Лекции по статистической физике - Максимов (Лекции по статистической физике - Максимов.pdf), страница 9

Äëÿîáû÷íûõ ÷èñåë òàêàÿ ôàêòîðèçàöèÿ ýëåìåíòàðàíà (a2 + b2 ) = (a + ib)(a − ib). Äëÿîïåðàòîðîâ ïðîäåëàåì àíàëîãè÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå, íå çàáûâàÿ, îäíàêî, îá èõ íåêîììóòàòèâíîñòè. Ââîäèì íåýðìèòîâû, ñïðÿæåííûå äðóã äðóãó îïåðàòîðû1â = √ (Q̂ + iP̂ );21â+ √ (Q̂ − iP̂ )2(6)Ñîîòâåòñòâåííî, îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå èìååò âèä1Q̂ = √ (â + â+ );2iP̂ = √ (â+ − â)2(7)Ýòî ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïðèâîäèò êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó (4) ê âèäóP̂ 2 + Q̂2 = â+ â + ââ+Îñòàëîñü âûÿñíèòü êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ îïåðàòîðîâ â è â+ .´£¤ 1i³â, â+ = [(Q̂ + iP̂ ), (Q̂ − iP̂ )] =[P̂ , Q̂] − [Q̂, P̂ ] = 12242(8)(9)Ëåêöèÿ 5. Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ðåøåòêèî÷åâèäíî òàêæå, ÷òî [â, â] = [â+ , â+ ] = 0Áåçðàçìåðíûé ãàìèëüòîíèàí (4) ñ ó÷åòîì (8) è (9) ïðèíèìàåò âèäĥ =1 +11(â â + ââ+ ) = (2â+ â + [â, â+ ]) = â+ â +222(10)Îêîí÷àòåëüíî, ãàìèëüòîíèàí (1) ïðèíèìàåò âèä1Ĥ = ~ω (â+ â + )2(11)Êàê èçâåñòíî, ýíåðãèÿ n-íîãî ñîñòîÿíèÿ îñöèëëÿòîðà ðàâíà1En = ~ω (n + )2(12)Ñðàâíåíèå (72) è (73) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå â+ â èìååò ñìûñë îïåðàòîðàíîìåðà âîçáóæäåíèÿ îñöèëëÿòîðà, ò.å.

ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ýòîãî îïåðàòîðà äëÿ níîãî ñîñòîÿíèÿ îñöèëëÿòîðà |ni ðàâíî n.â+ â |ni = n |ni(13)Ýòî ñîîòíîøåíèå âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè åäèíñòâåííûå îòëè÷íûå îòíóëÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðîâ â è â+ ðàâíû√(14)hn − 1| â |ni = hn| â+ |n − 1i = nÄåéñòâèòåëüíîhn| â+ â |ni = hn| â+ |n − 1i hn − 1| â |ni = nÄëÿ íàãëÿäíîñòè, ñîñòîÿíèå îñöèëëÿòîðà |ni íàçûâàþò ñîñòîÿíèåì ñ n ôîíîíàìè.Òîãäà îïåðàòîð â+ â íàçûâàþò îïåðàòîðîì ÷èñëà ôîíîíîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååòýíåðãèþ ~ω .

Ïðè ýòîì ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû (14) ÷èòàþò ñïðàâà íàëåâî è íàçûâàþòîïåðàòîð â îïåðàòîðîì ïîãëîùåíèÿ ôîíîíà, à îïåðàòîð â+ îïåðàòîðîì ðîæäåíèÿôîíîíà.  ñïðàâåäëèâîñòè âñåõ ïðåäûäóùèõ ôîðìóë ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî óáåäèòüñÿ, âûðàæàÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îñöèëëÿòîðà ÷åðåç ïîëèíîìû Ýðìèòà è çàïèñûâàÿîïåðàòîð ïîãëîùåíèÿ â ôîðìårrMω1+ ip̂â = x2~2~M ωÐàññìîòðèì êâàíòîâîìåõàíè÷åñêóþ çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé êðèñòàëëà, êîòîðàÿ ñâîäèòñÿ ê ïðîáëåìå äèàãîíàëèçàöèè ãàìèëüòîíèàíà:H=X p2j1X+U (ri − rj ).2M2ji,j43(15)Ëåêöèÿ 5. Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ðåøåòêèÇäåñü ïåðâàÿ ñóììà åñòü ñóììà êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé àòîìîâ, êîòîðûå êîëåáëþòñÿ îêîëî óçëîâ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêèRjα = aα1 n1 + aα2 n2 + aα3 n3 .(16)Òðè âåêòîðà aα1 ,aα2 ,aα3 ýòî òðè ïåðèîäà ðåøåòêè.

