Лекции по статистической физике - Максимов (Лекции по статистической физике - Максимов.pdf), страница 8

Ýòîìó òðåáîâàíèþ óäîâëåòâîðÿåò âåðîÿòíîñòüw(n) = (1 − q)q n ,q=n̄.1 + n̄(70)Âû÷èñëÿÿ ñ ïîìîùüþ ýòîãî âûðàæåíèÿ ñóììó (65) è ñóììèðóÿ ïî èìïóëüñàì,ïîëó÷àåì íåðàâíîâåñíóþ ýíòðîïèþ áîçå-ãàçà:XS=[(1 + n̄p ) ln(1 + n̄p ) − n̄p ln n̄p ].(71)pÅñëè ãàç èìååò âûñîêóþ òåìïåðàòóðó, òî ÷àñòèöû ðàñïðåäåëåíû ïî ÷èñëóóðîâíåé, êîòîðîå ìíîãî áîëüøå ÷èñëà ÷àñòèö. Òîãäà n̄(p) << 1, ðàçëè÷èå ìåæäó37Ëåêöèÿ 4. Î çàêîíå âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè...ôåðìè- è áîçå-ãàçàìè ñòàíîâèòñÿ íåñóùåñòâåííûì, è ôîðìóëû (69), (71) ïðèâîäÿòê îäèíàêîâîìó âûðàæåíèþ ýíòðîïèè íåðàâíîâåñíîãî áîëüöìàíîâñêîãî ãàçàS=−Xn̄p lnpn̄p.e(72)Âûðàæåíèå (60) ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå Áîëüöìàíà, åñëè îáîáùèòü ïîíÿòèå ÷èñëà ñîñòîÿíèé íà íåðàâíîâåñíûé ñëó÷àé. Îãðàíè÷èìñÿ íåðàâíîâåñíûìèñòàòèñòè÷åñêèìè ñîñòîÿíèÿìè, êàæäîå èç êîòîðûõ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíî ïîìåõàíè÷åñêèì ñîñòîÿíèÿì (òî÷êàì), èìåþùèì ýíåðãèþ â èíòåðâàëå (E, E + ∆E)è ðàñïîëîæåíî â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè M ôàçîâîãî (ãèëüáåðòîâà) ïðîñòðàíñòâà,êîòîðàÿ ñîäåðæèò ∆Γ òî÷åê.

Òàêîå ñòàòèñòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå îïèñûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì wα = wm äëÿ òî÷åê, â êîòîðûõ ñèñòåìà íàõîäèòñÿ ñ îäèíàêîâîéâåðîÿòíîñòüþ, è wα = 0 â îñòàëüíûõ òî÷êàõ. Èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè íàõîäèìXwα = wm ∆Γ = 1,wm =α1.∆Γ(73)Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ðàñïðåäåëåíèå â (60), ïîëó÷àåì íåðàâíîâåñíóþ ýíòðîïèþ â ôîðìåÁîëüöìàíàXXS = − < ln w >= −wm ln wm =wm ln ∆Γ = ln ∆Γ,(74)α⊂M4α⊂MËåêöèÿ 4. Î çàêîíå âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè...4.1 Çàêîí âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèèÒåðìîäèíàìèêà ïîñòóëèðóåò, ÷òî íåðàâíîâåñíàÿ çàìêíóòàÿ ñèñòåìà ñ òå÷åíèåìâðåìåíè ðåëàêñèðóåò â ñîñòîÿíèå òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ, ïðè÷åì ýíòðîïèÿ ñèñòåìû ìîíîòîííî ðàñòåò è äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ â ñîñòîÿíèèòåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ.

 ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå çàêîí âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè íåîáõîäèìî âûâåñòè èç çàêîíîâ êâàíòîâîé ìåõàíèêè è ìàòåìàòè÷åñêîéñòàòèñòèêè. ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå ýâîëþöèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ëèóâèëëÿi∂ ρ̂= − [Ĥ, ρ̂].(1)∂t~Èñïîëüçóÿ ýòî óðàâíåíèå, íàéäåì çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ýíòðîïèè Ãèááñà(61):·¸∂ ρ̂∂ < ln ρ̂ >= −Sp ln ρ̂−.(2)∂t∂t×òîáû íàéòè ýòî âûðàæåíèå óìíîæèì (1) íà − ln ρ̂ è âîçüìåì ñëåä îò îáåèõ÷àñòåé ðàâåíñòâà38Ëåêöèÿ 4.

Î çàêîíå âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè...no∂ < ln ρ̂ >ii= − Sp{[Ĥ, ρ̂] ln ρ̂} = − Sp Ĥ [ρ̂, ln ρ̂] = 0.(3)∂t~~Èòàê, èç óðàâíåíèÿ Ëèóâèëëÿ ñëåäóåò, ÷òî ýíòðîïèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû (1)ñîõðàíÿåòñÿ. Òàêîé ðåçóëüòàò îáóñëîâëåí òåì, ÷òî îíî îïèñûâàåò ýâîëþöèþ ìàòðèöû ïëîòíîñòè â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ýëåìåíò ñòàòèñòè÷åñêîé íåîïðåäåëåííîñòèäîñòàòî÷íî ââåñòè îäèí ðàç ïðè ôîðìèðîâàíèè íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, àäàëüíåéøåå äâèæåíèå ñèñòåìû èäåò ïî çàêîíàì êâàíòîâîé ìåõàíèêè (ñì.(30)):−iρab (t) = e− ~ (Ea −Eb )t ρab (0).(4)Ïî ñóòè äåëà, ÷òîáû ñðàâíèòü íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû è èõýíòðîïèè, ñëåäóåò êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå èçìåðèòü. Ïðè èçìåðåíèè âíîñÿòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ñòàòèñòè÷åñêèå îïåðàöèè âî ïåðâûõ íåîáõîäèìî óñðåäíèòü ïî ñòåïåíè òî÷íîñòè èçìåðèòåëüíîé àïïàðàòóðû, âî âòîðûõ ñëåäóåò ó÷åñòü äëèòåëüíîñòüýêñïåðèìåíòà τ è, íàêîíåö, îøèáêó, âíîñèìóþ íåòî÷íîñòüþ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòàâðåìåíè, â êîòîðûé íà÷èíàëîñü èçìåðåíèå τ 0 .

Óñðåäíåíèå ïî ïðèáîðíûì îøèáêàììû ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì, ÷òîáû íå çàíèìàòüñÿ ïðîáëåìîé êîíêðåòíîãî èçìåðåíèÿ (õîòÿ ïî ýòîìó ïðåäìåòó åñòü ñâîÿ èíòåðåñíàÿ íàóêà). Óñðåäíèì ìàòðèöóïëîòíîñòè (4) ïî âðåìåíè èçìåðåíèÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ÃàóññàZ< ρab (t) >τ =i0dt0 G(t0 , τ )e− ~ (Ea −Eb )(t+t ) ρab (0) = ρab (t)e− 21³τ (Ea −Eb )~´2.(5)Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ ñèñòåìû àääèòèâíàÿ âåëè÷èíà, à ìàñøòàá íåîïðåäåëåííîñòè ýíåðãèè, âíîñèìîé êîíå÷íûì âðåìåíåì èçìåðåíèÿ τ î÷åíü ìàë, òî ïîñëå èçìåðåíèÿ øèðèíà ðàñïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè ïî ýíåðãèè ñòàíîâèòñÿïðàêòè÷åñêè ðàâíîé ðóëþ è ìàòðèöà ïëîòíîñòè ïðåâðàùàåòñÿ â äèàãîíàëüíóþìàòðèöó â ïðåäñòàâëåíèè ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ãàìèëüòîíèàíà ñèñòåìû. Ôàêòè÷åñêè, èçìåðåíèå ÿâëÿåòñÿ èçëèøíèì, ïîñêîëüêó òó æå ðîëü èãðàåò óñðåäíåíèåïî òî÷íîñòè ÷àñîâ. Òî÷íîñòü ëþáûõ ÷àñîâ îãðàíè÷åííàÿ.

