_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007 (_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007.pdf), страница 11

Говорят, что случайная величинаτ имеет геометрическое распределение с параметром p ∈ (0, 1), и пишут= Gp , если τ принимает значения k = 1, 2, 3, . . . с вероятностямиτ⊂P(τ = k) = p(1 − p)k−1 . Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения τ имеет видτP1p2p(1 − p)......kp(1 − p)k−1.......Распределение Пуассона.

Говорят, что случайная величина ξ имеет= Πλ , если ξраспределение Пуассона с параметром λ > 0, и пишут: ξ ⊂принимает значения k = 0, 1, 2, . . . с вероятностями P(ξ = k) =λk −λe .k!Распределение Пуассона возникло в теореме Пуассона (с. 47) как предельное распределение для числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли, когда число испытаний n увеличивается, а вероятность успеха уменьшается обратно пропорционально n. Поэтому распределение Пуассона называют иначе распределением числа редких событий.Гипергеометрическое распределение. Говорят, что случайная величина ξ имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, Nи K, где K 6 N, n 6 N, если ξ принимает целые значения k такие,что 0 6 k 6 K, 0 6 n − k 6 N − K, с вероятностями P(ξ = k) =k C n−k / C n . Случайная величина с таким распределением имеет= CKNN −Kсмысл числа белых шаров среди n шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей K белых шаров и N − K не белых.У п р а ж н е н и е .

Построить графики функций распределения для вырожденного распределения, распределений Бернулли и Пуассона, биномиального и геометрического распределений.59§ 5. Примеры абсолютно непрерывных распределений§ 5. Примеры абсолютно непрерывных распределенийРавномерное распределение. Говорят, что ξ имеет равномерное= Ua,b , если плотность расраспределение на отрезке [a, b], и пишут: ξ ⊂пределения ξ постоянна на отрезке [a, b] и равна нулю вне него:( 1, если x ∈ [a, b],fξ (x) = b − a0,если x 6∈ [a, b].Площадь под графиком этой функции равна единице, fξ (x) > 0. Поэтомуfξ (x) является плотностью распределения.= Ua,b имеет смысл координаты точки, выСлучайная величина ξ ⊂бранной наудачу на отрезке [a, b]. Вычислим по определению 24 функцию распределения случайной величины ξ : xR0 dt,x < a,−∞Zx RaRx 10 dt +dt,a 6 x 6 b,Fξ (x) = P(ξ < x) = fξ (t) dt =b−aa−∞−∞RaRb 1Rx0 dt +dt + 0 dt, x > b.a b−a−∞bПолучим следующую непрерывную функцию распределения:если x < a;0,x−a, если a 6 x 6 bFξ (x) =b−a1,если x > b.Графики плотности и функции распределения равномерного распределения на отрезке [a, b] изображены на рис.

7.F (x)f (x)11(b−a)abxabxРис. 7. Плотность и функция распределения Ua, bПоказательное распределение. Говорят, что ξ имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром α > 0, и пишут:60ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ= Eα , если ξ имеет следующую плотность распределения:ξ⊂(0,fξ (x) =αe−αx ,если x < 0,если x > 0.Функция распределения случайной величины ξ непрерывна:(0,если x < 0,Fξ (x) = P(ξ < x) =1 − e−αx , если x > 0.Графики плотности и функции распределения показательного распределения с параметром α приведены на рис.

8.f (x)F (x)1αxxРис. 8. Плотность и функция распределения EαПлотность показательного распределения равна нулю на отрицательной полуоси, поэтому вероятность события {ξ < 0} нулевая — случайнаявеличина с показательным распределением не может быть отрицательна.К тому же плотность отлична от нуля на всей положительной полуоси, поэтому случайная величина с показательным распределением может принимать сколь угодно большие положительные значения: для всякого xвероятность события {ξ > x} не равна нулю.Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство «нестарения»(и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).= Eα .

Тогда для любых x, y > 0Т е о р е м а 21. Пусть ξ ⊂P(ξ > x + y | ξ > x) = P(ξ > y).(12)У п р а ж н е н и е . Доказать теорему 21. Доказать далее, что если неотрицательная случайная величина ξ с абсолютно непрерывным распределением обладает свойством (12) при любых x, y > 0, то она имеет показательное распределение с некоторым параметром α.Нормальное распределение. Говорят, что ξ имеет нормальное(гауссовское10 ) распределение с параметрами a и σ2 , где a ∈ R, σ > 0, и61§ 5.

Примеры абсолютно непрерывных распределений= Na, σ2 , если ξ имеет следующую плотность распределения:пишут: ξ ⊂(x−a)21−fξ (x) = √ e 2σ2 ,σ 2πx ∈ R.На рис. 9 приведены графики плотностей нормальных распределенийс одним и тем же параметром a и разными значениями параметра σ.σ21 < σ22 < σ23Na,σ22Na,σ21Na,σ23aРис. 9. Плотности нормальных распределенийУбедимся, что fξ (x) является плотностью распределения.

