Лекции по статистической физике - Максимов (Лекции по статистической физике - Максимов.pdf), страница 5

Òîãäà âñåòåðìîäèíàìè÷åñêèå âåëè÷èíû çàâèñÿò òîëüêî îò ýíåðãèè E , è çàäà÷à ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè ñâîäèòñÿ ê óñòàíîâëåíèþ ÿâíîãî âèäà ýòîé çàâèñèìîñòè, ò.å. êîïðåäåëåíèþ òåìïåðàòóðû T (E), äàâëåíèÿ p(E) è õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà µ(E)êàê ôóíêöèé îò ýíåðãèè. êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñîñòîÿíèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì ØðåäèíãåðàHΨα = Eα Ψα .(7)20Ëåêöèÿ 2. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêèÇäåñü H ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû. Âèä âîëíîâîé ôóíêöèè Ψα è ýíåðãèÿ Eα îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ òî÷êîé (ôàêòè÷åñêè, íàáîðîì êâàíòîâûõ ÷èñåë) α.Êàê ìû ìû óâèäèì íèæå, ïðè âû÷èñëåíèè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí âîçíèêàþò ñóììû âèäàXf (Eα ).(8)α×òîáû âû÷èñëèòü ýòî âûðàæåíèå ñëåäóåò ñíà÷àëà íàéòè ñòåïåíü âûðîæäåíèÿóðîâíÿ E , ò.å.

÷èñëî âñåõ ñîñòîÿíèé, ïðèíàäëåæàùèõ ýòîìó óðîâíþ ∆Γ(E), àçàòåì âçÿòü ñóììó ïî óðîâíÿì ýíåðãèè. Ýòî ëåãêî ñäåëàòü, òîëüêî åñëè ñïåêòðýíåðãèè èìååò ýêâèäèñòàíòíóþ ñòðóêòóðó.  îáùåì ñëó÷àå ýòó ïðîãðàììó ìîæíî âûïîëíèòü, ââåäÿ ïîíÿòèå î ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé. Èç îïðåäåëåíèÿ äåëüòàôóíêöèè ñëåäóåò ôîðìóëàZf (Eα ) = dEf (E)δ(E − Eα ).(9)Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â (8) è ïîìåíÿåì ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ:ZXdΓf (Eα ) = dEf (E) ,dEαãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèåXdΓ≡δ(E − Eα ).dEα(10)(11)Ýòî îïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ñèñòåìû.

Ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé ñèñòåìû ÷èñëåííî ðàâíà ïðîèçâîäíîé îò âåëè÷èíûXΓ(E) =θ(E − Eα ),(12)αêîòîðàÿ åñòü ïîëíîå ÷èñëî ñîñòîÿíèé â èíòåðâàëå îò ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ,êîòîðîå âñåãäà ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíûì íóëþ, äî E :Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà ðàâíà θ(x) = 1 ïðè x > 0 è θ(x) = 0 ïðèx < 0, ïðè÷åìdθ(x)= δ(x)(13)dxÓïîìÿíóòîå âûøå ÷èñëî ñîñòîÿíèé c ýíåðãèåé E ñâÿçàíî ñ ïëîòíîñòüþ ñîñòîÿíèé î÷åâèäíûì ñîîòíîøåíèåì:dΓ∆E,dEãäå ∆E åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó óðîâíÿìè ñèñòåìû.∆Γ(E) =(14) ìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìå ÷èñëî ñîñòîÿíèé ∆Γ(E) ñ ýíåðãèåé E î÷åíü áûñòðîðàñòåò ñ ðîñòîì ýíåðãèè (ñîîòâåòñòâåííî, áûñòðî ðàñòåò è ÷èñëî ñîñòÿíèé Γ(E)ñ ýíåðãèåé îò íóëÿ äî E ).

Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ïðèìåð N ñïèíîâ S = 1/2â ìàãíèòíîì ïîëå. Ñîñòîÿíèå ñ ìèíèìàëüíîé ýíåðãèåé òîëüêî îäíî âñå ñïèíû íàïðàâëåíû ïî ïîëþ. Ñëåäóþùèé óðîâåíü ýíåðãèè ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó ïåðåâåðíóòîìóñïèíó, íà ýòîì óðîâíå N ñîñòîÿíèé (ïåðåâåðíóòü ìîæíî ëþáîé èç N ñïèíîâ). Äâàïåðâåðíóòûõ ñïèíà ìîæíî ïëó÷èòü óæå N (N2−1) ñïîñîáàìè è ò.ä.21Ëåêöèÿ 2. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè2.4 Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå ýíòðîïèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ëîãàðèôì ÷èñëà ñîñòîÿíèéσ(E) = ln Γ(E)(15)Γ(E) = eσ(E) .(16)Îáðàòíî, ÷èñëî ñîñòîÿíèé ðàâíîÄëÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû ýòà âåëè÷èíà ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ ëîãàðèôìîì ÷èñëà ñîñòîÿíèé ñ ýíåðãèåé E (14):σ ∗ (E) = ln ∆ΓÄåéñòâèòåëüíî, èç ôîðìóëû (16) íàõîäè쵶µ¶µ¶dΓdσσ(E) dσln ∆Γ = ln∆E = ln e∆E = σ(E) + ln∆EdEdEdE(17)(18)Ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà ñòîèò ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ âåëè÷èíà. Ýòîò ëîãàðèôì îòíîñèòñÿ ê ìàêðîñêîïè÷åñêîé âåëè÷èíå σ(E) êàê ln N ê N.

Ïîýòîìó, îïóñòèâ â(18) ëîãàðèôì, ìû äîïóñòèì èñ÷åçàþùå ìàëóþ îøèáêó.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåìðàâåíñòâîln ∆Γ = ln Γ(19)Ïðè âû÷èñëåíèè ýíòðîïèè êîíêðåòíûõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òåë ñ îäèíàêîâîé òî÷íîñòüþ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ëþáóþ èç ôîðìóë (15) èëè (17).

Ôîðìóëà (19) åñòüîäèí èç ìíîãî÷èñëåííûõ ïðèìåðîâ, êîãäà äâå ðàçíûå ìàêðîñêîïè÷åñêè áîëüøèåâåëè÷èíû èìåþò îäèíàêîâûå ëîãàðèôìû.  ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò î ðàâåíñòâå âåëè÷èí â ëîãàðèôìè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè. Èìåÿ â âèäó íåïðèâû÷íîñòü ýòîãî ðàâåíñòâà, ïðèâåäåì äðóãîé âûâîä, êîòîðûé, âîçìîæíî, ñäåëàåò åãî áîëåå ïîíÿòíûì.×èñëî ñîñòîÿíèé Γ(E) òîæäåñòâåííî ðàâíî èíòåãðàëóZEdE 0Γ(E) =dΓdE0Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå (17), ïåðåïèøåì åãî â âèäåZEdE 0 eσΓ(E) =∗1∆E0Ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ìàêñèìàëüíî íà âåðõíåé ãðàíèöå èíòåãðèðîâàíèÿ.Ðàçëàãàÿ ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû ïî îòêëîíåíèþ îò âåðõíåãî ïðåäåëà, ëåãêî íàõîäèì1∗eσ (E)(20)Γ(E) =dσ ∗∆E dE22Ëåêöèÿ 2.

Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêèËîãàðèôìèðóÿ ýòî óðàâíåíèå, ïîëó÷àåìµdσ ∗σ(E) = ln Γ(E) = σ (E) − ln ∆EdE¶∗(21)Êàê è â (18), ïîñëåäíèì ëîãàðèôìîì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è, ñëåäîâàòåëüíî, σ ∗ = σ .Íàêîíåö, ïðèâåäåì åùå îäíî îáîñíîâàíèå òîãî, ÷òî ñ ëîãàðèôìè÷åñêîé òî÷íîñòüþσ(E) = σ ∗ (E). Ïóñòü (ýòî îñíîâíîå ïðåäïîëîæåíèå î çàâèñèìîñòè Γ (E) îò ÷èñëà÷àñòèö)Γ (E) ∼ exp (N ϕ (E/N )) ,(22)ãäå ϕ (E/N ) âåëè÷èíà ïîðÿäêà åäèíèöû. Êðîìå òîãî,ϕ > 0,ϕ0 > 0,ϕ00 < 0.(23)Çäåñü øòðèõ äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî (E/N ) .

Òîãäà∂Γ (E)∂E2∂ Γ (E)∂E 2= ϕ0 exp (N ϕ)¶µ³¡ ¢ ´¡ ¢2 ϕ002≈ exp (N ϕ) ϕ0>0= exp (N ϕ) ϕ0 +N(24)Èìååì∂Γ (E)∂Γ (E)< Γ (E) <E∂E∂EËåâîå íåðàâåíñòâî âñåãäà âåðíî, òàê êàê ñëåâà ñòîèò ÷èñëî ñîñòîÿíèé â óçêîé êîðî÷êåE, êîòîðîå, êîíå÷íî æå ìåíüøå, ÷åì Γ (E) . Ïðàâîå íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî, òàê êàê∂Γ(E) ðàñòóùàÿ ôóíêöèÿ E (ñì. (24)) è ýòî íåðàâåíñòâî åñòü ñèëüíî çàâûøåííàÿ∂Eîöåíêà ñâåðõó.Ñ îäíîé ñòîðîíû (ñì. (22), (24)), σ = ln Γ (E) ∼ σ∗ = ln ∆Γ (E) ∼ N, òàê êàê ϕ0 ∼ 1.Ñ äðóãîé ñòîðîíû¯¯¯ ∂Γ (E)¯∂Γ(E)¯ = |ln (E/∆E)| ∼ ln N|σ − σ∗ | ≤ ¯¯lnE − ln ∆E∂E∂E ¯∆Γ = ∆EÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñ ëîãàðèôìè÷åñêîé òî÷íîñòüþ σ = σ∗ .Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ ñèñòåì ñ áîëüøèì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîíîòîííî ðàñòåò ñ ðîñòîì ýíåðãèè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îíà îáëàäàåò ñâîéñòâàìè(a)σ|E=0 = min,(25)dσ> 0,(26)dEÌåíåå òðèâèàëüíîå ñâîéñòâî ñòàòèñòè÷åñêîé ýíòðîïèè âûðàæàåòñÿ íåðàâåíñòâîì(b)(c)β=d2 σ< 0.d2 E(27)Îòðèöàòåëüíîñòü âòîðîé ïðîèçâîäíîé σ(E) ïî ýíåðãèè íåîáõîäèìà äëÿ ñõîäèìîñòè ïîñëåäóþùèõ èíòåãðàëîâ ïî ýíåðãèè.

Ñóùåñòâóþò ìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû, ó23Ëåêöèÿ 2. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêèêîòîðûõ ýòî ñâîéñòâî íå âûïîëíÿåòñÿ, íî äëÿ òàêèõ ñèñòåì îòñóòñòâóåò ñîñòîÿíèå óñòîé÷èâîãî òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ, è îíè ðàñïàäàþòñÿ. Íàïðèìåð,äëÿ êîñìè÷åñêîãî òåëà ÷åðíîé äûðû σ ∼ E 2 , è âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ñòàòèñòè÷åñêîé ýíòðîïèè ïîëîæèòåëüíà. Ýòî íàõîäèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ îñîáåííîñòüþýâîëþöèè ÷åðíûõ äûð: áîëüøèå äûðû íåîãðàíè÷åííî ðàñòóò, à ìàëûå èñïàðÿþòñÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ.

Òàêèì æå ñâîéñòâîì îáëàäàþò çàðîäûøè íîâîé ôàçû íàïðèìåð, ïóçûðüêè ïàðà â êèïÿùåé âîäå.Êðîìå òîãî, ñòàòèñòè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ åñòü àääèòèâíàÿ âåëè÷èíà.Äîêàæåì ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü ñèñòåìà ñîñòàâëåíà èç äâóõ íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì A è B , è åå ñîñòîÿíèÿ â òî÷êå α = (a, b) èìååò ýíåðãèþEα = Ea + Eb . ×èñëî ñîñòîÿíèé (12) òàêîé ñèñòåìû ðàâíîXXΓAB (E) =θ(E − Ea − Eb ).(28)abÇäåñü ñóììà ïî b îáðàçóåò ÷èñëî ñîñòîÿíèé ïîäñèñòåìû B ñ ýíåðãèåé (E − Ea ).Ïîëó÷àåìXΓb (E − Ea ).(29)ΓAB (E) =aÏðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ïðåäûäóùèå ôîðìóëû, ïåðåïèøåì ýòó ñóììó â âèä嵶ZZZdΓa σb (E−Ea )σa (Ea ) dσaσb (E−Ea )ΓAB (E) = dEae= dEa ee= dEa βa ef (30)dEadEaf (Ea ) = σa (Ea ) + σb (E − Ea )(31)Âåëè÷èíà f (Ea ) ìàêðîñêîïè÷åñêè âåëèêà è ðåçêî çàâèñèò îò ýíåðãèè Ea . Ýòîïîçâîëÿåò âçÿòü èíòåãðàë ìåòîäîì ïåðåâàëà. Ôóíêöèÿ f èìååò îñòðûé ìàêñèìóìâ òî÷êå Ea = E m , â êîòîðîé¯df ¯¯= βa − βb = 0(32)dEa ¯E mÐàçëîæèì ôóíêöèþ f îêîëî åå ìàêñèìóìà1 d2 f 2x , x = Ea − E m .(33)2 dx2³ 2 ´³ 2 ´00d σÂòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ f = d2 E + dd2 Eσ îòðèöàòåëüíà â ñèëó (27).

Ïîäñòàâèìf = fm +abðàçëîæåíèå (33) â (30) è âûíåñåì ïðåäýêñïîíåíöèàëüíûé ìíîæèòåëü â òî÷êå (32):Z1 00 2fmΓ(E) = βa e(34)dxe− 2 |f |x .Ïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàâåíp2π/ | f 00 |.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåìà s!2π.σAB (E) = ln ΓAB (E) = σa (Eam ) + σb (Ebm ) + ln β| f 00 |24(35)Ëåêöèÿ 2. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêèÎïÿòü ïðåíåáðåãàåì ëîãàðèôìîì.

Òîãäà ëîãàðèôì ÷èñëà ñîñòîÿíèé ñîñòàâíîéìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû ïðèíèìàåò ÿâíî àääèòèâíóþ ôîðìó(d)σAB (E) = σa (Eam ) + σb (Ebm ).(36)Òàêèì îáðàçîì, êâàíòîâîìåõàíè÷åñêàÿ âåëè÷èíà σ(E), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿñòàòèñòè÷åñêîé ýíòðîïèåé Áîëüöìàíà, îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè òåðìîäèíàìè÷åñêîé ýíòðîïèè: îíà ìèíèìàëüíà â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè ñèñòåìû (a), ìîíîòîííî ðàñòåò ñ ðîñòîì ýíåðãèè (b), åå âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî ýíåðãèè îòðèöàòåëüíà (c) è, íàêîíåö, ýòî àääèòèâíàÿ âåëè÷èíà (d).

Áîëåå òîãî, ñòàòèñòè÷åñêàÿýíòðîïèÿ ñîñòàâíîé ñèñòåìû σAB (E) îáëàäàåò ñâîéñòâîì ýêñòðåìàëüíîñòè îíàðàâíà ìàêñèìàëüíîìó çíà÷åíèþ ñóììû ñòàòèñòè÷åñêèõ ýíòðîïèé ïîäñèñòåì, ïðè÷åì ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ðàçäåëÿòñÿ ïî ïîäñèñòåìàì òàê, ÷òî ïðîèçâîäíûå îòñòàòèñòè÷åñêèõ ýíòðîïèé ïîäñèñòåì ïî ýíåðãèè ðàâíû äðóã äðóãó (ñì.(32)). Ïîýòîé ïðè÷èíå âåëè÷èíà β −1 , îáðàòíàÿ ïðîèçâîäíîé îò ñòàòèñòè÷åñêîé ýíòðîïèèïî ýíåðãèè, íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé òåìïåðàòóðîé τ :dσ1=dEτ(37)2.5 Òðè ïðèìåðàÍàéäåì ÷èñëî ñîñòîÿíèé Γ (èëè ∆Γ) è ñòàòèñòè÷åñêóþ ýíòðîïèþ σ äëÿ íåñêîëüêèõ ïðîñòåéøèõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì.2.5.1N ñïèíîâ â ìàãíèòíîì ïîëåÑèñòåìó N ñïèíîâ S = 21 , íàõîäÿùèõñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå B , áóäåì îïèñûâàòüãàìèëüòîíèàíîì¶N µX1zH = −2µBsi −.(38)2i=1¢¡Ýíåðãèÿ îäíîãî ñïèíà â ìàãíèòíîì ïîëå, ðàâíàÿ −2µBsz sz = ± 21 , ñäâèíóòà íàêîíñòàíòó, ÷òîáû ìèíèìàëüíàÿ ýíåðãèÿ áûëà ðàâíà íóëþ.

Åñëè (N − M ) ñïèíîâíàõîäÿòñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè (sz = 1/2), à M ñïèíîâ â âîçáóæäåííîì (sz =−1/2), òî ñèñòåìà èìååò ýíåðãèþ E = M ∆E , ãäå ∆E = 2µB . Òàêàÿ ýíåðãèÿìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ÷èñëîì ñïîñîáîâ, ðàâíûì∆ΓM =N!.M !(N − M )!(39)Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà ïî ôîðìóëå Ñòèðëèíãà ôàêòîðèàë ïðèáëèæåííî ðàâåíN ! ≈ (N/e)N ,(40)è âûðàæåíèå (39) ïðèíèìàåò âèäµ∆Γ =Ne¶N ³e ´MMµeN −M25¶N −M=NNM M (N − M )N −M.(41)Ëåêöèÿ 2. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêèËîãàðèôì ýòîé âåëè÷èíû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåσ ∗ = ln ∆Γ = −N (n ln(n) + (1 − n) ln(1 − n))(42)Âåëè÷èíàME=(43)N(N ∆E)èìååò ñìûñë êîíöåíòðàöèè âîçáóæäåííûõ ñïèíîâ.Êðîìå ñàìîé ñòàòèñòè÷åñêîé ýíòðîïèè âàæíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñèñòåìûÿâëÿþòñÿ åå ïðîèçâîäíûå ïî ýíåðãèè.