Голованов В.В., Яковлев А.О., Проектирование аналоговых и цифровых фильтров, страница 2

Они выражаются тремя параметрами: а„а, (такие ше„как и в задании) и ~~ . 2.4. ПОРЯКОК, НУЛИ И ПО)БОСЫ ФНЧ-ПРОТОТИПА Минимальный порядок ФНЧ-прототипа, необходимый для того, чтобы его АЧХ укладывалась в коридор допуоков (см. рис. 1.2), определяетоя с помощью специальных графиков, которые можно найти, например, в [1, с. 21-25). Пршмерный вид графиков показан на бв риа. 2.1. Кля того чтобы воспользоваться ими, осталось лишь рассчитать суммарное затухание а по формуле где лш- дополнительное затухание, определяемое по известному допусти- мому затуханию в полосе пропуска- ния а„ из табл. 2.2. Если в таблице нет нужной величины а , то необходимо взять ближайшее из меньших, с' чем заданное, значений. вслед за этим нужно посмотреть, как ложится точка с координатами Я, и а на график (обратите внимание, что для кзждого типа фильтра график свой).

Если она оказалась меж)гу линиями, опралеля~щими порядок фильтра, а так скорее всего и произойдет, то нужно взять наибольший порядок. Таблица 2.2 Основной объем справочнвка [1) занимают таблицы, кото)ыми следует воспользоваться для определения нулей и полюсов передаточной функции ФНЧ-прототипа. Табл. 2.3 является примером построения таких таблиц. Каждая из них соответствует определенному значению порядка я и величине затухания ю„ (заметьте, что в [1) она обозначена ~4,). ))ля табл. 2.3 ~э= 5 и а„= 1,25 дБ.

Кроме того, существуют три разновидности чебншевских и эллиптических фильтров четных порядков (случаи и,й и с ), обладелщие небольшими различиями в частотных характеристиках (см. [1, с. 18-19)). Фильтры Баттерворта и Чебышева имеют в каждой таблице по одной строке. Они обозначены соответственно буквами Р и У' . Напротив, эллиптическим фильтрам (обозначение С ) отведено гораздо больше места, поскольку их параметры зависят еще от одного показателя— модульного угла В.. Для выбора нужной строки следует воспользоваться требуемыми значениями.ьР и ал(их обозначения в [ 1) - Яу и ая-), пРичем допустимо, что Я"я 4) и а"за~, где ~" и ш," - значения соответствуацих параметров, имеющиеся в таблице.

Если п)шведенные неравенства становятся строгими, то обеспечивается запас по затуханию и по граничной частоте полосы закершивания. Из нужной таблицы и подходящей строки необходмо выписать нормированные координаты нулей и полюсов. Обратите особое внимание на то, что в [11 чаототы нулей обозначаются Я~ з... потому что характеристика затухания на этих частотах стремится к бесконечности.

Мы примем это обозначение. Нули лежат на мнимой оси плоскости комплексной чаототы с , поэтому значения пары нулей записываются в виде ~„е = ау'Я „ ( 4- порядковый номер пары нулей). Координаты полюсов в таблице обозначены Г„ и + Зе, а коыплексные значения пары аопрякенных полюсов вырзжнютая как р >-— с„ту~9„,, причем.~„<О. Фильтры Баттерэорта и Чейниева нулей не имеют. Иля фильтров Чебышева и млиптических фильтров в таблице приведены значения ноРыиРованных частот ъ«с«, котоРые Явлаюток нУлыми хаРактеуыстики затухания и частотами "горбов" амплитудно-частотной характерысти- ки в полосе пропускания Этими величинами можно воспользоваться как справочными, они не нужны для записи передаточной функции. Последняя колонна таблицы содержат иорщровочный коэф4шциент С передаточной функции.

В табл. 2.3 есть грайы, которые мы пока не использовали. В них даны нормированные значения емкостей и индук- тивностей, применяемых при реализации лестничного 1С-фильтра, Об атом будет сказано в равд. 3.1. Вместо справочника ]1] можно воспользоваться и другими, на- пример ~2-5]. При этом удается преодолеть. один существенный не- достаток справочника (1]: в нем отоутствуют данные для м„и'3 дБ. В ряде справочников (например, ],5]) вместо координат полюсов и нулей приведены коэффициенты передаточной функции Л, д и С . Однако эту информацию можно использовать для вычисления координат нулей и полюсов, применив следующие формулы: Я, = Цтя, й,и-С для действительного полюоа, ]с, = — к — у']~К-- для комплексно-сопрязвнйых полюсов.

