_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007 (_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007.pdf), страница 9

Какова же погрешность в формуле (9)? Взяв A == {0, 1, . . . , 6}, имеем6 Xk 3−3 P(ν =e1000 > 7) − 0,034 = 1 − P(ν1000 6 6) − 1 −k=0k!6Xk3e−3 6 min(p, np2 ) = 0,003.= P(ν1000 6 6) −k!k=0Таким образом, можно утверждать, что искомая вероятность заключена в границах (0,034 − 0,003, 0,034 + 0,003) = (0,031, 0,037).ГЛАВА VСЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯТо, что остаётся после всех этих абстракций, не следует ли. .

.считать тем реальным и неизменным содержанием, котороенавязывается существам всех видов с одинаковой необходимостью, потому что оно не зависит ни от индивида, ни от моментавремени, ни от точки зрения?..А. Рей. Современная философия. 1908§ 1. Случайные величиныМы уже видели, что для многих экспериментов нет никаких различийв подсчёте вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этихэкспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому пора во всех таких «похожих» экспериментах вместо самыхразных исходов использовать, например, числа.

Иначе говоря, каждомуэлементарному исходу поставить в соответствие некоторое вещественноечисло, и работать только с числами.Пусть задано вероятностное пространство hΩ, F, Pi.О п р е д е л е н и е 20. Функция ξ : Ω → R называется случайной величиной , если для любого борелевского множества B ∈ B(R) множествоξ−1 (B) является событием, т. е. принадлежит σ -алгебре F.Множество ξ−1 (B) = {ω | ξ(ω) ∈ B}, состоящее из тех элементарныхисходов ω, для которых ξ(ω) принадлежит B, называется полным прообразом множества B.З а м е ч а н и е . Вообще, пусть функция f действует из множества Xв множество Y, и заданы σ -алгебры F и G подмножеств X и Y соответственно. Функция f называется измеримой , если для любого множестваB ∈ G его полный прообраз f −1 (B) принадлежит F.З а м е ч а н и е .

Читатель, не желающий забивать себе голову абстракциями, связанными с σ -алгебрами событий и с измеримостью, может сме-50ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯло считать, что любое множество элементарных исходов есть событие, и,следовательно, случайная величина есть произвольная функция из Ω в R.Неприятностей на практике это не влечёт, так что всё дальнейшее в этомпараграфе можно пропустить.Теперь, избавившись от нелюбопытных читателей, попробуем понять,зачем случайной величине нужна измеримость.Если задана случайная величина ξ, нам может потребоваться вычислить вероятности вида P(ξ = 5) = P{ω | ξ(ω) = 5}, P(ξ ∈ [−3, 7]),P(ξ > 3,2), P(ξ < 0) и вообще самые разные вероятности попаданияв борелевские множества на прямой. Это возможно лишь если множества,стоящие под знаком вероятности, являются событиями — ведь вероятностьесть функция, определённая только на σ -алгебре событий.

Требование измеримости равносильно тому, что для любого борелевского множества Bопределена вероятность P(ξ ∈ B).Можно потребовать в определении 20 чего-нибудь другого.Например, чтобы событием было попадание в любой интервал:{ω | ξ(ω) ∈ (a, b)} ∈ F, или в любой полуинтервал: {ω | ξ(ω) < x} ∈ F.О п р е д е л е н и е 21. Функция ξ : Ω → R называется случайной величиной, если для любых вещественных a < b множество {ω | ξ(ω) ∈ (a, b)}принадлежит σ -алгебре F.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Докажем эквивалентность определений 20 и 21.Если ξ — случайная величина в смысле определения 20, то она будет случайной величиной и в смысле определения 21, поскольку любой интервал(a, b) является борелевским множеством.Докажем, что верно и обратное. Пусть для любого интервалаB = (a, b) выполнено ξ−1 (B) ∈ F. Мы должны доказать, что то жесамое верно для любых борелевских множеств. Соберём в множествеA = {B ⊆ R | ξ−1 (B) ∈ F} все такие подмножества B вещественной прямой, что их прообразы являются событиями. По определению, B ∈ Aтогда и только тогда, когда множество ξ−1 (B) принадлежит F.Множество A уже содержит все интервалы (a, b).

Покажем, что множество A является σ -алгеброй.1. Убедимся, что R ∈ A. Но ξ−1 (R) = Ω ∈ F и, следовательно, R ∈ A.2. Убедимся, что B ∈ A для любого B ∈ A. Пусть ξ−1 (B) ∈ F. Тогдаξ−1 (B) = {ω | ξ(ω) 6∈ B} = Ω \ ξ−1 (B) ∈ F, так как F — σ -алгебра.51§ 1. Случайные величины3. Убедимся, что B1 ∪ B2 ∪ . .