Так какfξ (x) > 0 для всех x ∈ R, то свойство (f1) выполнено. Проверим (f2):"#∞∞ZZ(x−a)2заменапеременных1−2σ2 dx =√ e=fξ (x) dx =x−at=, dx = σ dtσ 2π−∞−∞∞Z=σ211√ e−t /2 σ dt = √σ 2π2π−∞∞Ze−t2 /2I= 1,2πdt = √−∞где через I обозначен табличный интеграл (интеграл Пуассона11 )∞Z√2I=e−x /2 dx = 2π.−∞1011Johann Carl Friedrich Gauss (30.04.1777—23.02.1855, Germany).Этот интеграл вычисляется так:∞∞∞ZZZZ ∞222−x2 /2−y 2 /2I =edxedy =e−(x +y )/2 dx dy.−∞−∞−∞ −∞Далее полярная замена переменных: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, dx dy = r dr dϕ, x2 + y 2 = r2 :22Zπ ∞ZZπ ∞Z√22−r 2 /2I =redr dϕ =e−r /2 d(r2 /2) dϕ = 2π, I = 2π.0 00 062ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯНормальное распределение N0, 1 с параметрами a = 0 и σ2 = 1 называется стандартным нормальным распределением.

Плотность стандарт21ного нормального распределения равна fξ (x) = √ e−x /2 .2πМы будем использовать специальное обозначение Φa, σ2 (x) для функции распределения нормального закона Na, σ2 (рис. 10). Первообразная2функции e−x не может быть выражена через элементарные функции.Поэтому функцию Φa, σ2 (x) можно записать лишь в виде интегралаZxΦa, σ2 (x) =Zx(t−a)21−√ e 2σ2σ 2πdt,2t1−√ e 2 dt.2πΦ0, 1 (x) =−∞−∞Функция Φ0, 1 (x) табулирована, т. е. её значения при различных вещественных x вычислены.

Их можно найти в соответствующих таблицах.Φa, σ2 (x)610,5-axРис. 10. Функция распределения нормального распределения Na,σ2Гамма-распределение. Говорят, что ξ имеет гамма-распределение= Γα, λ , если ξ имеет следус параметрами α > 0, λ > 0, и пишут: ξ ⊂ющую плотность распределения:(0,если x 6 0,fξ (x) =c · xλ−1 e−αx , если x > 0,где постоянная c вычисляется из свойства (f2) плотности так:∞Z1=∞Zfξ (x) dx = c−∞0xλ−1 e−αx dx =c∞Z(αx)λ−1 e−αx d(αx) =αλ0cαλΓ(λ),§ 5. Примеры абсолютно непрерывных распределений63откуда c = αλ / Γ(λ).

Здесь через Γ(λ) обозначен интеграл∞ZΓ(λ) = xλ−1 e−x dx = (λ − 1)Γ(λ − 1),0называемый гамма-функцией Эйлера12 ; Γ(k) = (k − 1)! при целых поло√жительных k, Γ(1) = 1. Замена в интеграле Пуассона даст Γ(1/2) = π.Полезно отметить, что показательное распределение есть частный случай гамма-распределения: Eα = Γα, 1 .У п р а ж н е н и е .

Нарисовать график плотности распределения Γα, λпри λ < 1, при λ = 1 и при λ > 1, отметить на этом графике точкиэкстремума, точки перегиба и иные особенности графика.Функцию распределения гамма-распределения можно записать, вообщеговоря, только в виде интеграла:ZxαλFξ (x) =tλ−1 e−αt dt.Γ(λ)0Но при целых значениях параметра λ интегрированием по частям этотинтеграл можно превратить в сумму:Fξ (x) = 1 −λ−1X(αx)kk!k=0−αxe=∞X(αx)kk=λk!e−αx .(13)У п р а ж н е н и е . Доказать первое из равенств (13).

Доказать следую= Παx .щее забавное равенство: Fξ (x) = P(η > λ), где η ⊂Распределение Коши. Говорят, что ξ имеет распределение Коши13= Ca,σ , если ξ имеет следуюс параметрами a ∈ R, σ > 0, и пишут: ξ ⊂щую плотность распределения:fξ (x) =1σπ σ2 + (x − a)2для любого x ∈ R.Плотность распределения Коши симметрична относительно прямойx = a и похожа на плотность нормального распределения, но имеет болеетолстые «хвосты» на ±∞. Функция распределения случайной величины11x−aξ с распределением Коши равна Fξ (x) = + arctgпри всех x.21213πLeonhard Euler (15.04.1707, Switzerland — 18.09.1783, Russia).Augustin Louis Cauchy (21.08.1789—23.05.1857, France).σ64ГЛАВА V.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯРаспределение Парето. Говорят, что ξ имеет распределение Парес параметром α > 0, если ξ имеет следующие плотность и функциюраспределения:( α(1, если x > 1,1 − α , если x > 1,α+1xfξ (x) = xFξ (x) =0,если x < 1;0,если x < 1.то14Часто рассматривают более широкий класс распределений Парето, сосредоточенных не на [1, ∞), а на [c, ∞) при c > 0.С другими абсолютно непрерывными распределениями (хи-квадратПирсона, распределениями Стью́дента, Фишера, Колмогорова, Лапласа)мы познакомимся при изучении математической статистики. С распределениями Вейбулла, логарифмически нормальным и некоторыми другимичитатель познакомится в дальнейших курсах.§ 6.