Лекции по статистической физике - Максимов (Лекции по статистической физике - Максимов.pdf), страница 4

Ïîýòîìó íå÷åòíûõ ñòåïåíåé Mýòîì ðàçëîæåíèè íåò. Öåëü òåîðèè Ëàíäàó îïèñàòü òåðìîäèíàìè÷åñêèå è ìàãíèòíûå ñâîéñòâà ôåððîìàãíåòèêà â îêðåñòíîñòè òî÷êè Êþðè. Âáëèçè ýòîé òî÷êèíàìàãíè÷åííîñòü äîëæíà áûòü ìàëîé âåëè÷èíîé. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî b (T ) > 0.Òîãäà áîëåå âûñîêèõ ñòåïåíåé íàìàãíè÷åííîñòè â ðàçëîæåíèè (66) ìîæíî íåó÷èòûâàòüÌèíèìóì ôóíêöèè (66) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè∂F= a (T ) M + b (T ) M 3 = 0∂M(67)∂ 2F= a (T ) + 3b (T ) M 2 > 0(68)∂M 2Åñëè êîýôôèöèåíò a (T ) ïîëîæèòåëåí, òî ìèíèìóì íàõîäèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò, è âåùåñòâî ïàðàìàãíèòíî. Åñëè a (T ) < 0, òî ìèíèìóì íàõîäèòñÿ â òî÷êås|a (T )|(69)M=b (T )è âåùåñòâî îáëàäàåò ñïîíòàííûì ìîìåíòîì.

Ïðîñòåéøåé ìîäåëüþ, ðåàëèçóþùåéýòó ñèòóàöèþ, ÿâëÿåòñÿa (T ) = α(T − Tc ),α > 0,b (T ) = b = const ýòîé ìîäåëè íàìàãíè÷åííîñòü îáðàùàåòñÿ â íóëü ïî êîðíåâîìó çàêîíórαM = M0 (T ) =(Tc − T ), T < TcbM = 0,T > Tc(70)(71)Ðàâíîâåñíîå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ðàâíîâåñíîé ñâîáîäíîé ýíåðãèè (66) ðàâíîF = F0 (T ) −1 α2(Tc − T )2 ,2 bF = F0 (T ) ,T < Tc(72)T > TcÝíòðîïèÿ òåëà S = − ∂Fðàâíà∂TS = S0 (T ) −α2(Tc − T ),bS = S0 (T ) ,T < TcT > Tc16(73)Ëåêöèÿ 1. Òåðìîäèíàìèêà ôåððîìàãíèòíîì ñîñòîÿíèè ýíòðîïèÿ èìååò îòðèöàòåëüíóþ äîáàâêó, óêàçûâàþùóþ íà íåêîòîðûé äîïîëíèòåëüíûé ïîðÿäîê. Ýòà äîáàâêà ïðèâîäèò ê ñêà÷êó∂Sòåïëîåìêîñòè C (T ) = T ∂T∂Sα2= C0 (T ) + T,∂TbC (T ) = C0 (T ) ,C (T ) = TT < Tc(74)T > TcÐåàëüíî â òî÷êå Êþðè òåïëîåìêîñòü èìååò áîëåå ñèëüíóþ îñîáåííîñòü, êîòîðàÿ îáóñëîâëåíà òàê íàçûâàåìûìè êðèòè÷åñêèìè ôëóêòóàöèÿìè. Òàêîå ïîâåäåíèå òåïëîåìêîñòè ìîæíî îïèñàòü, çàìåíèâ ìîäåëü (70) íà ìîäåëü áîëåå îáùåãîâèäàa (T ) = α(Tc − T )γ , 0 < γ < 1(75)Âåëè÷èíà γ íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì èíäåêñîì.

