Голованов В.В., Яковлев А.О., Проектирование аналоговых и цифровых фильтров, страница 5

Пересчет нулей и полюсов аналогового шНЧ-прототипа в нули и полюоы системной Функции диокретного Фильтра заданного типа. 4. Запись системной функции днокретного Фильтра. 5. Составление 4ункциональной схемы Фильтра на оонове его системной Функпнн. 8. Расчет и построение АЧХ дискретного Фильтра; проверка выполнения исходных требований. \/'~ Ф, «е » $, « « '~6 '$ Ъ= « «ь е кл % 3 «Ъ,й ч.е 33 по исхо ным анным «' М ш ь ««М и « « « « « 'Ъ Ъ ц « с с ь ««ъ« ' й «й ь « « « « м с« н й Л Ъ « с" Ф «3 И и»'с» Ю « м 3 « т с ао о « « 8- М л и т « о ь[м с « с '3 СУ„ е» ь~ «ЧМ И е 3 С» о й '3 3 3 Ю « Ч,й « Ф Ф ш.

ь«« «)М ь«с И Ъ« С) и „/„'Ъ. р з и % з Ю Ю е Ъ й ° ( ««4 3 $- 3 ЧС ~4 з 37 4.1.2. Оп еление т бований к аналогов и тоти При синтезе дискретного фвльтра по аналоговому прототипу проиоходит нелинейная трансформация частотного масштаба. Интервал частот (д ) преобразуется в интервал (О~'/Я). При этом некоторые учаотки частотной харекте1шатики полученного фильтра оказываются сжатыми по сравненвю с прототипом, другие, наоборот, растянутыми, изменяется соотношение между границей полосы задерживания и полосой пропусканля, Зти особенности должны быть учтены п1ш определении порядка прототипа.

Все необходимые для пересчета форнулы приьедены в табл. 4.1. Покажем на двух примерах, как ими пользоваться. П е 1. ок тный ФНЧ. Пользуясь табл. 4.1, определим зависимость между частотными шкалами аналогового и диокретного фильтров; График етой функции пр»педен в табл. 4.1. Лучу Ы ш [О, оо) соответствует отрезок Он[О,й~т~. При таком преобразовании частотной оси справедливо неравенство Я «йй- -ьь, где я„и аь — за- 3 ®и чЬ данные граничные частоты полосы прспуокания и полосы зедерживания. Очевидно при етом, что частотная характеристика аналогопого прототипа оказывается более (шстянутой, чем у дискретного фильтра, и к прототипу предъявляютая менее жесткие требования.

Перед тем как проводить расчеты, убедимся, 'что для частоты диокретизации )л =//Т выполнено условие ~ >2Д, где у - граничная частота полосы зедеркввания, поскольйу если ово не выполняется, фшльтр с заданными параметрами поотрсить нельзя. Заметим также, что при проведении расчетов удобпее пользоваться не значениями частот, а угловыми величинами: 6~ Вал Т цРп Т, ф= ЯЯ,З~ Т цл Т Константа 7" находится из условия получения требуемой полосы пропускания по формуле у" «гф"-и, а граничная частота полооы зздер- Ч н ' Я живанзя аналогового шНЧ-прототйца рассчитывается как Я - /"ф я .

В результате получаем следующие треба~анин к ФНЧ-прототипу: ~ = 1, ~рз, а;„с~(две последние величины берутся из исходных данных). Зб ф «~ 3 « 3 Л «й «1Д йе Д~-: « чс са з. +, « Э 9 «« ь е «« сч ч с « ш $ ь» з ю ю с» П е 2. Полосно-и о льт . Связь мекку частотами анелогоиого ФНЧ-прототипа и дискретного ППФ определяем в гра$е 3 табл. 4.1: ф -сэлынТ Йыв и/Т Ы' Ы м »' % ъ н Ь Н '» М Ы Ы Ы » Е Ы О Ю 1 Ы И 'Ф ЫЫ„ м' ф Ы Ы ! » Ы » Ы Ы ° е И ь') Ы~: Ъ у ° в ЫЫ = » Ч Й Ы и Ы 'Ы Ы Ы Ы 9. м ЗЫ ылз .и Ы» Ъ ЫЫ + » ЫЫ Ы И И» И Ъ» Ы ЫЫ.