В+ .,г — эч О В'Ъ \ В В В ЧВ о г а а МЪ О а чъ Т о м а О аа О3 «О О О О О а 3 О а О а из Я о м \Р В а Ооо" аа ич а а «з о а 4' а а а ч О Й и 'ч о о а чз 8 О„Ф о оч ап., +! а чз Ч ° О ЧЪ аъ ВЗ ч а мЙО Ы «З" Сз чъ «ь ЧВ ч О Я О Вч М ВЧ О о чъ «з о о и и им о =а И ч«О ооа В и Оао чъ о о о ч ч« ВЗ 3 М О«з О" а о а 8 я а" а а" ОЗ- МО а о о а а а О а а о а Э а а О а Ъч а ОО О Э' а В'3 ЧЗ и чъ чъ чъ а чъ а ч чъ я а а а чз В В В- ч а и В' 'а чз о а "з' чъ и ЧВ и М чз о" а а Я а о Ъ В а о" чъ В Ъ Ъ 'а О 2.5. НУЛИ И ПОЛЮСЫ СИНТЕЗИРУНКГО ФИлБТРА о чъ г и я а а" Ъ ВЪ ч а м чз чз ч' О и В В'Ъ О м ч з и ЧВ .Ъ а О Вз ЧВ о Вз О '4 чз оОа а и ВЪ О Чз ЧВ о 3 $ О Ййа а Ча Ои 'ай а а и и и и чз В- чъ ,- о. чз ВЧ Ч.

ЧЗ ВЧ ЧЪ ЧЪ ч В- О ВЧ М «3 о '3' чъ 10 Пересчет координат нулей и полюсов ФНЧ-прототипа в соответотвуюшие параметры синтезируешого фильтра осушествляется по формулам, приведенным в табл. 2.4. При этом следует обратить внимание на следуюшие моменты: 1) данные формулы получены на основе правил земеэы комплеконой переменной ю при переходе от ФНЧ-прототипа к другим видам фильтров ~1, с. 27-391, ~6, с. 25-32]; 2) кажлый полюо или нуль при переходе от ФНЧ-прототипа к ППФ или ПЗФ порождает два полюса или два нуля, так что порядок синтезируемого фильтра по сравнению с прототипом уваничивается в два раза; 3) помимо нулей, вычисленных по щшведенным формулам, появляются дополнительные нули д, = О, количество которых 1кратность) равно разности между числом полюсов о и нулей зв ФНЧ-прототипе; сказанное опрзведливо для ФБЧ и ППФ и обуоловлено пересчетом в начало координат чт-плоскости чз чъ-Кратлого нуля ФНЧ-прототипа, расположенного в бесконечности; 11 Т а б л и ц а 2.4 Нули Лсл!ось! ро!.=О ьйе о! — ! «1 х-г ФУ» У ~/~-Т, 2рй'н ' (лз р) !к- колонок По нолик Ц ьФ но з т - колиненюпо нулей Э ноно †ли ~ай,йн! — » А гн«н ("ое.о,л.з — —,) ~~а гп-, *и Л нн;-!(~~~ н нн (ППеР), 1 ! ' ! )~ "гс+ «Ц~~ !)-ф~,, (((ВЧ9, 4и),г,..., г А !У,э,..., гт-л ~о(= О.

Ь о 2т+(, глн«2, ..., а«т ( а!) Ча), (ной,йн! Д и (, = 2ни+п, 2нн+Ън ... и 2а;! )Ои А,йо! ~! -,)Уэ У! хаев и он к,!Ни к лн ахал.рк, !Н! к«уо. и (,2, ..., (а+ ()! 2~ ь О (а-ченмое), ь и ! (в-нннтное Аи!.Ъ,о,..., л-! (н — нелкное), Ми!,г,»,6. °,е-! (л-ннноннон) ~)л А,А.! еП»«Х,~У» (гл й+о,й+ьхап «~ Я~+ 'к 2 2ан, ~е (1 (ППЧ), (мп «) е (пзФ), )) ел П, 2, ..., (а+ () /2, Х а(л-четкое), ( ! (л-леннон»о !(и !, Ф; и, „, 2 л - Л (о - нотное) Аи (,5,7,!!..и 2л-о (л-нное ное 4) прн переходе к ПЗФ каждый иэ л-но нулей ФНЧ-прототипа, находящихся в беаконечноста, пересчитываетая в пару нулей )),-еу; 5) в результате пересчетов сказывается, что лля ФВЧ и ПЗФ количеатво нулей равно количеатву полюсов, а лля ППФ чиало нулей на оо-но меньше числа полраовэ 6) при вычислении полюаов ППФ и ПЗФ группируются значения .с„ а,б» с рваными инлекаами "+" и "-", в результате чего полюс, расположенный на р -плоскости блиае к мнимой оси, имеет меньшую частоту.

Расчеты алелует веати а высокой точностью, аапольэуя не менее 5-Б значащих цифр. В противном случае, особенно при выаоком порядке фильтра, возможны аерьеэные иаквжения АЧХ. Нули и полюаы передаточной функции полезно изображать графически в аиде диаграммы, располагая их на плоакоати комплексной частоты. Опытный вэглял на такую диаграмму позволяет легко раапознать, какой тип фильтра, с каким видом частотных характеристик будет ревлиэоввн. Типичные диаграммы нулей и полюаов ФНЧ, ФВЧ, ППФ и ПЗФ изображены на риал 2.2.