 ýòîé ìîäåëè ôåððîìàãíèòíàÿäîáàâêà ðàâíà1 a21 α2δF = −=−(Tc − T )2γ , T < Tc2 b2 bè äîáàâêà ê òåïëîåìêîñòè â òî÷êå Êþðè îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü ïî çàêîíóδC = +γ (2γ − 1)α2T (Tc − T )2γ−2 , T < TcbÝòà îñîáåííîñòü íàïîìèíàåò ãðå÷åñêóþ áóêâó ëÿìáäà è íàçûâàåòñÿ ëÿìáäàòî÷êîé.Òåïåðü ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå ôåððîìàãíåòèêà â ìàãíèòíîì ïîëå. Ïðè ýòîììû îãðàíè÷èìñÿ ìîäåëüþ Ëàíäàó (70).  ñëàáîì ìàãíèòíîì ïîëå ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ (66) ïðèíèìàåò âèä1F (T, H, M ) = F0 (T ) + a (T ) M 2 + bM 4 − HM2(76)Íàéäåì ìèíèìóì ýòîé ôóíêöèè∂F= a (T ) M + bM 3 − H = 0∂M(77) ïàðàìàãíèòíîé îáëàñòè, ïðåíåáðåãàÿ êóáè÷åñêèì ÷ëåíîì èìååìM=H,a (T )T > Tcè ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü îïèñûâàåòñÿ çàêîíîì Êþðè-Âåéññ൶∂M1, T > Tcχ==∂H H=0 α(Tc − Tc )Íèæå òåìïåðàòóðû Êþðè ðàâíîâåñíàÿ íàìàãíè÷åííîñòü áëèçêà ê ñïîíòàííîìóçíà÷åíèþ (71)M = M0 + δM17Ëåêöèÿ 2. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ñ ó÷åòîì (70), (71) èìååìa (T ) δM + 3bM02 δM − H = 0;δM =a (T ) δM − 3a (T ) δM − H = 0H2 |a (T )|Êàê è â ïàðàìàãíèòíîé îáëàñòè, âîñïðèèì÷èâîñòü ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè,íî ñ äðóãèì êîýôôèöèåíòî쵶∂M1χ==, T > Tc∂H H=0 2α(Tc − T )Ñòàòèñòè÷åñêàÿ òåîðèÿ, êîòîðàÿ ñâîáîäíóþ ýíåðãèþ ôåððîìàãíåòèêà âû÷èñëÿåòâ ïðèáëèæåíèè ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ, âîñïðîèçâîäèò ðåçóëüòàòû òåðìîäèíàìè÷åñêîé òåîðèè Ëàíäàó è äàåò êîëè÷åñòâåííûå îöåíêè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ.

 ÷àñòíîñòè, èç ñòàòèñòè÷åñêîé òåîðèè ñëåäóåò, ÷òî òåìïåðàòóðà Êþðèïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ðàâíà ýíåðãèè îáìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ íà ñîñåäíèõ àòîìàõ.2Ëåêöèÿ 2. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîéôèçèêèÒåðìîäèíàìèêà óñòàíàâëèâàåò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òåðìîäèíàìè÷åñêèìè âåëè÷èíàìè, íî íå äàåò ñïîñîáà èõ âû÷èñëåíèÿ. Ýòó çàäà÷ó ðåøàåò ñòàòèñòè÷åñêàÿôèçèêà, êîòîðàÿ îáúåäèíÿåò ìåòîäû ìèêðîñêîïè÷åñêîé ôèçèêè êâàíòîâîé ìåõàíèêè è òåîðèè ïîëÿ ñ ìåòîäàìè òåîðèè âåðîÿòíîñòè è ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïèñàíèÿ ðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì.(Ê ñîæàëåíèþ, â ôèçè÷åñêîé ëèòåðàòóðå ñëîâî ñîñòîÿíèå èñïîëüçóåòñÿ ñðàçó âòðåõ ñìûñëàõ ýòî è ñîñòîÿíèå îäíîé ÷àñòèöû, è ìåõàíè÷åñêîå ñîáñòâåííîå ñîñòîÿíèå ìàêðîñêîïè÷åñêîãî ãàìèëüòîíèàíà, è ñòàòèñòè÷åñêîå ñðåäíåå ñîñòîÿíèåìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû.

Íî ïîäíèìàòü âîïðîñ î ÿñíîñòè ôèçè÷åñêîé òåðìèíîëîãèè ñ÷èòàåòñÿ íåïðèëè÷íûì è ñ ýòèì ïðèõîäèòñÿ ñìèðèòüñÿ.)2.1 Ñðåäíèå çíà÷åíèÿÌàêðîñêîïè÷åñêèå ñèñòåìû, ñðåäû ýòî òåëà èç áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö èëè ïîëÿñ áîëüøèì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ñîñòîÿíèå ñðåäû èçâåñòíî âñåãäà âåñüìàïðèáëèæåííî. Ïîýòîìó ïðè îïèñàíèè ýòîãî ñîñòîÿíèÿ âàæíîå çíà÷åíèå èìåþòñðåäíèå çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.