×åì áîëüøå ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó íà÷àëüííûì ìîìåíòîì âðåìåíè t = 0 è ìîìåíòîì âðåìåíèèçìåðåíèÿ t, òåì áîëüøå íåòî÷íîñòü ôèêñàöèè ýòîãî ìîìåíòà:τ 0 = ξt.(6)Çäåñü ξ ÷èñëåííûé ïàðàìåòð. Ïîäñòàâëÿÿ â (4) âìåñòî âåëè÷èíû τ âåëè÷èíóτ 0 , ïîëó÷àåì, ÷òî íåòî÷íîñòü ÷àñîâ ïðèâîäèò ê ìîíîòîííîìó è î÷åíü áûñòðîìóïðåâðàùåíèþ íåðàâíîâåñíîé ìàòðèöû ïëîòíîñòè â ìàòðèöó, äèàãîíàëüíóþ ïîýíåðãèè.Íî ïðîöåññ ýâîëþöèè ñèñòåìû íà ýòîì íå îñòàíàâëèâàåòñÿ. Ïðè ðåàëüíîì îïèñàíèè ìåõàíè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé òåëà èñïîëüçóþòññÿ íå ïðåäñòàâëåíèå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ïîëíîãî ãàìèëüòîíèàíà çàìêíóòîé ñèñòåìû, à ïðåäñòàâëåíèå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ìîäåëüíîãî ãàìèëüòîíèàíà. Íàïðèìåð, â ãàçå ýòî ôóíêöèèñ ôèêñèðîâàííûìè èìïóëüñàìè ÷àñòèö α = (p1 , p2 , p3 , ...)  ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè ýòè ôóíêöèè ïðåâðàùàþòñÿ â èõ ñëîæíóþ ñóïåðïîçèöèþè íà÷àëüíîå ðàñïðåäeëåíèå wα ïîñòåïåííî ðàçìûâàåòñÿ ïî âñå áîëüøåìó ÷èñëó39Ëåêöèÿ 4.

Î çàêîíå âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè...∆Γ ñîñòîÿíèé ñ çàäàííîé ýíåðãèåé. Ýâîëþöèÿ çàêàí÷èâàåòñÿ, ñèñòåìà ïðèõîäèò âðàâíîâåñíîå ñòàòèñòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå, êîãäà ñèñòåìà ðàâíîìåðíî çàïîëíÿåò âñåòî÷êè ôàçîâîãî (ãèëüáåðòîâîãî) ïðîñòðàíñòâà ñ ôèêñèðîâàííîé ýíåðãèåé, è ëîãàðèôì ÷èñëà ñîñòîÿíèé ln(∆Γ) ýíòðîïèÿ ñòàíîâèòñÿ ìàêñèìàëüíîé. Ôèçè÷åñêèýòî ïðîÿâëÿåòñÿ êàê çàêîí âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè.Ïðîâåäåííîå âûøå îáñóæäåíèå íå äîêàçûâàåò âîçðàñòàíèå ýíòðîïèè, à ëèøüóêàçûâàåò íàïðàâëåíèå, â êîòîðîì ýòî äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èñêàòü. Íà ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ ïðè èçó÷åíèè êèíåòè÷åñêèõ ÿâëåíèé â íåêîòîðûõ ïðîñòåéøèõ ôèçè÷åñêèõ ñèñòåìàõ áóäåò ïðèâåäåíî êîëè÷åñòâåííîå äîêàçàòåëüñòâî çàêîíà âîçðàñòàíèÿ åíòðîïèè. Çäåñü æå îãðàíè÷èìñÿ äåìîíñòðàöèåé òîãî, ÷òî îäíî÷àñòè÷íûåðàâíîâåñíûå ðàñïðåäåëåíèÿ Ôåðìè è Áîçå, à òàêæå ðàñïðåäåëåíèå Ãèááñà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþò èç òðåáîâàíèÿ ìàêñèìàëüíîñòè ýíòðîïèè â ñîñòîÿíèè òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ.