Ы .И й » Ы Ы '+~ »Ы Ы .Ы» » » ЫЫ зт з Ы с Ы .". э ь. Ы Ы а. 5 » Ы Ъ Ы Я~ М Е" ы и 'ь Ы » Ы ) а Зй 3 Ы П » ЫР, м Ф М Ы ,Ы ъ, » 4„ ,.Ы» ГраФнк, построенный на основе этой зависимости, приведен в табл. 4.1. Как и ранее, расчет начинаем с проверка эеличины чаототы дискретизации: она долина удовлетворять условию ~ > ЯДы; затем ПЕрЕХОдИМ К уГЛаВЫМ НЕЛИЧИНаы: 'Р„ы = Н~ Т, Зы - ц Т, (Л,н - ж, Т, где ынн, в„„,а~ы,аф„заданы. По Форыулем табл. 4.1 вычисляем константы у" и у .

Лалее рассчитываем граничные частоты полосы задеркниания аналогового ФНЧ-прототипа; ы „. Ф- мылил - „й-ссеРзн Нз дзух полученных значений эыбираем соответствуюнее более жестким требованиям 4Рл = ыыыыыы ( Я,,1Яз ! ) В результате найдены параметры ФНЧ-прототипа: Я, ас, а. (две последние неличины заданы).

Оозерщенно аналогично определнютоя требования к прототипу и при синтезе ФВЧ и ПсФ. Выбор порядка прототипа и определение координат нулей и полюсов его передаточной Функции произэодится точно так же, как и пры синтезе аналогозого Фильтра. Руководатэуяоь справочником е1), определяем минимальный порядок, а затем иыписывыем из нужной таблицы справочника нули н полюоы ФНЧ-прототипа (см.

разд. 2.4). 4.1.3. Оп еленке кос нат н ле и полюсоз системной ск тного ьт Лля получения координат нулей и полюсов сиотемной Функции дискретного Фильтра используются Формулы обобщенного билинейного преобразования, прннеденные в гра4е 4 табл. 4.1. Рассмотрим основные особеннооти этого этапа на примере расчета ФВЧ и ППФ. П име 3 " ск тный ФВЧ.

Лля расчета координат Нулей и полюсов заменяем )с на его выражение'через х ы (4.1) ~ х-с Г 'зя Д~ е я где )С = си+0) Представим вычиоленные значения полюсов в показательной форме: х„- ~„е ~ ", О ~„<т', -хмМ„к ж' Поскольку нули аналогового прототипа лежат на ослу, их модули в х-плоокооти равны единице, поэтому достаточно определить только угловые координаты нулей: ®- -'Ф вЂ”,"- Полученные нули представим в форме «у'Щ Х, - Е, —,Х я Сс, < ю . Наличие знаменателя»-1 в фо(муле (4.1) приводит к появлению дополнительных нулей Х= 1, количество кото(ых равно разаости между числом полюсов и нулей в аналоговом Ф(г(-прототипе.

П име 4. ск тиый ППФ. Для нахождения полюсов дискретного ППФ воспользуемся формулой билинейного преобразования: Х'-РНХ+М (4. 2) хл — т где ~"и Ы вЂ” константы, определенные на предыдущем этапе синтеза. Используя зту формулу, получим полюсы дискретного ППФ: Ю.у Ю-Р)-~~ я у" р ~~+я -ю ь' у"(а (х ~а>.~~(р м» где )Оя = 4+,У Выражение (4.В) дает сразу две пары полюсов, образующихся из одной пары подвози анелОГОвого ФНЧ-прототипа. При использовании етого выражения может возникнуть затруднение в вычислении корня из комплексного числа. Известно, что где т' = а~у(ж+/у) — угол между вектором с координатами (ж, (у) и положительным направлением действительной оси, Й = 0,1.

Так как перед корнем в формуле (4.3) уже стоят два знака (т), можно положить й= О, Рассчитанные значения полюсов запишем в показательной форне: т/с)ю х ~„е, 0<у„'<1, -ж я Ф~„я х, Модули нулей в х-плоокости равны единице, а их угловые координаты можно определить как ф агсЬ~() ж ги'сф'( Таким образом, каждый нуль ФВН-прототипа будет порождать два нуля дискретного ППФ. Номплексные значения нулей записываем в показательной форме: ту'($ ж я, - в ы 5~ ы з'. Обратим внимание на то, что в фореле преобразования переменных (4.2) в знаменателе стоит выражение х~-т .

В результате этого на диаграмме нулей и полюсов будут появляться дополнительные нули в точках х= 1 и х= -1. Количество таких пар равно разнооти между числом полюсов и нулей в аналоголоы ФНЧ-прототипе. 4.1.4. Запись системной нк и ск тного т Располагая координатами нулей и полюсов, заплывы системную функцию дискретного фильтоа: Л ( х - хсь ) Л7<-~ ) (4.4) Л (Х Хай) <=/ где ~ю и я" - соответственно количество нулей и полюсов (тя=м ).