Ïðèìåì, ÷òî ÷èñëî íîìåðîâ óçëîâ j = (n1 , n2 , n3 ) â êàæäîì èç òðåõ íàïðàâëåíèé ðàâíî N1 , à ïîëíîå÷èñëî ðîñïîëîæåííûõ â óçëàõ àòîìîâ êðèñòàëëà ðàâío N0 = N13 . Âòîðàÿ ñóììà â (15) åñòü ñóììà ïîòåíöèàëîâ ïàðíûõ âçàèìîäåéñòâèé àòîìîâ. Ãàìèëüòîíèàí(15) èìååò êëàññè÷åñêèé âèä, íî, ôàêòè÷åñêè, ÿâëÿåòñÿ êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèìîïåðàòîðîì, ïîñêîëüêó êîîðäèíàòà è èìïóëüñ êâàíòîâîé ÷àñòèöû óäîâëåòâîðÿþòêîììóòàöèîííîìó ñîîòíîøåíèþ (ïðèíöèïó íåîïðåäåëåííîñòè Ãåéçåíáåðãà):£ α β¤r , p = rα pβ − pβ rα = i~δ αβ .(17)Îòêëîíåíèÿ (ñìåùåíèÿ) àòîìîâ îò ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿuαj = rjα − Rjα(18)ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåæàòîìíûìè ðàññòîÿíèÿìè, è ïîòåíöèàëû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå ðàçëîæåíèÿ ïî ýòèì ñìåùåíèÿì:U (ri − rj ) = U (Ri − Rj + ui − uj ) = U (Ri − Rj ) +(19)1+U α (Ri − Rj )(uαi − uαj ) + U αβ (Ri − Rj )(uαi − uαj )(uβi − uβj ) + ...2Êóáè÷åñêèå è áîëåå âûñîêèå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ áóäåì îïóñêàòü.

Ïîäñòàâèìýòî âûðàæåíèå â (15). Ñóììà íóëåâûõ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ äàåò ïîòåíöèàëüíóþýíåðãèþ êðèñòàëëà, êîãäà âñå àòîìû íàõîäÿòñÿ â óçëàõ ðåøåòêè U0 .Íàñ èíòåðåñóþò âîçáóæäåíèÿ êðèñòàëëà è ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó U0 áóäåì îïóñêàòü.Ñîâîêóïíîñòü ëèíåéíûõ ïî ñìåùåíèÿì ÷ëåíîâ ðàâíà íóëþ¤1 X£ αU (Ri − Rj )(uαi − uαj ) = 0,2 i,jò.ê.

â ðàâíîâåñèè ðàâíà íóëþ ñóììàðíàÿ ñèëà îêðóæàþùèõ àòîìîâXU α (Ri − Rj ) = 0(20)(21)jÎïðåäåëÿþùóþ ðîëü â ãàìèëüòîíèàíå êðèñòàëëà èãðàþò êâàäðàòè÷íûå ïî ñìåùåíèÿì ÷ëåíû:H=´X p2j¡¢³1 X 1 αβ+U (Ri − Rj ) uαi − uαj uβi − uβj .2M2 i,j 2j(22)Ýòî ãàìèëüòîíèàí êðèñòàëëà â ãàðìîíè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè. Îí çàäàåò ýíåðãèþ êðèñòàëëà êàê ôóíêöèþ 6N ïåðåìåííûõ ñìåùåíèé àòîìîâ uαj è èõ èìïóëüñîâpαj = M dtd uαj . Ñîâîêóïíîñòü ñìåùåíèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê 3-õ êîìïîíåíòíóþ âåêòîð-ôóíêöèþ, çàäàííóþ â äèñêðåòíûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà Rj è äëÿ âñåõ44Ëåêöèÿ 5. Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ðåøåòêèìîìåíòîâ âðåìåíè t. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ ãàìèëüòîíèàí êðèñòàëëà åñòü ôóíêöèîíàë îò äèñêðåòíîãî ïîëÿ ñìåùåíèé, àíàëîãè÷íî òîìó êàê ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ åñòü ôóíêöèîíàë îò 4ìåðíîãî ïîòåíöèàëà, çàäàííîãî âî âñåõ òî÷êàõïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè.