Äëÿ Ôåðìè- èëè Áîçå-ãàçîâ ñëåäóåò èñêàòü óñëîâíûéýêñòðåìóì âûðàæåíèé (69) èëè (71) ïðè ïîñòîÿííûõ çíà÷åíèÿõ ïîëíîé ýíåðãèèè ïîëíîãî ÷èñëà ÷àñòèö. Ñîñòàâèì ôóíêöèîíàë Ëàãðàíæà:L=+X[(η + np ) ln(1 + ηnp ) − np ln np ] − βXpp:np Ep − γXpnp ,η = ±1.(7)pÏðèðàâíÿåì íóëþ ïðîèçâîäíóþ îò ôóíêöèîíàëà ïî ÷èñëó ÷àñòèö ñ èìïóëüñîì∂L= ln(1 + ηnp ) − ln np − βEp − γ = 0.∂np(8)Îòñþäà ïîëó÷àåì ïðè η = 1 ðàñïðåäåëåíèå Áîçå è ïðè η = −1 ðàñïðåäåëåíèåÔåðìè:np =1eβEp −γ−η.(9)Òåïåðü íàéäåì ýêñòðåìóì ýíòðîïèè Ãèááñà (61) ïðè óñëîâèè ïîñòîÿíñòâà ýíåðãèè ñèñòåìû è íîðìèðîâêè.

Èñõîäèì èç ôóíêöèîíàëàL = −Sp (ρ ln ρ) − βSp(ρH) − γSpρ.(10)Ñîñòàâëÿåì âàðèàöèþδL = −Sp{δρ(ln ρ + 1 + βH + γ)}.(11)Èç ðàâåíñòâà âàðèàöèè íóëþ ïîëó÷àåì âûðàæåíèåρ = e−(1+γ+βH) ,(12)êîòîðîå ñ òî÷íîñòüþ äî îáîçíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ êàíîíè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì Ãèááñà (43).40Ëåêöèÿ 5. Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ðåøåòêè4.2 Òåîðåìà ÍåðíñòàÑîãëàñíî òåðìîäèíàìè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ (57) ýíòðîïèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ,ýíåðãèÿ êîòîðîãî ðàâíà ðàâíà íóëþ (è Ò=0), òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ. Èç ñòàòèñòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ (58) ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ýíòðîïèè îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì ñîñòîÿíèé Γ(0) ñ ìèíèìàëüíîé ýíåðãèåé Å=0. Ó áîëüøèíñòâà òåë îñíîâíîåñîñòîÿíèå ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì Γ(0) = 1, èS(0) = ln Γ(0) = 0.(13)Ýòî ðàâåíñòâî ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå òåîðåìû Íåðíñòà. Îäíàêî, â ñèñòåìåN íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ñïèíîâ S ýíåðãèÿ êàæäîãî ñïèíà â îòóòñòâèè ìàãíèòíîé ýíåðãèè (2S + 1)êðàòíî âûðîæäåíà ïî íàïðàâëåíèÿì ñïèíà.