Ñðåäíåå çíà÷åíèå ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíûA, ìîæíî îïðåäåëèòü äâóìÿ ñïîñîáàìè.Ïåðâûé ñïîñîá ó îäíîé ñèñòåìû ìíîãîêðàòíî â ìîìåíòû âðåìåíè ti ïîâòîðÿåòñÿ èçìåðåíèå ýòîé âåëè÷èíû A(t1 ), A(t2 ), ..., A(tn ), è ïðîèçâîäèòñÿ óñðåäíåíèåïî ðåçóëüòàòàì èçìåðåíèé. Òàêîå ñðåäíåå < A >t íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì ïî âðåìåíèÂòîðîé ñïîñîá çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî áåðåòñÿ ìíîæåñòâî (àíñàìáëü) îäèíàêîâûõ ñèñòåì, íàõîäÿùèõñÿ â îäèíàêîâûõ âíåøíèõ óñëîâèÿõ è îäèíàêîâî ïðèãîòîâëåííûõ, è ïðîèçâîäèòñÿ óñðåäíåíèå ïî ðåçóëüòàòàì îäíîêðàòíîãî èçìåðåíèÿ18Ëåêöèÿ 2.

Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêèâåëè÷èíû A ó êàæäîé ñèñòåìû:< A >=1(A1 + A2 + ... + An ).n(1)Òàêîå ñðåäíåå, êîòîðîå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü Ā èëè < A >, íàçûâàåòñÿ ñðåäíèìïî àíñàìáëþ. Èìååò ìåñòî ýðãîäè÷åñêàÿ ãèïîòåçà , ñîãëàñíî êîòîðîé îáà ñïîñîáàóñðåäíåíèÿ äàþò îäèíàêîâûé ðåçóëüòàò äëÿ âñåõ âåëè÷èí ó âñåõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì, íàõîäÿùèõñÿ â ðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèÿõ. Äëÿ íåðàâíîâåñíûõ ñèñòåì,ñîñòîÿíèå êîòîðûõ ýâîëþöèîíèðóåò âî âðåìåíè, ñîõðàíÿåò ñìûñë òîëüêî âòîðîéñïîñîá óñðåäíåíèÿ. Ïîýòîìó â íàñòîÿùèõ ëåêöèÿõ ïîä óñðåäíåíèåì áóäåò âñåãäàïîäðàçóìåâàòüñÿ óñðåäíåíèå ïî àíñàìáëþ.Ðàçíîñòüp ∆A = A− < A > íàçûâàåòñÿ ôëóêòóàöèåé âåëè÷èíû A.

Âåëè÷è< (∆A)2 > åñòü ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôëóêòóàöèÿ èëè äèñïåðñèÿíà σA =âåëè÷èíû A. Ñðåäíåå çíà÷åíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ôëóêòóàöèé < ∆A∆B > åñòüêîððåëÿöèÿ âåëè÷èí A è B .Çàìåòèì, ÷òî â çàìêíóòîé ñèñòåìå ýíåðãèÿ è äðóãèå èíòåãðàëû äâèæåíèÿ J âîâðåìåíè íå ôëóêòóèðóþò, è äëÿ íèõ < (∆J)2 >t = 0. Òàê ÷òî äëÿ äèñïåðñèé èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ ýðãîäè÷åñêàÿ ãèïîòåçà íåñïðàâåäëèâà.2.2 Ñòàòèñòè÷åñêàÿ íåçàâèñèìîñòü è çàêîí áîëüøèõ ÷èñåëÄâå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû, íåêîððåëèðîâàíû, åñëè< ∆A∆B >= 0.(2)Äâà òåëà ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû, åñëè âñå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû, îòíîñÿùèåñÿê îäíîìó òåëó íå êîððåëèðîâàíû ñî âñåìè ôèçè÷åñêèìè âåëè÷èíàìè âòîðîãî òåëà.Òåïåðü ìîæíî äàòü áîëåå ïîëíîå îïðåäåëåíèå ìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû.Ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ ñèñòåìà ýòî òàêîå òåëî, êîòîðîå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêñîâîêóïíîñòü áîëüøîãî ÷èñëà M (M >> 1) ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì.