Ïîýòîìó çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèéêðèñòàëëà (è èõ êâàíòîâàíèÿ) ïîëíîñòüþ ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.Äëÿ ïîëíîãî îïðåäåëåíèÿ êîëåáàíèé íåîáõîäèìî çàäàòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿíà ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëà. Åñëè ñïåöèàëüíî íå èíòåðåñîâàòüñÿ ïîâåðõíîñòíûìèêîëåáàíèÿìè, òî íà ñìåùåíèÿ ìîæíî íàëîæèòü óñëîâèÿ ïåðèîäè÷íîñòèuαn1 ,n2 ,n3 = uαn1 +N1 ,n2 ,n3 = uαn1 ,n2 +N1 ,n3 = uαn1 ,n2 ,n3 +N1 .(23) ðåçóëüòàòå ãàìèëüòîíèàí (22) ñòàíîâèòñÿ ÿâíûì îáðàçîì ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûì, ò.ê. åãî âèä íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåíîñå íà÷àëà êîîðäèíàò èç îäíîãîóçëà â ëþáîé äðóãîé. Âñå ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûå ôîðìû äèàãîíàëèçóþòñÿâ èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè.

Ïåðåõîä ê èìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå, ò.å. ðàçëîæåíèåì ñìåùåíèé è èìïóëüñîâ àòîìîâïî ïëîñêèì âîëíàì:1 X α ikRj1 X αuαj = uα (Rj ) = √uk eu (R)e−ikR ,(24), uαk = (uα−k )∗ = √N0 kN0 R1 X α −ikRjp e,pαj = pα (Rj ) = √N0 k k1 X αpαk = (pα−k )∗ = √p (R)eikR .N0 R(25)Çäåñü è äàëåå èç ñîîáðàæåíèé óäîáñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñìåùåíèé èèìïóëüñîâ îòëè÷àþòñÿ çíàêîì â ýêñïîíåíòå. Ñîïðÿæåííîñòü êîìïîíåíò ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè ñëåäóåò èç äåéñòâèòåëüíîñòè (ýðìèòîâîñòè)ñìåùåíèé è èìïóëüñîâ. Äëÿ êðàòêîñòè ó ðàäèóñà Rj áóäåì îïóñêàòü íîìåð óçëà.Ïîäñòàâèì ðàçëîæåíèÿ Ôóðüå â (22) è ïîìåíÿåì ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèÿ:H=X pαk pα−kk2M+1 X α β αβu u U ,2 k k −k kÇäåñü èñïîëüçîâàíî ñîîòíîøåíèåXei(k1 +k2 )R = N0 δk1 ,−k2(26)(27)Rè ââåäåíî îáîçíà÷åíèåUkαβ =X1R2U αβ (R)(eikR − 1)(e−ikR − 1) =XU αβ (R)(1 − cos(kR)).(28)RÈòàê, ãàìèëüòîíèàí ðàñïàëñÿ íà ñóììó ïî âîëíîâûì âåêòîðàì, íî ïîòåíöèàëüíàÿýíåðãèÿ ïî-ïðåæíåìó íåäèàãîíàëüíà ïî òåíçîðíûì èíäåêñàì.