. ∈ A для любых B1 , B2 , . . . ∈ A.Пусть ξ−1 (Bi ) ∈ F для всех i > 1. Но F — σ -алгебра, поэтому ∞ n o∞∞SS−1 SξBi =ξ−1 (Bi ) ∈ F.Bi = ω ξ(ω) ∈i=1i=1i=1Мы доказали, что A — σ -алгебра и содержит все интервалы на прямой. Но B(R) — наименьшая из σ -алгебр, содержащих все интервалы напрямой. Следовательно, B(R) ⊆ A.Приведём примеры измеримых и неизмеримых функций.П р и м е р 36. Подбрасываем кубик.

Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и двефункции из Ω в R заданы так: ξ(ω) = ω, η(ω) = ω2 .Пока не задана σ -алгебра F, нельзя говорить об измеримости. Функция, измеримая относительно какой-то σ -алгебры F, может не быть таковой для другой F.1. Если F есть множество всех подмножеств Ω, то ξ и η являютсяслучайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит F, в том числе и {ω | ξ(ω) ∈ B} или {ω | η(ω) ∈ B}.Можно записать соответствие между значениями случайных величин ξ иη и вероятностями принимать эти значения в виде таблицы распределениявероятностей или, короче, таблицы распределения :ξ1 2 3 4 5 6η1 4 9 16 25 36P16P1616161616161616161616Здесь P(ξ = 1) = .

. . = P(ξ = 6) = P(η = 1) = . . . = P(η = 36) = 16 .2. Пусть σ -алгебра событий F состоит из четырёх множеств:F = Ω, ∅, {1, 3, 5}, {2, 4, 6} ,(10)т. е. событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение чётного или нечётного числа очков. Убедимся, что при такой сравнительно бедной σ -алгебре ни ξ, ни η не являются случайными величинами. Возьмём, скажем, B = {4}. Видим, что {ω | ξ(ω) = 4} = {4} 6∈ F и{ω | η(ω) = 4} = {2} 6∈ F.У п р а ж н е н и е : а) описать все функции, измеримые относительноσ -алгебры F из (10);б) доказать, что ξ и η не являются случайными величинами, если F == {Ω, ∅} — тривиальная σ -алгебра;в) доказать, что относительно тривиальной σ -алгебры измеримы только функции вида ξ(ω) = c (постоянные).52ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯП р и м е р 37.

Пусть Ω = [0, 2π], F = B(R) ∩ [0, 2π] — сигма-алгебраборелевских подмножеств отрезка [0, 2π], P(B) = λ(B)/2π — геометрическая вероятность на F и A — неизмеримое множество Витали, построенное нами в примере 20 (с. 25). Функция(1, если ω ∈ A,ξ(ω) = IA (ω) =0, если ω 6∈ Aне является случайной величиной, поскольку, например, прообраз единицы {ω | ξ(ω) = 1} = A не принадлежит F. И вероятность для ξ попастьв единицу P(ξ = 1) = λ(A)/2π просто не существует.Познакомимся с важным понятием — «распределение» случайной величины и опишем различные типы распределений случайных величин.§ 2.

Распределения случайных величинО п р е д е л е н и е 22. Распределением случайной величины ξ называется вероятностная мера µ(B) = P(ξ ∈ B) на множестве борелевскихподмножеств R.Можно представлять себе распределение случайной величины ξ каксоответствие между множествами B ∈ B(R) и вероятностями P(ξ ∈ B).Распределения случайных величин суть основные объекты изученияв теории вероятностей. Мы не будем, как правило, интересоваться тем,из какого множества действует функция и каким именно элементарнымисходам сопоставляет свои возможные значения.

Нас будет интересовать лишь, с какой вероятностью эти значения принимаются. Приведёмнесколько примеров совершенно разных случайных величин, имеющих одно и то же распределение (одинаково распределённых).П р и м е р 38. Один раз бросается правильная монета. ПространствоΩ состоит из двух элементарных исходов — герб и решка. В качествеσ -алгебры рассмотрим множество всех подмножеств Ω, вероятность зададим как в классической схеме. Положимξ(ω) = 1, если ω = герб, и ξ(ω) = 0, если ω = решка;η(ω) = 0, если ω = герб, и η(ω) = 1, если ω = решка.Очевидно, что для любого множества B ⊆ R вероятности принадлежать B для ξ и для η одинаковы.