_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007 (_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007.pdf), страница 12

Свойства функций распределенияОбщие свойства функций распределения. Функцией распределения случайной величины ξ мы назвали функцию Fξ (x) = P(ξ < x).Т е о р е м а 22. Любая функция распределения обладает свойствами:(F1) она не убывает: если x1 < x2 , то Fξ (x1 ) 6 Fξ (x2 );(F2) cуществуют пределы lim Fξ (x) = 0 и lim Fξ (x) = 1;x→−∞x→+∞(F3) она в любой точке непрерывна слева:Fξ (x0 − 0) =lim Fξ (x) = Fξ (x0 ).x→x0 −0Д о к а з а т е л ь с т в о с в о й с т в а (F1). Для любых чисел x1 < x2 событие {ξ < x1 } влечёт событие {ξ < x2 }, т. е. {ξ < x1 } ⊆{ξ < x2 }. Новероятность — монотонная функция событий, поэтомуFξ (x1 ) = P{ξ < x1 } 6 P{ξ < x2 } = Fξ (x2 ).Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойствонепрерывности вероятностной меры (с.

33, теорема 7).Д о к а з а т е л ь с т в о с в о й с т в а (F2). Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонностии ограниченности функции Fξ (x). Остаётся лишь доказать равенстваlim Fξ (x) = 0, lim Fξ (x) = 1 и lim Fξ (x) = Fξ (x0 ). Для этогоx→−∞x→+∞x→x0 −0в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследова14Vilfredo Pareto (15.07.1848—20.08.1923, France, Italy, Switzerland).65§ 6. Свойства функций распределениятельности {xn }, так как существование предела влечёт совпадение всехчастичных пределов.Докажем, что Fξ (−n) → 0 при n → ∞. Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий Bn = {ξ < −n} :Bn+1 = ξ < −(n+1) ⊆ Bn = ξ < −n для любых n > 1.Пересечение B всех этих событий состоит из тех и только тех ω, для которых ξ(ω) меньше любого вещественного числа.

Но для любого элементарного исхода ω значение ξ(ω) вещественно, и не может быть меньше всехвещественных чисел. Иначе говоря,T пересечение событий Bn не содержитэлементарных исходов, т. е. B = Bn = ∅. По свойству непрерывностимеры, Fξ (−n) = P(Bn ) → P(B) = 0 при n → ∞.Точно так же докажем остальные свойства.Покажем, что Fξ (n) → 1 при n → ∞, т.

е. 1−Fξ (n) = P(ξ > n) → 0.Обозначим через Bn событие Bn = {ξ > n}. События Bn вложены:Bn+1 = ξ > (n + 1) ⊆ Bn = ξ > n для любых n > 1,а пересечение B этих событий снова пусто: оно означает, что ξ большелюбого вещественного числа. По свойству непрерывности меры,1 − Fξ (n) = P(Bn ) → P(B) = 0 при n → ∞.Д о к а з а т е л ь с т в о с в о й с т в а (F3). Достаточно доказать, чтоFξ (x0 − 1/n) → Fξ (x0 ) при n → ∞.

Иначе говоря, доказать сходимостьк нулю следующей разности:111Fξ (x0 ) − Fξ x0 −= P(ξ < x0 ) − P ξ < x0 −= P x0 − 6 ξ < x 0 .nnnУ п р а ж н е н и е . Обозначьте событие {x0 − 1/n 6 ξ < x0 } через Bn ,и попробуйте снова воспользоваться свойством непрерывности меры.Следующая теорема говорит о том, что три доказанных свойства полностью описывают класс функций распределения. То, что любая функцияраспределения ими обладает, мы с вами доказали, а теорема утверждает,что любая функция с такими свойствами есть функция распределения.Т е о р е м а 23.

Если функция F : R → [0, 1] удовлетворяет свойствам (F1)–(F3), то F есть функция распределения некоторой случайной величины ξ, т. е. найдётся вероятностное пространство hΩ, F, Piи случайная величина ξ на нём такая, что F (x) ≡ Fξ (x).Эту теорему мы доказывать не станем. Хотя её можно попробовать доказать конструктивно — предъявив то вероятностное пространство (проще66ГЛАВА V.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯвсего отрезок Ω = [0, 1] с σ -алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега) и ту случайную величину, о существовании которых идёт речь.У п р а ж н е н и е . Непременно попробуйте сделать это! Например, можно проверить, не подойдёт ли ξ(ω) = sup{x | F (x) < ω}.Помимо отмеченных в теореме 22, функции распределения обладаютследующими свойствами:С в о й с т в о 8. В любой точке x0 разница Fξ (x0 + 0) − Fξ (x0 ) равнаP(ξ = x0 ). Иначе говоря, Fξ (x0 + 0) = Fξ (x0 ) + P(ξ = x0 ) = P(ξ 6 x0 ).У п р а ж н е н и е . Докажите (так же, как мы доказывали (F2) и (F3)).Разница Fξ (x0 + 0) − Fξ (x0 ) между пределом при стремлении к x0справа и значением в точке x0 есть величина скачка функции распределения.

Эта величина равна нулю, если функция распределения непрерывна(справа) в точке x0 . Слева функция распределения непрерывна всегда.З а м е ч а н и е . Очень часто функцией распределения называют P(ξ 6x). Эта функция отличается от определённой выше лишь тем, что онанепрерывна справа, а не слева. И вероятность P(ξ = x0 ) для неё равнавеличине скачка слева, а не справа.С в о й с т в о 9. Для любой случайной величины ξP(a 6 ξ < b) = Fξ (b) − Fξ (a).Д о к а з а т е л ь с т в о. Разобьём событие {ξ < b} в объединение несовместных событий: {ξ < a} ∪ {a 6 ξ < b} = {ξ < b}.