Âûðàæåíèå U αβ (R)åñòü âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ïîòåíöèàëà ïàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è ïîýòîìó îíîäåéñòâèòåëüíî è ñèììåòðè÷íî ïî âåðõíèì èíäåêñàì. Ñîîòâåòñòâåííî äåéñòâèòåëåí è ñèììåòðè÷åí òåíçîð (28). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ìîæíî45Ëåêöèÿ 5. Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ðåøåòêèäèàãîíàëèçîâàòü ïóòåì ðàçëîæåíèÿ ñìåùåíèé ïî ñîáñòâåííûì âåêòîðàì ïîëÿðèçàöèè êîëåáàíèé eαks :Xuαk =uks eαks , Ukαβ eβks = M (ωks )2 eαks , eαks eαks0 = δss0 , s = 1, 2, 3(29)sÒàêîå æå ïðåîáðàçîâàíèå ïðèìåíÿåì ê èìïóëüñàì:Xpαk =pks eαks ,(30)s ðåçóëüòàòå ãàìèëüòîíèàí (26) ïðèíèìàåò âèä¸X · pks p−ks M2H=+ (ωks ) uks u−ks ,2M2(31)ksÊàæäûé ÷ëåí ñóììû íàïîìèíàåò ãàìèëüòîíèàí íåçàâèñèìîãî îäíîìåðíîãî îñöèëëÿòîðà ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé ωks , íî äëÿ îêîí÷àòåëüíîé äèàãîíàëèçàöèèãàìèëüòîíèàíà ñëåäóåò èçáàâèòüñÿ îò ïðîèçâåäåíèé ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè.

Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî êîìïîíåíòû ñìåùåíèé è èìïóëüñîâ ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè k íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè âåëè÷èíàìè, à ýðìèòîâî ñîïðÿæåíûïî îòíîøåíèþ äðóã ê äðóãó, âûïîëíèì åùå îäíî ïðåîáðàçîâàíèå:uks = Qks (bks + b∗−ks ),Qks = Q−ks ,pks = i Pks (b∗ks − b−ks ),Pks = P−ks . (32)Òàêîé âèä ïðåîáðàçîâàíèé ÿâíûì îáðàçîì îáåñïå÷èâàåò äåéñòâèòåëüíîñòü (ýðìèòîâîñòü) ëåâûõ ÷àñòåé ýòèõ ðàâåíñòâ. Ñòðîãî ãîâîðÿ âìåñòî çíàêà êîìïëåñíîãî ñîïðÿæåíèÿ (*) ñëåäóåò ïèñàòü çíàê ýðìèòîâîãî ñîïðÿæåíèÿ (+). Ìû ýòîãîíå äåëàåì, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü áëèçîñòü ôîðìóë, îïèñûâàþùèõ êëàññè÷åñêèé èêâàíòîâûé êðèñòàëë. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå íå ïèøåì "ãàëî÷êè"íàä îïåðàòîðàìè.Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå äàåòµµ¶¶1 uksp−kspks1 u−ks∗bks =+i, bks =−i(33)2 QksPks2 QksPksÏåðåéäåì â (31) ê íîâûì ïåðåìåííûì:¸X· 1M2∗∗2 2∗∗H=P (b − b−ks )(bks − b−ks ) + (ωks ) Qks (bks + b−ks )(bks + b−ks ) =2M ks ks2ksX· 1¢¡ ∗2bks bks − b−ks bks − b∗ks b∗−ks + b−ks b∗−ks +Pks2Mks¸M2 2∗∗∗∗(ωks ) Qks (bks bks + b−ks bks + bks b−ks + b−ks b−ks ) .2(34)×òîáû ÷ëåíû ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè ñîêðàòèëèñü ñëåäóåòïîëîæèòüM1 2(35)Pks =(ωks )2 Q2ks2M246Ëåêöèÿ 5.

Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ðåøåòêè ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì äèàãîíàëüíûé ãàìèëüòîíèàíH=X 12Pks(b∗ks bks + b−ks b∗−ks ),Mks(36)âûðàæåííûé ÷åðåç àìïëèòóäû bks è êîýôôèöèåíò Pks , âåëè÷èíó êîòîðîãî âûáåðåì íèæå èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Äî ñèõ ïîð ìû íå ó÷èòûâàëè êâàíòîâóþïðèðîäó äâèæåíèÿ àòîìîâ êðèñòàëëà. Äëÿ ñìåùåíèé è èìïóëüñîâ àòîìîâ êðèñòàëëà ñîîòíîøåíèå (17) ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî âåëè÷èíû, îòíîñÿùèåñÿ ê ðàçíûìàòîìàì, êîììóòàòèâíû, ïðèíèìàåò âèähiα βui , pj = i~δ αβ δij ,(37)êîòîðîå ïî÷òè íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå â ïðîñòðàíñòâî âîëíîâûõ âåêòîðîâhiα βuk , pk0 = i~δ αβ δkk0 .(38)Èç (29),(30) íàõîäèì àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå0[uks , pk0 s0 ] = i~δ ss δkk0 .(39)Íàêîíåö, äëÿ âåëè÷èí (33) êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ èìåþò âèä[bks , b∗k0 s0 ] =[bks , bk0 s0 ] = 0,~2Qks Pks0δ ss δkk0 .(40)Âîñïîëüçóåìñÿ ñâîáîäîé âûáîðà êîýôôèöèåíòà Pks è ïðèìåì~2Qks PksÝòà ôîðìóëà âìåñòå ñ (35) äàåòr~,2M ωksQks =(41)=1rPks =1~M ωks .2(42)Òåïåðü âèä ãàìèëüòîíèàíà (36) ñòàíîâèòñÿ îäíîçíà÷íûì:H=X1ks2¡¢~ωks b∗ks bks + b−ks b∗−ks ,(43)Ïîñêîëüêó âûðàæåíèå (41) ïðèâîäèò âòîðîå êîììóòàöèîííîå ñîîòíîøåíèå (40) êâèäó0(44)[bks , b∗k0 s0 ] = δ ss δkk0 ,ãàìèëüòîíèàí óïðóãîãî êðèñòàëëà ìîæíî ïåðåïèñàòü â îêîí÷àòåëüíîé ôîðì嵶X1∗H=~ωks bks bks +(45)2ks47Ëåêöèÿ 5.

Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ðåøåòêèÊàæäûé ÷ëåí ýòîé ñóììû åñòü ýíåðãèÿ ñîáñòâåííîãî êîëåáàíèÿ ñ âîëíîâûì âåêòîðîì k è îäíîé èç òðåõ ìîä s ñ ðàçëè÷íûìè ïîëÿðèçàöèÿìè, îäíà èç êîòîðûõíàçûâàåòñÿ ïðîäîëüíîé çâóêîâîé ìîäîé, à äâå äðóãèõ ïîïåðå÷íûìè çâóêîâûìèìîäàìè. Ïîñòîÿííàÿ ÷àñòü ýòîãî ãàìèëüòîíèàíàE0 =X1ks2(46)~ωksíàçûâàåòñÿ ýíåðãèåé íóëåâûõ êîëåáàíèé êðèñòàëëà.

Îïåðàòîðû âîçáóæäåíèébks , b∗ks îáëàäàþò ïðîñòûìè ñâîéñòâàìè è èìåþò ïðîçðà÷íûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë.ÏóñòüXH 0 = H − E0 =~ωks b∗ks bks(47)ksè |ni îäíà èç ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ýòîãî ãàìèëüòîíèàíà:H 0 = En |ni .(48)Âû÷èñëèì ýíåðãèþ ñîñòîÿíèÿ ψ = bks |ni:XX(H 0 − En )ψ =~ωk0 s0 b∗k0 s0 bk0 s0 bks |ni − bksωk0 s0 b∗k0 s0 bk0 s0 |nik0 s0(49)k0 s0×ëåíû ñ k 6= k 0 ñîêðàùàþòñÿ, è îñòàåòñÿ(H 0 − En )ψ = ~ωks [b∗ks bks bks − bks b∗ks bks ] |ni = ~ωks [b∗ks bks − bks b∗ks ]bks |ni(50)Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì êîììóòàöèè (44):(H 0 − En )ψ = −~ωks ψ,H 0 ψ = (En − ~ωks )ψ.(51)Èòàê, äåéñòâèå îïåðàòîðà bks íà íåêîòîðîå ñîáñòâåííîå ñîñòîÿíèå êðèñòàëëàñîçäàåò íîâîå ñîáñòâåííîå ñîñòîÿíèå ñ ýíåðãèåé, óìåíüøåííîé íà íà ýíåðãèþ îäíîãî êâàíòà êîëåáàíèé ~ωks . Ïîâòîðèâ ýòè âû÷èñëåíèÿ ñ îïåðàòîðîì b∗ks , íàõîäèì,÷òî îí, íàïðîòèâ, óâåëè÷èâàåò ýíåðãèþ ñèñòåìû íà òàêóþ æå âåëè÷èíó.