Рекомендуетая помеатить подобнув диаграмму в пояанительную эапиаку по кураовой работе. На рис. 2.2,в укрупненно пскаэана часть диаграммы„ где сгруппированы полюсы. Хорошо видев перекос во взаимном рааполажении поле аов, авяэанный а расшеплеяием дейатвительных частей ы:„ на о»,и й», 2.6. ПЕРЕПАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И АЧХ Рааполвгая координатами нулей и полюаов аинтеэируемого фильтра, можыо записать передаточную функцию: Ал(р) Х ( (2.1) „, (р рль) где !И - количеа'пво нулей, А! - количеатво полюасш аинтеэируемого фильтра; К,- нормировочный коэффициент.

Анаграмма нулей и'полюсов определяет передаточную функцию с точноатьв ло поатоянного мнсшителя, но ка форму АЧХ это не оказывает влияния. Еала не требуетая обеапвчивать определенное эначение коэффициента передачи фильтра на какой-либо характерной частоте, то коэффициент А' мозно выбрать проаэвольно, например положить равным единице. АЧХ удобно пред ставлятв в нормированном ваде. С этой целью коэффициент )~ выбирается таким, чтобы тпах ! К(р-(ьй)! 4. 13 Значения коэффициента М; для различных видов и типов фильтров приведены в табл.

2.5. В ней 6 — зто коэффициент, взятый из последней колонки таблицы справочника Ш , ф = 1/(Я„, - Ф„,)- параметр преобразования для ППФ и ПЗФ, ю - порядок ФВЧ-прототипа, а„ - значение максимального затухания в полосе пропускания, стоящее в заголовке используемой таблицы из (1] (оно может отличаться от заданного а„). Таблица 2Л 14 Если в формуле (2.1) попарно раскрыть скобки, группируя множители с комплексно-сопряженными нулями и полюсами, то получим передаточную функцию в следуацем виде: Ф/л (2.2) (о-ж,) Л (е~-2 ге,о+И„"+~6,~И М ~+4 где и = О, если Л( — четное, э = 1, если Лà — нечетное.

Формула (2.2) записана для ФВЧ. Аналогичные выражения можно полу- чить и Лля ФВЧ, ППФ, ПЗФ. Иногда требуется денормировать передвточную функплю, т.е. учесть реальные значенвя частот. Лля этого переходят от переменной р к переменной з =дв„, где «~„= сд„=.8Я, (ФНЧ, ФВЧ) илн Ю„= Ф= Щ' (ППФ, ПЗФ). Все нули и полюсы передаточной функции такие подвеРгвютоЯ деноРмиРованию: Я~ = Р~А ы, г =мсьсь . После спиоинной процедуры выражение (2.2) приобретает внд: К! г) !~~, А) П ("-~~~,~~.л+(,э+~",) ° э и Переыеннея з и частота ы„выражаются в радивнэх на секунду (рад/с). АЧХ длн нормированных частот определяется выражением Л'(а)- ! Х(У)!р„у~ . Например, на основании (2.2) получим (2.3) Фа* З' П ь~"у„'- '> ° ~,э' з и По формуле вида (2.3) рааочитывается АЧХ с использованием програаы для ЭВМ нли программируемого калькулятора илн, в крайнем случае, на обычном калькуляторе в несдольких характерных точках.

Типичные АЧХ эллиптического ФНЧ, ФВЧ Чебышева, ППФ Баттерворта и эллиптического ПЗФ приведены на рис. 1.2. Лопуатимо рассчитывать АЧХ для реальных частот, воспользовавшись следущсим преоб)азованнем денормированной передаточной функции: К(в))-! К(у)(, „, однако это зачастую излишне, поскольку реельная ось частот легко сопоставляется с нормированной осью (см.

рис. 1.2). 3. РЕАЛИ АНАЛОТОВОГО ФИЛЬ А 3.1. ЛЕС ТНИЧНАН И'-СТРУКТУРА АА' -фильтр с лестничной структурой представляет собой пассивную линейную цепь, построенную путем соединения нндуктивностей и емкостей. Такая схема имеет многочисленные внутренние связи. Метод раочета леатяичных структур предполагает переход к оперв- 16 торной схеме замшцения цепи, запись ее передаточной функции и сривнение выраженных через элементы схемы коэффициентов полиномов в числителе и знаменателе передаточной функции а коэфйициентеми полиномов передаточной функции, полученной на этапе аппроксимации. Решенне сформированной оистемы уравнений позволяет определить значения элементов схемы. Такие ресчеты выполнены нв ЭВМ, а их результаты занесены в справочники.