Обычно формулу для К(в) записывают в виде, не содержащем комплексных величин. лля этого попарно раскрывают скобки, соответствуюсие комплексно-сопряженным полюсам и нулям: ( х-хз)(х-х,") х" — Яжгегф, +4 ,)( "л)" х -Н~й батц ' ~п' 40 41 Рис. 4,1 Т) Рис. 4.2 4.1.5. Ст т а ск тных льт ов Т) Задача построения структуры Чильтра по его системной Функции не имеет однозначного решения. можно постооить Фильтр в виде последовательного или параллельного соединения звеньев первого и второго порядка, можно использовать каноническую или прямую структуры. Кроме того, возможны различные комбинации этих вариантов. Покажем нексторые из способов построения структурной схемы на примере Фильтра'пятого порядка.

запишем системную Функцию в виде произведения трех дробей е 3 1+4 ч~$ *~~~» К(») »+Ан, » +йм»+ ФИ» +Аз»+ й,з з Рис. 4.3 К, (») Кл (») К (») (4.6) Произведению системных Функций соответствует последовательное включение звеньев, как показано на оис. 4.1. Каждое звено может быть реализовано в виде прямой или канонической структуры. Два варианта построения звена первого порядка приведены на рис. 4.2, а на рис. 4.3 показаны варианты схем звеньев второго Рис. 4.4 порядка. В результате получается выражение следующего типа: П ( -и ) )) Г»'-2» зЬ; '1) К(х) (4.5) П (»-»„, ) П (»'-г „э»аш М„, «„",) л-у ч э у Здесь в первые произведения числителя и знаменателя включены нули и полюсы, лежащие на дейотвительной оси.

В частном случае они могут отсутствовать, тогда юч, или п равны нулю. Вторые цроизведения содержат сомножители, соответствующие комплексно-сопряженным нулям и пощссам. Отметим, что ж+8т„=та и п,,+8мл=и, По найденной сиотемной Функции М») находится амплитудно-частотная характеристика. Лля этого достаточно в Формулу (4.4) или (4.5) вмеото » подставить е и найти модуль полученного вырэже- УЮТ ния. Если необходимо записать АЧХ в нормированном виде, полученное выражение следует умножить на коэФФициент из трапы 5 табл.4.1.

Численный расчет частотной характериотики следует выполнять с помощью имехщейся программы, походными данными длн которой служат координаты нулей и полюсов системной Функции, записанные в полярной системе координат. По результатам расчетов следует про~ерить выполнение исходных требований и построить тра)ик )К()гс)! Разбиение ХГ») на сомножители ыокно провести несколькими способеыи. Полезное практическое правило заключается в объединении в одном звене наиболее близко расположенных нулей и полюсов, кзк показано на рис. 4.4. Еоли [4.6) представить в виде одной дроби, раскрыв все скобки, то можно прийти к выракению Глз» + ПГ~Х + ГХ Х +Шз» + ГЗ~» + Шс з э 3 з )ГГ») э 3 э ХУ т Ь Хъ+ Ю Х +6» +6,»+ йс Реализация такой сиотемной функции показана на рис.

4.5. Она представляет собой каноническую структуру фильтра 5-го порядка, которая включает два сумматора и число элементов задержки, равное порядку фильтра. Еле один возможный споооб реализации — параллельный. Чтобы получить эту структуру, нужно раэл<лзить системную функцию на сумму дробей, каждой из которых соответствует звено первого или второго порядка. В нашем примере их будет тря: КГХ) = К'Г») +К~'[Х) + К'ГХ) .

Ооответствующая структурная схема приведена на рис. 4 6. к[ТГ а Т) Рис. 4,6 Все перечисленные способы реализации, давая одну и ту же системную функцию, различаются, однако, по величине шумов и чувствительнооти к погрешностям квантования коэффициентов. Выбор в пользу той или аной структуры необходимо будет сделать при анализе характеристик цифрового фильтра.

Более подробно процедуры синтеза дискретного фильтра и его структуры описаны в [В-11]. 4.2. ПЕРЕХОД ОТ ДИСКРЕТНОГО ФИЛЬТРА К ЦИФРОВОМУ В результате решения задачи аппроксимации получается дискретный фильтр а фактически неограниченной разрядностью коэффициентов. При переходе к цифровому фильтру, в котором хранение и обработка отсчетов осуществляется реальными устройствами (элементами памяти, умножителяыи, сумматорами) а конечным числоы разрядов, необходимо осуществить квантование коэффициентов и определить необходимые разрядности входного сигнала и регистров оперативной памяти. 4.2.1.