать их напрямую с помощью формулы свёртки.Показательное распределение не устойчиво по суммированию, однакооно является частным случаем гамма-распределения, которое уже устойчиво относительно суммирования. Докажем частный случай леммы 4.Л е м м а 5. Пусть независимые случайные величины ξ1 , . . . , ξn име= Γα,n .ют показательное распределение Eα .

Тогда ξ1 + . . . + ξn ⊂Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем утверждение по индукции. При n = 1оно верно в силу равенства Eα = Γα, 1 . Пусть утверждение леммы справедливо для n = k − 1. Докажем, что оно верно и для n = k. По предположению индукции, Sk−1 = ξ1 + . . . + ξk−1 имеет распределение Γα, k−1 ,§ 7. Примеры использования формулы свёртки87т. е. плотность распределения величины Sk−1 равна 0,если x 6 0,k−1fSk−1 (x) = αxk−2 e−αx , если x > 0.(k − 2)!Тогда по формуле свёртки плотность суммы Sk = ξ1 + . .

Характеристики

Список файлов книги