_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007 (1185320), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Вероятность обладает следующими свойствами.1. P(∅) = 0.2. Для любого к о н е ч н о г о набора попарно несовместных событийA1 , . . . , An ∈ F имеет место равенство:P(A1 ∪ . . . ∪ An ) = P(A1 ) + . . . + P(An ).P(A) = 1 − P(A).Если A ⊆ B, то P(B \ A) = P(B) − P(A).Если A ⊆ B, то P(A) 6 P(B) (монотонность вероятности).P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).nP7. P(A1 ∪ . . . ∪ An ) 6P(Ai ).3.4.5.6.i=18. Формула включения-исключения:P(A1 ∪ . . . ∪ An ) =nXP(Ai ) −i=1+XXP(Ai Aj ) +i<jP(Ai Aj Am ) − . . . + (−1)n−1 P(A1 A2 .
. . An ).(5)i<j<mД о к а з а т е л ь с т в о. 1. События A1 = Ω, Ai = ∅, где i > 2, попарно несовместны, и их объединение есть Ω. По аксиоме (P2),1 = P(Ω) =∞XP(Ai ) = 1 +i=1∞XP(∅).i=2Это возможно только в случае P(∅) = 0.2. Положим Ai = ∅ при любом i > n. События A1 , . .
. , An , ∅, ∅, . . .попарно несовместны, и по аксиоме (P2), n ∞ X∞nXSSPAi = PAi =P(Ai ) =P(Ai ).i=1i=1i=1i=13. Достоверное событие Ω = A∪A есть объединение двух несовместныхсобытий A и A. По свойству 2 получим 1 = P(Ω) = P(A) + P(A ).4 и 5. Событие B равно объединению двух несовместных событий:B = A ∪ (B \ A). Согласно свойству 2, P(B) = P(A) + P(B \ A) > P(A).6. Событие A ∪ B можно разложить в объединение двух несовместныхсобытий A ∪ B = A ∪ (B \ AB), причём AB ⊆ B. По свойствам 2 и 4получим P(A ∪ B) = P(A) + P(B \ AB) = P(A) + P(B) − P(AB).36ГЛАВА II. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ7.
При n = 2 неравенство вытекает из свойства 6:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) 6 P(A) + P(B).У п р а ж н е н и е . Докажите свойство 7 и формулу (5) с помощью математической индукции.Приведём пример задачи, в которой использование формулы включения-исключения — самый простой путь решения.П р и м е р 27 (з а д а ч а о р а с с е я н н о й с е к р е т а р ш е). Есть n писем и n подписанных конвертов. Письма раскладываются в конверты наудачу по одному.
Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадёт в предназначенный ему конверт.Р е ш е н и е. Пусть событие Ai , i = 1, . . . , n, означает, что i -е письмопопало в свой конверт. ТогдаA = {хотя бы одно письмо попало в свой конверт} = A1 ∪ . . . ∪ An .Cобытия A1 , . . .
, An совместны, поэтому используем формулу (5).По классическому определению вероятности вычислим вероятности всехсобытий Ai и их пересечений. Элементарными исходами будут всевозможные перестановки n писем по n конвертам. Их общее число есть |Ω| == n!, и событию Ai благоприятны (n − 1)! из них, а именно перестановкивсех писем, кроме i -го, лежащего в своём конверте. Поэтому P(Ai ) ==(n − 1)!1= — одна и та же для всех i. Точно так жеn!n11(n − 2)!=, P(Ai Aj Am ) =P(Ai Aj ) =n!n(n − 1)n(n − 1)(n − 2)и т. д.Вычислим количество слагаемых в каждой сумме в формуле (5).
Например, сумма по 1 6 i < j < m 6 n состоит из Cn3 слагаемых — ровностолько троек индексов можно образовать из n номеров событий. Подставляя все вероятности в формулу (5), получаем:231111− Cn ·+ Cn ·− . . . + (−1)n−1=nn(n − 1)n(n − 1)(n − 2)n!111= 1 − + − . .