Ýíòðîïèÿ ýòîéñèñòåìû íå çàâèñèò íè îò òåìïåðàòóðû, íè îò äàâëåíèÿ è ðàâíàS(0) = ln Γ(0) = N ln(2S + 1).(14)Îáû÷íî ñèñòåìà íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ñïèíîâ åñòü ïîäñèñòåìà âåùåñòâ ñ ïàðàìàãíèòíûìè ïðèìåñÿìè. Ýíòðîïèÿ ïàðàìàãíåòèêà ðàâíî ñóììå ýíòðîïèé ïîäñèñòåì ñïèíîâîé, ôîíîííîé è ýëåêòðîííîé. Ýíòðîïèÿ ôîíîííîé ïîäñèñòåìûïðîïîðöèîíàëüíà T 3 , à ýëåêòðîííîé (â ìåòàëëàõ) T . Òàêèì îáðàçîì, ïîëíàÿýíòðîïèÿ ïàðàìàãíåòèêà ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ðàâíàS(T ) = ln Γ(0) = N ln(2S + 1) + AT 3 + BT.(15)Îòñþäà íàõîäèì òåïëîåìêîñòüC(T ) = T∂S= 3AT 3 + BT.∂T(16) ñèñòåìàõ, êîòîðûå èìåþò "ùåëü"∆ â ñïåêòðå ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé,ýíòðîïèÿ è òåïëîåìêîñòü îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè T → 0 ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìóçàêîíó∆(17)S(T ) ∼ C(T ) ∼ e− T .Îáðàùåíèå òåïëîåìêîñòè â íóëü ïðè T → 0 âàæíåéøåå ñëåäñòâèå òåîðåìûÍåðíñòà.Íà ýòîì ìû çàêàí÷èâàåì èçëîæåíèå îñíîâíûõ ïîëîæåíèé òåðìîäèíàìèêè èñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè.

Äàëåå áóäåò èçëîæåí "ìåòîä âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ",êîòîðûé åùå ïîíàäîáèòñÿ, à íà ôèçòåõîâñêèõ êóðñàõ ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêåîáû÷íî íå èçó÷àåòñÿ.5Ëåêöèÿ 5. Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèéðåøåòêè5.1 Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ðåøåòêè ýòîé ëåêöèè áóäåò êîðîòêî èçëîæåí ïîëåçíûé ìàòåìàòè÷åñêèé ìåòîä "âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå", êîòîðîå ïîçâîëÿåò êîìïàêòíî ôîðìóëèðîâàòü ñâîéñòâà41Ëåêöèÿ 5. Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå êîëåáàíèé ðåøåòêèìíîãî÷àñòè÷íûõ êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â îïèñàíèè ñèñòåì ìíîãèõ ÷àñòèö â ïðåäñòàâëåíèè ÷èñåë çàïîëíåíèÿ.  êóðñåêâàíòîâîé ìåõàíèêè ýòîò ìåòîä ôîðìóëèðóåòñÿ äëÿ çàäà÷è îá îäíîìåðíîì îñöèëëÿòîðå.Êîðîòêî íàïîìíèì çàäà÷ó î "âòîðè÷íîì êâàíòîâàíèè"îñöèëëÿòîðà.

Ãàìèëüòîíèàí îäíîìåðíîãî îñöèëëÿòîðà èìååò âèäĤ =p̂2M ω 2 x2+2M2(1)ãäå êîììóòàòîð x è èìïóëüñà p̂ = −i~∇ ðàâåí [x, p̂] = i~. Îáåçðàçìåðèì (1) íà åäèíèöóýíåðãèè ~ω .Ĥ1 p̂2 M ω x2ĥ ==+(2)~ω~ωM 2~ 2Âîçíèêëè åñòåñòâåííûå åäèíèöû äëèíû è èìïóëüñàr√~p0 = ~ωM ; x0 =; p0 x0 = ~(3)Mωè áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûåP̂ =p̂;p0Q̂ =xx0â êîòîðûõ áåçðàçìåðíûé ãàìèëüòîíèàí (2) ïðèíèìàåò ïðîñòîé âèä1ĥ = (P̂ 2 + Q̂2 )2ãäå êîììóòàòîð P̂ è Q ðàâåí[Q̂, P̂ ] =[x, p̂]=ip0 x0(4)(5)Êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó (4) ìîæíî ôàêòîðèçîâàòü ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì.