Лекции по статистической физике - Максимов (Лекции по статистической физике - Максимов.pdf), страница 7

Òîãäàραβ = δαβ wα ,wα = δαα0 .(29)Òàêîå ñòàòèñòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåé âîëíîâîé ôóíêöèåé Ψα0 è íàçûâàåòñÿ ÷èñòûì èëè êîãåðåíòíûì ñîñòîÿíèåì.Ýâîëþöèÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè çàìêíóòîé ñèñòåìû âî âðåìåíè îïèñûâàåòñÿóðàâíåíèåì Ëèóâèëëÿ. Íàïîìíèì, êàê îíî âûâîäèòñÿ â êóðñå êâàíòîâîé ìåõàíèêè.  ïðåäñòàâëåíèè Ãàéçåíáåðãà âîëíîâûå ôóíêöèè è ìàòðèöà ïëîòíîñòè çàìêíóòîé ñèñòåìû îò âðåìåíè íå çàâèñÿò, è çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ïåðåíîñèòñÿíà îïåðàòîðû:ĤtĤtÂ(t) = ei ~ Âe−i ~ .(30)Ïðè ýòîì çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè âåëè÷èíû < A > çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì³´³ Ĥt´Ĥt< A >= Sp ρ̂ (t) = Sp ρ̂ei ~ Âe−i ~ .(31)Ïîä çíàêîì øïóðà ìîæíî ïðîèçâåñòè öèêëè÷åñêóþ ïåðåñòàíîâêó, íå ìåíÿÿâåëè÷èíû ñëåäà îò ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö.

Ïîýòîìó ôîðìóëà (31) ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåíà â âèäîèçìåíåííîé ôîðìå< A >= Sp(e−iĤt~Ĥt~ρ̂eiÂ) = Sp(ρ̂(t)Â).(32)Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå åñòü çàïèñü ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû A â ïðåäñòàâëåíèè Øðåäèíãåðà, â êîòîðîì îïåðàòîð  îò âðåìåíè íå çàâèñèò, à çàâèñèìîñòüîò âðåìåíè ïåðåíåñåíà íà ìàòðèöó ïëîòíîñòè:ρ(t) = e−iĤt~32ρ̂eiĤt~.(33)Ëåêöèÿ 3. Î ñòàòñóììå, ðàñïðåäåëåíèÿõ...Äèôôåðåíöèðîâàíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ ïî âðåìåíè ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ Ëèóâèëëÿ:∂ ρ̂i= − [Ĥ, ρ̂].(34)∂t~Çäåñü [f, g] ≡ f g − gf.  êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ Ëèóâèëëÿ ïðèíèìàåò âèä ñêîáîê Ïóàññîíà, íî ìû êëàññè÷åñêóþ ôîðìó óðàâíåíèÿËèóâèëëÿ èñïîëüçîâàòü íå áóäåì.Èç óðàâíåíèÿ Ëèóâèëëÿ ñëåäóåò, ÷òî ìàòðèöà ïëîòíîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ êîììóòèðóåò ñ ãàìèëüòîíèàíîì:[Ĥ, ρ̂] = 0.(35)Ýòî åñòü êâàíòîâîìåõàíè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà òîãî, ÷òî ðàâíîâåñíàÿ ìàòðèöàïëîòíîñòè ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ.Äâà îïåðàòîðà, êîòîðûå êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì, èìåþò îáùóþ ñèñòåìóñîáñòâåííûõ ôóíêöèé {Ψα }.

Ïîýòîìó ðàâíîâåñíàÿ ìàòðèöà ïëîòíîñòè â ïðåäñòàâëåíèè ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ãàìèëüòîíèàíà äèàãîíàëüíà è ñâîäèòñÿ ê ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ íàáîðó äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ.Âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé ïåðåìíîæàþòñÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç p íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì â ñîñòîÿíèèα = (α1 , α2 , ..., αp ) ðàâíà ïðîèçâåäåíèþwα = wα1 wα2 ...wαp .(36)Ëîãàðèôìèðóÿ, ïîëó÷àåì ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè ëîãàðèôìà ðàâíîâåñíîéôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:ln wα = ln wα1 + ln wα2 + ...