×òîáû ïîäñèñòåìà áûëà ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìîé îò ñîñåäíåé ïîäñèñòåìû, íåîáõîäèìî, âîîáùå ãîâîðÿ, ÷òîáû âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÷àñòèöàìè ïîäñèñòåìû áûëî ìíîãî ñèëüíåå, ÷åì ïîãðàíè÷íîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÷àñòèöàìèäàííîé ïîäñèñòåìû è ÷àñòèöàìè ñîñåäíåé ïîäñèñòåìû. Ýòî, êàê ïðàâèëî, èìååò ìåñòî, êîãäà ÷èñëî ÷àñòèö â ïîäñèñòåìå N1 äîñòàòî÷íî âåëèêî (N1 >> 1). Âèäåàëüíîì ãàçå, ÷àñòèöû êîòîðîãî íå âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðóãîì, óæå îäíà÷àñòèöà ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà. Òàê ÷òî èäåàëüíûéãàç èç ñòà ÷àñòèö âïîëíå ìîæíî íàçûâàòü ìàêðîñêîïè÷åñêèì òåëîì. Íî ìû ýòîãîäåëàòü íå áóäåì, è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âåëèêî íå òîëüêî ÷èñëî ÷àñòèö â ñèñòåìå,íî è log N >> 1.Ìûñëåííî ðàçîáüåì ìàêðîñêîïè÷åñêîå îäíîðîäíîå òåëî (ãàç, æèäêîñòü, êðèñòàëë) íà áîëüøîå ÷èñëî M îäèíàêîâûõ ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì.Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ýíåðãèé îäèíàêîâûõ ïîäñèñòåì < Ei > ðàâíû äðóã äðóãó.

Ïîýòîìó ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ âñåé ñèñòåìû åñòü+*MX(3)Ei = M hE1 i .hEtot i =i19Ëåêöèÿ 2. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêèÂû÷èñëèì äèñïåðñèþ ýíåðãèè ñèñòåìû:*+XXX­­®® X22σtot= ∆Etot=∆Ei∆Ej =(∆Ei )2 +h∆Ei ∆Ej i .iji(4)i6=jÏîñêîëüêó äèñïåðñèè ó âñåõ ïîäñèñòåì îäèíàêîâûå, à êîððåëÿöèè ôëóêòóàöèéíåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì ðàâíû íóëþ, òî2σtot= M σ12 .(5)Îòñþäà íàõîäèì, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ôëóêòóàöèÿ ýíåðãèè ñèñòåìû, ðàâíàÿσtotσ1= √ ,ĒtotĒ1 M(6)î÷åíü ìàëà, åñëè M >> 1. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòîò ðåçóëüòàò, êîòîðûé â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå íàçûâàåòñÿ çàêîíîì áîëüøèõ ÷èñåë, ñïðàâåäëèâ äëÿ ëþáîéôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû.Áîëüøèíñòâî ðåçóëüòàòîâ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè ôîðìóëèðóþòñÿ â òåðìîäèíàìè÷åñêîì ïðåäåëå. Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïðåäåë ýòî ïðåäåë E, V, N, M → ∞ïðè ñîõðàíåíèè ïëîòíîñòè ýíåðãèè E/V è ïëîòíîñòè ÷àñòèö N/V .

 ýòîì ïðåäåëåôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû íå ôëóêòóèðóþò. Êîíêðåòíûå ðàñ÷åòû óäîáíåå ïðîâîäèòüïðè áîëüøîì, íî êîíå÷íîì çíà÷åíèè îáúåìà ñèñòåìû. À ïåðåõîä ê òåðìîäèíàìè÷åñêîìó ïðåäåëó ïðîèçâîäèòñÿ â êîíå÷íûõ ôîðìóëàõ.Èç çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë ñëåäóåò, ÷òî1. Îäíîêðàòíîå èçìåðåíèå ëþáîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû , õàðàêòåðèçóþùåéìàêðîñêîïè÷åñêóþ ñèñòåìó, äàåò ðåçóëüòàò, áëèçêèé ê ñðåäíåìó çíà÷åíèþ ýòîéâåëè÷èíû.

Ýòî ïîçâîëÿåò äîâåðÿòü îïèñàíèþ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ,îïóáëèêîâàííîãî â îäíîé-äâóõ ðàáîòàõ, è íå æäàòü ìíîãîêðàòíîãî ïîâòîðåíèÿýêñïåðèìåíòà.2. ×òîáû ïðåäñêàçàòü ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ ëþáîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû ìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü åå ñðåäíåå çíà÷åíèå.2.3 ×èñëî ñîñòîÿíèé, ïëîòíîñòü ÷èñëà ñîñòîÿíèéÐàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå ìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû ïîëíîñòüþ îïèñûâàåòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèìè âåëè÷èíàìè àääèòèâíûìè èíòåãðàëàìè äâèæåíèÿ è ôóíêöèÿìè îò íèõ. Ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ çàìêíóòóþ ñèñòåìó, â êîòîðîé îáúåì è÷èñëî ÷àñòèö çàäàíû, à îñòàëüíûå èíòåãðàëû äâèæåíèÿ, òàêèå êàê èìïóëüñ, ìîìåíò èìïóëüñà, ìàãíèòíûé è ýëåêòðè÷åñêèé ìîìåíòû, ðàâíû íóëþ.