По свойствуаддитивности вероятности, P{ξ < a} + P{a 6 ξ < b} = P{ξ < b},или Fξ (a) + P{a 6 ξ < b} = Fξ (b), что и требовалось доказать.Функция распределения дискретного распределения. Согласноопределению дискретного распределения, его функция распределения может быть найдена по таблице распределения так:XFξ (x) = P(ξ < x) =P(ξ = ak ).k : ak <xИз свойств 8 и 9 вытекает следующее свойство.С в о й с т в о 10.

Случайная величина ξ имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения Fξ (x) имеетв точках ai скачки с величиной pi = P(ξ = ai ) = Fξ (ai + 0) − Fξ (ai ),и растёт только за счёт скачков.У п р а ж н е н и е . Доказать, что любая функция распределения имеетне более чем счётное число точек разрыва (или «скачков»). Сколько скач-§ 6.

Свойства функций распределения67ков с величиной более 1/2 может иметь функция распределения?А скачков с величиной более 1/3 ? Более 1/4 ?Свойства абсолютно непрерывного распределения. Пусть случайная величина ξ имеет абсолюлютно непрерывное распределение с плотностью fξ (t). Тогда функция распределения в любой точке x может бытьнайдена по плотности распределения так:ZxFξ (x) = P(ξ < x) = P(ξ ∈ (−∞, x)) =fξ (t) dt.(14)−∞Поскольку функция распределения однозначно определяет распределениеслучайной величины, можно считать возможность представить функциюраспределения интегралом (14) от неотрицательной функции определением абсолютно непрерывного распределения.С в о й с т в о 11.

Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то её функция распределения всюду непрерывна.Д о к а з а т е л ь с т в о. Этот факт следует из свойств 7 и 8. Заметим,что оно есть также следствие представления (14) и непрерывности интеграла как функции верхнего предела.С в о й с т в о 12. Если ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то её функция распределения дифференцируема почти всюду,fξ (x) = Fξ0 (x) =dF (x) для почти всех x.dx ξЗ а м е ч а н и е . Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме(возможно) x из некоторого множества нулевой меры Лебега».Заметим, что любая функция распределения дифференцируема почтивсюду. Например, функции распределения равномерного распределенияи распределения Бернулли дифференцируемы всюду, кроме двух точек.Но у равномерного распределения плотность существует, а у распределения Бернулли — нет.

Поэтому возможность дифференцировать функциюраспределения никакого отношения к существованию плотности не имеет.Даже если мы дополнительно потребуем непрерывности функции распределения, этого не будет достаточно для абсолютной непрерывности распределения. Например, далее мы увидим, что функция распределения сингулярного распределения непрерывна и дифференцируема почти всюду, однако плотности у этого распределения нет, так как производная функциираспределения почти всюду равна нулю.68ГЛАВА V.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯОпираясь на свойство 12 и формулу (14), можно сформулировать такой критерий абсолютной непрерывности распределения: распределение сфункцией распределения Fξ (x) абсолютно непрерывно, если при всех xZxFξ (x) =Fξ0 (t) dt.−∞Наконец, очевидным следствием определения абсолютно непрерывногораспределения и свойства 11 является следующее свойство.С в о й с т в о 13. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то для любых a < b имеют место равенства:ZbP(a < ξ < b) = P(a 6 ξ < b) = P(a < ξ 6 b) = P(a 6 ξ 6 b) = fξ (t) dt.aФункция распределения сингулярного распределения. Дляполноты картины посмотрим, какие свойства имеет функция распределения сингулярного распределения.

По определению 25, случайная величина ξ с сингулярным распределением принимает с единичной вероятностью лишь значения из некоторого борелевского множества B с нулевойлебеговой мерой. Поэтому P(ξ ∈ R \ B) = 0. Но по свойству (9), еслиP(ξ ∈ [a, b)) = 0, то Fξ (b) = Fξ (a). Это означает, что расти функцияраспределения может лишь в точках множества B.

На всём остальноммножестве R \B функция распределения имеет почти всюду нулевую производную. Тем не менее, Fξ (x) всюду непрерывна, поскольку P(ξ = x) = 0для любой точки x ∈ R. Примером такой функции распределения служитлестница Кантора (рис. 11).Fξ (x)1 6-013231xРис. 11. Лестница КантораФункция распределения смешанного распределения.

Функцияраспределения смешанного распределения есть линейная комбинация69§ 7. Свойства нормального распределенияфункций распределения дискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного распределений. Если смешивать дискретное и абсолютно непрерывное распределения, то функция распределения будет иметь скачки вточках значений дискретного распределения и участки непрерывного роста, приращение на которых восстанавливается по её производной.§ 7.

Свойства нормального распределенияРассмотрим отдельно свойства самого главного распределения. Сначала установим связь между функциями Φa, σ2 (x) и Φ0, 1 (x).С в о й с т в о 14. Для любого x ∈ R справедливо соотношение:x−a.Φa, σ2 (x) = Φ0, 1σД о к а з а т е л ь с т в о. Действительно,ZxΦa, σ2 (x) =x−a−(t−a)2 / 2σ21√eσ 2πZσdt =−∞Мы сделали замену переменных y =21√e−y / 2 dy = Φ0, 12πx−aσ.−∞t−aσ, dt = σ dy, верхняя границаx−aинтегрирования t = x при такой замене перешла в y =.σТо же самое для случайных величин можно сформулировать так:= Na, σ2 , то η =С л е д с т в и е 2.