. + (−1)n−1 .2!3!n!P(A) = n ·У п р а ж н е н и е . Выписать разложение e−1 в ряд Тейлора и убедиться в том, что P(A) −→ 1 − e−1 при n → ∞.Г Л А В А IIIУСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ. . . Здесь является вопрос . . . относительно влияния прошлогона вероятность будущего.П. Лаплас. Опыт философии теории вероятностей§ 1. Условная вероятностьП р и м е р 28. Игральная кость подбрасывается один раз. Известно ,что выпало более трёх очков. Какова при этом вероятность того, чтовыпало нечётное число очков?Пусть событие B = {4, 5, 6} означает, что выпало более трёх очков,событие A = {1, 3, 5} — выпало нечётное число очков. Как понимать вероятность события A, если известно, что B случилось? Знаем, что произошло событие B, но всё равно не знаем, что именно выпало на кости.Однако теперь возможностей осталось только три : могло выпасть 4, 5или 6 очков.
Событию A из этих равновозможных исходов благоприятен единственный исход: выпадение пяти очков. Поэтому искомая вероятность равна 1 / 3.Итак, при вычислении условной вероятности события A при случившемся событии B мы ищем долю исходов, благоприятствующих A, среди всех исходов события B. Эту условную вероятность будем обозначатьP(A | B).О п р е д е л е н и е 12.
Условной вероятностью события A при условии,что произошло событие B, называется числоP(A ∩ B)P(A | B) =.P(B)Условная вероятность определена только в случае, когда P(B) > 0.Следует отличать условную вероятность одного события при осуществлении другого от вероятности им одновременно произойти.Это определение бывает полезно использовать не для вычисленияусловной вероятности, а для последовательного вычисления вероятно-38ГЛАВА III.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬсти нескольким событиям случиться одновременно, если известны соответствующие условные вероятности. Справедливы следующие «теоремыумножения вероятностей».Т е о р е м а 9. Если P(B) > 0 и P(A) > 0, тоP(A ∩ B) = P(B) P(A | B) = P(A) P(B | A).Т е о р е м а 10. Для любых событий A1 , .
. . , An верно равенство:P(A1 . . . An ) = P(A1 ) P(A2 | A1 ) P(A3 | A1 A2 ) · . . . · P(An | A1 . . . An−1 ),если все участвующие в нём условные вероятности определены.У п р а ж н е н и е . Доказать теорему 10 методом математической индукции. Доказать, что все условные вероятности в теореме 10 определенытогда и только тогда, когда P(A1 . . . An−1 ) > 0.§ 2. Независимость событийО п р е д е л е н и е 13.
События A и B называются независимыми , если P(A ∩ B) = P(A)P(B).П р и м е р 29. Из колоды в 36 карт наугад берут одну. Независимы лисобытия «вынут туз» и «вынута пиковая карта»?41Р е ш е н и е. Вероятность вытянуть туза равна P(A) == . Ве3691. Пересечение этих41событий означает появление туза пик и имеет вероятность P(AB) =.36роятность вытянуть пиковую карту равна P(B) =Cобытия A и B независимы, так как P(AB) = P(A)P(B).Естественно считать события A и B независимыми, когда условнаявероятность A при условии, что B произошло, остаётся такой же, как ибезусловная. Убедимся, что этим свойством обладают события, независимые согласно определению 13.С в о й с т в о 4.
Пусть P(B) > 0. Тогда события A и B независимытогда и только тогда, когда P(A | B) = P(A).У п р а ж н е н и е . Доказать по определению условной вероятности.Независимые события возникают, например, при повторении испытаний. Выпадение герба и выпадение решки при двух разных бросках монеты независимы. Любые события, относящиеся к двум разным подбрасываниям игральной кости, независимы.С в о й с т в о 5. Пусть события A и B несовместны.
Тогда независимыми они будут только в том случае, если P(A) = 0 или P(B) = 0.§ 2. Независимость событий39Это свойство (а вы его доказали ?) означает, что в невырожденномслучае (когда вероятности событий положительны) несовместные события не могут быть независимыми. Зависимость между ними — простопричинно-следственная: если A ∩ B = ∅, то A ⊆ B, т. е. при выполненииA событие B не происходит .У п р а ж н е н и е . Доказать с помощью свойства монотонности вероятности, что событие A, вероятность которого равна нулю или единице, независит ни от какого события B, в том числе и от самого себя.С в о й с т в о 6.
Если события A и B независимы, то независимыи события A и B, A и B, A и B.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B), и события A ∩ Bи A∩B несовместны, то P(A) = P(A∩B)+P(A∩B). Поэтому P(A∩B) == P(A) − P(A ∩ B) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)(1 − P(B)) = P(A)P(B).Остальные утверждения вытекают из первого.Если у нас не два, а большее число событий, выполнение только одногоравенства P(A1 ∩ . . . ∩ An ) = P(A1 ) · . . . · P(An ) вовсе не означает независимости этих событий.
Например, при таком равенстве события A1 и A2вполне могут оказаться зависимыми.П р и м е р 30. Пусть 0 < P(A) < 1. События A1 = A2 = A, A3 = ∅обладают свойством0 = P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P(A1 ) · P(A2 ) · P(A3 ) = 0,что не мешает событиям A1 и A2 быть зависимыми:2P(A1 ∩ A2 ) = P(A) 6= P(A1 ) · P(A2 ) = P(A) .Хотелось бы независимостью нескольких событий считать такое свойство, при котором любые комбинации этих событий будут независимымежду собой: например, независимы A1 ∩ A2 и A3 ∪ A4 ∪ A5 .О п р е д е л е н и е 14. События A1 , .
. . , An называются независимымив совокупности , если для любого 1 6 k 6 n и любого набора различныхмеж собой индексов 1 6 i1 , . . . , ik 6 n имеет место равенствоP(Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) = P(Ai1 ) · . . . · P(Aik ).(6)З а м е ч а н и е . Если события A1 , . . . , An независимы в совокупности,то они попарно независимы, т. е. любые два события Ai и Aj независимы.
Достаточно в равенстве (6) взять k = 2. Обратное, как показываетследующий пример, неверно: из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности.40ГЛАВА III. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬП р и м е р 31 (п р и м е р Б е р н ш т е й н а6 ). Рассмотрим правильныйтетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий,зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. Событие A( B, C ) означает, что выпала грань, содержащая красный (соответственносиний, зелёный) цвета.1Вероятность каждого из этих событий равна , так как каждый цвет2есть на двух гранях из четырёх. Вероятность пересечения любых двух1событий равна , так как только одна грань из четырёх содержит два4111цвета.
Поэтому любые два события из трёх независимы, так как = · .42 2Но вероятность события ABC (на грани есть все три цвета) тоже равна11, а не , т. е. события не являются независимыми в совокупности.48Заметьте, что равенство (6) выполнено при k = 2, но не при k = 3.§ 3. Формула полной вероятностиП р и м е р 32. Есть три завода, производящих одну и ту же продукцию. Первый завод производит 25 %, второй завод — 35, третий — 40 % всейпроизводимой продукции. Брак составляет 5 % от продукции первого завода, 3 % от продукции второго и 4 % от продукции третьего завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти: а) вероятность купитьбракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено первым заводом, если это изделие оказалось бракованным.Первая вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всейпродукции, т.
е. 0,05 · 0,25 + 0,03 · 0,35 + 0,04 · 0,4. Вторая вероятностьравна доле брака первого завода среди всего брака, т. е.0,05 · 0,25.0,05 · 0,25 + 0,03 · 0,35 + 0,04 · 0,4О п р е д е л е н и е 15. Конечный или счётный набор попарно несовместных событий H1 , H2 , . . . таких, что P(Hi ) > 0 для всех i иH1 ∪ H2 ∪ . .
. = Ω, называется полной группой событий или разбиениемпространства Ω.События H1 , H2 , . . . , образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. При подходящем выборе гипотез для любого событияA могут быть сравнительно просто вычислены P(A | Hi ) и собственноP(Hi ). Как, используя эти данные, посчитать вероятность события A?6Сергей Натанович Бернштейн (5.03.1880—26.10.1968).41§ 4. Формула БайесаТ е о р е м а 11 (ф о р м у л а п о л н о й в е р о я т н о с т и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