+ ln wαp .(37)Îáúåäèíÿÿ (35) è (37), ïðèõîäèì ê î÷åíü âàæíîìó ðåçóëüòàòó ëîãàðèôìðàâíîâåñíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ åñòü àääèòèâíûé èíòåãðàë äâèæåíèÿ. Óìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñóùåñòâóåò íå áîëåå 7 íåçàâèñèìûõ àääèòèâíûõ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ: ýíåðãèÿ, òðè êîìïîíåíòû èìïóëüñà è òðè êîìïîíåíòû ìîìåíòàèìïóëüñà. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òàêèå òåëà, êîòîðûå íåïîäâèæíû èíå âðàùàþòñÿ. Òîãäà îñòàåòñÿ îäèí åäèíñòâåííûé àääèòèâíûé èíòåãðàë äâèæåíèÿ ýíåðãèÿ, à âñå äðóãèå àääèòèâíûå ñîõðàíÿþùèåñÿ âåëè÷èíû äîëæíû áûòüëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè ýíåðãèè.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîln wα = A + BEα ,(38)à ñàìà ðàâíîâåñíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äîëæíà èìåòü âèäwα = e(A+BEα ) .Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â (26):Xe(A+BEα ) = 1.α33(39)(40)Ëåêöèÿ 3. Î ñòàòñóììå, ðàñïðåäåëåíèÿõ...×òîáû ýòà ñóììà ñõîäèëàñü ïðè áîëüøèõ ýíåðãèÿõ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû êîýôôèöèåò B áûë îòðèöàòåëüíûì. Ïîëîæèì B = −β, β > 0 è âûíåñåì eA çà çíàêñóììû:XeAe−βEα = 1.(41)αÈç ýòîé ôîðìóëû íàõîäèì ñâÿçü êîíñòàíòû A ñ ëîãàðèôìîì îò ñòàòèñòè÷åñêîéñóììû (3):A = − ln Z(β).(42)Âûøå áûëî äîêàçàíî, ÷òî àðãóìåíò ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû β èìååò ñìûñë îáðàòíîé òåðìîäèíàìè÷åñêîé òåìïåðàòóðû (ñì.(20)), à ëîãàðèôì ñòàòèñòè÷åñêîéñóììû íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàí ñî ñâîáîäíîé ýíåðãèåé (ñì.

(24)). Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ïåðåïèñàòü ðàâíîâåñíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ (39) â îêîí÷àòåëüíîéôîðìåF −Eαwα = e T .(43)Âûðàæåíèå (43) íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì Ãèááñà èëè êàíîíè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì. Ãëàâíîå ñâîéñòâî ðàñïðåäåëåíèÿ Ãèááñà - âñå ìåõàíè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ α ñ îäèíàêîâîé ýíåðãèåé ðàâíîâåðîÿòíû.  ïðåäñòàâëåíèèîáùåãî âèäà, â êîòîðîì ãàìèëüòîíèàí èìååò íåäèàãîíàëüíûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû, ðàñïðåäåëåíèå Ãèááñà ïðåâðàùàåòñÿ â ìàòðèöó ïëîòíîñòèρ̂ = eF −ĤT.(44) êà÷åñòâå ïðèìåðà íåïîñðåäñòâåííîãî ïðèìåíåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ãèááñà âû÷èñëèì ñðåäíåå çíà÷åíèå ýíåðãèè ñèñòåìû è åå äèñïåðñèþ:XhEi =wα Eα =αP −βEαEα1 dZd ln Z2 d FαeP=−=−=−T= F + T S.−βEαZ dβdβdT Tαe(45)Çàìåòèì, ÷òî ýòî âû÷èñëåíèå äàåò íîâîå è áîëåå ïðîñòîå äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû (24).

Äàëåå­ 2® X1 d2 ZE =wα Eα2 =,(46)2ZdβαÐàçíîñòü ïðåäûäóùèõ âûðàæåíèé îáðàçóåò äèñïåðñèþ:® ­ ®® ­­∆E 2 = (E − hEi)2 = E 2 − hEi2 =µ ¶2µ¶1 d2 Z1 dZd1 dZ− 2==Z dβ 2Zdβdβ Z dβddE= T 2 CV .− hEi = T 2dβdT34(47)Ëåêöèÿ 3. Î ñòàòñóììå, ðàñïðåäåëåíèÿõ...Ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé ôóíêöèè A(E) îò ýíåðãèè ñèñòåìû â ðàâíîâåñíîìñîñòîÿíèè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåXhAi =w (Eα ) A (Eα ) =ZdΓdEw(E)A(E) =dEZαdEf (E)A(E),(48)ãäå ôóíêöèÿdΓw(E)(49)dEèìååò ñìûñë âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ïðè èçìåðåíèè ðàâíîâåñíîé ñèñòåìû äàííîå çíà÷åíèå ýíåðãèè. Äðóãèìè ñëîâàìè, ýòî åñòü ðàñïðåäåëåíèå ïî ýíåðãèè (àôîðìóëà Ãèááñà ýòî ðàñïðåäåëåíèå ïî α−ñîñòîÿíèÿì). Ðàñïðåäåëåíèå ïî ýíåðãèè ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ìîíîòîííî ðàñòóùåé ïëîòíîñòè ïî ýíåðãèè è ìîíîòîííîóáûâàþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ãèááñà.

Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ýòî ïðîèçâåäåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ñîâïàäàåò ñ ÿäðîì ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû (6)è èìååò îñòðûé ìàêñèìóì â òî÷êå E m . Ôóíêöèÿ â îêðåñòíîñòè ìàêñèìóìà îïèñûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ãàóññà:f (E) =1f (E) ∼ e− 2 |σ00 |(E−E )2m.(50)c î÷åíü óçêîé øèðèíîé ∆E , äëÿ êîòîðîé ìû ìîæåì òåïåðü äàòü òî÷íóþ òåðìîäèíàìè÷åñêóþ îöåíêó:¯ 2 ¯p¯∂ S ¯1200¯¯ = 1 , ∆E = T CV .∆E =,|σ|=(51)¯ ∂E 2 ¯ T 2 CV| σ 00 |Íå ñëó÷àéíî, ÷òî ýòà øèðèíà ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ýíåðãèè ðàâíà äèñïåðñèè ýíåðãèèñèñòåìû (47).Ïîäñòàâèì (50) â ïîñëåäíèé èíòåãðàë (48 ):hAi = A(Em ).(52)hEi = Em .(53)Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, èìååìÏðè âû÷èñëåíèè (52) âàæåí íå êîíêðåòíûé âèä ðàñïðåäåëåíèÿ (43), à òîëüêî ÷ðåçâû÷àéíàÿ óçîñòü ôóíêöèè (50).

Ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó Êàöà:Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñðåäíèõ çíà÷åíèé ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí â òåðìîäèíàìè÷åñêîì ïðåäåëå (E, V, N → ∞, íî E/V = const, N/V = const) â êà÷åñòâå ðàâíîâåñíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ëþáóþ ïîëîæèòåëüíóþ ôóíêöèþ, íîðìèðîâàííóþ íà åäèíèöó è ñïàäàþùóþ ïðè áîëüøèõ ýíåðãèÿõ áûñòðåå,dΓ.÷åì dEÏîýòîìó â êà÷åñòâå ðàâíîâåñíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû÷àñòî âûáèðàþò ìèêðîêàíîíè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèåw(Eα ) = const δ(E − Eα ),35(54)Ëåêöèÿ 3.

Î ñòàòñóììå, ðàñïðåäåëåíèÿõ...èëè ôóíêöèþw(Eα ) = const θ(E − Eα ),(55)wα = δα,α0 ,(56)èëè äàæå ÷èñòîå ñîñòîÿíèåíî ïðè ýòîì òåðÿåòñÿ îñíîâíîå ïðåèìóùåñòâî ðàñïðåäåëåíèÿ Ãèááñà îòñóòñòâèåæåñòêèõ îãðàíè÷åíèé íà âåëè÷èíó ýíåðãèè ñèñòåìû.3.3 Íåðàâíîâåñíàÿ ýíòðîïèÿÂûøå áûëè äàíû äâå ôîðìóëèðîâêè ýíòðîïèè ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ. Òåðìîäèíàìè÷åñêîå îïðåäåëåíèåZ EdES(E) =(57)0 T (E)è ñòàòèñòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ÁîëüöìàíàS(E) = ln Γ(E) = ln ∆Γ.(58)Åùå îäíî âûðàæåíèå äëÿ ðàâíîâåñíîé ýíòðîïèè âîçíèêàåò â ðåçóëüòàòå óñðåäíåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ãèááñà (43):hln wi =F − hEi= −S.TÑëåäîâàòåëüíî, ýíòðîïèÿ ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíàXS = − hln wi =wα ln wα ,(59)(60)αèëè â îïåðàòîðíîì âèäåS = −Sp(ρ ln ρ).(61)Ýíòðîïèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ êàê ñðåäíèé ëîãàðèôì ðàñïðåäåëåíèÿ (ñî çíàêîì ìèíóñ), íàçûâàåòñÿ ýíòðîïèåé Ãèááñà. Èìåííî ýòî âûðàæåíèå ïðèíèìàåòñÿ â ñòàòèñòè÷åñîêîé ôèçèêå â êà÷åñòâå îáîáùåíèÿ íà íåðàâíîâåñíûå ñèñòåìû, êîòîðîåîïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ èëè ìàòðèöåé ïëîòíîñòè îáùåãî âèäà.Ïðèìåíèì ôîðìóëó (60) äëÿ âû÷èñëåíèÿ íåðàâíîâåñíîé ýíòðîïèè ôåðìè- èáîçå-ãàçîâ. ïðåäñòàâëåíèè ÷èñåë çàïîëíåíèÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ãàçà èìååò âèäïðîèçâåäåíèÿ îäíî÷àñòè÷íûõ âåðîÿòíîñòåé w(np ) òîãî, ÷òî èìïóëüñ p èìåþò np÷àñòèö:wα = w (np1 ) w (np2 ) w (np3 ) ...(62)Ýíòðîïèÿ (60) ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíàXS=−wα ln wα =α−XXX...

{w(np1 )w(np2 )w(np3 )...}np1 np2 np3{ln w(np1 ) + ln w(np2 ) + ln w(np3 ) + ...}.36(63)Ëåêöèÿ 3. Î ñòàòñóììå, ðàñïðåäåëåíèÿõ...P Ñóììèðîâàíèå ïîñëåäîâàòåëüíî ïî np1 , np2 , np3 , ... c ó÷åòîì íîðìèðîâêènp w(np ) = 1 äàåò:S=−Xnp1XXw(np1 ) ln w(np1 ) +w(np2 ) ln w(np2 ) +w(np3 ) ln w(np3 ) + ...np2np3(64)Ó ôåðìè-ãàçà íà êàæäîì îäíî÷àñòè÷íîì ñîñòîÿíèè p íå ìîæåò íàõîäèòüñÿáîëüøå îäíîé ÷àñòèöû.

Ïîýòîìó êàæäàÿ ñóììà ïî ÷èñëàì çàïîëíåíèÿXw(np ) ln w(np ).(65)−npèìååò äâà ÷ëåíàXw(np ) ln w(np ) = w(0p ) ln w(0p ) + w(1p ) ln w(1p ).(66)npÂåðîÿòíîñòü îòñóòñòâèÿ ÷àñòèöû ñ èìïóëüñîì p w(0p ) è âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü îäíó ÷àñòèöó ñ èìïóëüñîì p w(1p ) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñðåäíåå ÷èñëîçàïîëíåíèÿ:Xn̄p =w (np ) np = w(1p ), w(0p ) = 1 − w(1p ).(67)npÑóììà (65) ïðèíèìàåò âèä−[(1 − n̄p ) ln(1 − n̄p ) + n̄p ln n̄p ].(68) ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ íåðàâíîâåñíîé ýíòðîïèè ôåðìè ãàçàXS=−[(1 − n̄p ) ln(1 − n̄p ) + n̄p ln n̄p ] .(69)p áîçå-ãàçå ñèòóàöèÿ ñëîæíåå ÷èñëà çàïîëíåíèÿ óðîâíÿ p ïðèíèìàþò ëþáîåçíà÷åíèå îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè, è, â ïðèíöèïå, âîçìîæíî ëþáîå ðàñïðåäåëåíèå ïî ÷èñëàì çàïîëíåíèÿ. ×òîáû âûðàçèòü ñóììó (65) ÷åðåç îäèí ïàðàìåòð ñðåäíåå ÷èñëî ÷àñòèö íà ýòîì óðîâíå, ïðèìåì, ÷òî ýòà ñóììà èìååò ìàêñèìàëüíîåçíà÷åíèå ïðè çàäàííîì n̄(p).