Киселев В.В., Квантовая Механика. Часть 2, страница 10
Описание файла
PDF-файл из архива "Киселев В.В., Квантовая Механика. Часть 2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая физика" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 10 страницы из PDF
w v6×N E ~>ä)z» (|" ~é( »)¿ ¬"Ô~zèõ$( ¥ z£ ~ C~Ô(| z C~(|" z|Ê(| )Ô(| z~Ô]) z6~ Ô z ,z»õÔzÈ|kik̂|ki = k|ki,k̂|0i = 0⇒Çä)z C−i ∇a = k aþ$(|)Ô~z"õ(¬ (|"z±~(| C~Ô) ¿¥é¿~(|"z«⇒[a, k̂]|ki = k a|ki.a = eik·x a0 .1q̂0 (k) = √ {a†0 (k) + a0 (k)}2ÊI² NKVdÚÀ¬~£ z| zʤ|"~ ~ ¡ zèÊzH) ¡ ~±~±¿~(|"z«>~6( w o1 n ikx †q̂(k) = √e a0 (k) + e−ikx a0 (k) .2ªV»$|>¬(¬ )$|H¿c6z~~ z ¿¥é C~¿¬ (|"z E( ~±~c~Ôz ~1a0 = √â2~ω⇒ ~]¬ (|"z(|[â(k), ↠(k0 )] = 2~ω (2π)3 δ(k − k0 ),oc n ikx †c~e â (k) + e−ikx â(k)φ̂(k) = √ q̂(k) =2ω~ω¬>¿» z«* å) z6~ hφ̂(k)i =o1c n ikx ∗hα(k)|φ̂(k)|α(k)i =e α (k) + e−ikx α(k)hα(k)|α(k)i2ω>zÔ z~±$| zH¿6$|) ~Ô) ¿]¬"(φ(x) =Zd3 khφ̂(k)i.(2π)3ÁÈ|"z|"]¬"(>6z~~ z ¿¥é C~¿]~ ¡) zH~6é¬ (|"z(|φ̂(x) =Z w §oc d3 k n ikx †−ikxâ(k)+eâ(k).e2ω(2π)3Ç)Ô ¿) 'õÔz ¿6$|) ~Ô) ¿>¬"(]]~ ¡) zc) C«*$| | C¬6~z« 6z z~³õz"w w$"¥Â¿}~~³w³ï 6 z ~ ö¤)(|)Ô ~) ;¬ (|"z(| ¿|"z|"»c¬"i¬Ê¿» z«* 0) z6~ 'w¡yX»$| ¬~}~¬)z z z~õV¬~3£"è E ;¿"~Ô) z ¿|"zÂÈ¿z|"}~ C~e~6¿"~Ô) z| ¡>¬ )£ Ôèõ@~û C« ~ ¡)) í(|£" @$|) ¡|α(k)|2 1¿6$|) ~Ô) ¿]¬"(wÇc¬ z ~» | C~6èz~(|"8¿|"z|"»¬"¬"Ô(| z3~¤>» | C~6èz~(|"(|é¿6$| ~Ô) ¿»H¬"c¬)( z|"¿¥i¿|"z|"» ¬"c~c¤)6z~) , L|è»Ê ~ C"$|6¢#1Ĥ =2Z3d x :1 ˙(φ̂(x))2 + (∇φ̂(x))2 + m2 c2 φ̂2 (x)c2:.
w Ó ÍÓÔÓ &ÍÍ ×"Ø#Ù×"yX z6~õ¬E$|) C«*( ¥ z~) ¬ (|"zE( ~ ¿|"z]¬"H(|È|"¿6 'õ) z|" " z3£|"¤)~±Â¿ ¿»3»)~6è£ z|¬ z(|" z|6z~~ z ¿¥e¿|"z¥û ¡|"~¿ £)«@±z~ÔH¿|"z|"«@±¬"( ¥³w) zx×N6z~~ z ¿~é~|"~(|"z(|" C~¿6| )(|)Ô(| z~Ô«@é) z6~¥Ô ~6õ~ ¡) zH~6â(k)|0i = |ki,hk|k0 i = 2~ω (2π)3 δ(k − k0 ). w ÀÀ;\]I(^*_å®b,°IO¡dNKNQ$KNM$M²³_Vd²NQ_NjVPNQ_Vd0^I6´³_NjNKN²³_Ç ¿"è¿e(èz| ¿}~;¬~;( £ ³) ,¬ z(|" z| õV3(2π) δ(k)|k=0 =~Ô~(|¤)(|)Ô ~~"», ¿z(|,«'(|"E| z0Ô ¤Zd3 x e−ik·x |k=0 = V,1 hk|ki2(k) V;PO~ ¡) zÊ) C«*i C~¿~)Ô(| z~Ô» ) z6~éH~6( vÔ(| z~}«(|H£ ³) ) » ¬ z(|" z|6wÇ)Ô ¿) 'õLÔzi¬6(z zè6z~~ z ¿~ C~|"«@å) z6~¥¬ (( ¥ä) »)~ ¥¤|$| z±~|"~(|"z¥~Ô~¥d3 k2~ω(2π)3⇒=Z|kid3 khk|,2~ω(2π)3"z|"¿iÔz ) z6~é~¤>¿ ¿» ¬ z(|" z|ʬ( z|" zÊ~6(E ¬ ¬¤)~}~¥ C»Ô(| z~Ô«@) z6~¥³õ(|"¬~ ¡ ³õ|Φi =Z YnÓ ÍÓ 0Ó [ÍÙ #) Aµ/i=1d3 k iΦ(k1 , .
. . , kn )|k1 , . . . , kn i.2~ωi (2π)3Á C¬6( ¿ ¿6|6¬"(** L|))¥6 z ¬ ¬¤)~}~ ¥H> ·E) z «@H¬"( ¥mÈz¥± L|))¥³õφ1,2 w À1φ(x) = √ {φ1 (x) + i φ2 (x)},2z|"¿±ÔzH 6 ¡ C ( ¥ z~¥±c ·E) z «@c¿ C¬ z ¡>>¬( z|"~zèÊH~6(1c~2Zd4 x φ† (x)(p2 − m2 c2 )φ(x).
w Í w À*(¬ ¿6| z w ÃÔzõN¿6|"¿8»6z"õ¡¬( zi¿6|~£Ô«*±¬)£(|"¤|"~8¬"õC z|"" ·~Ê~|"~ |"z«* ( ¥ z~w*Ï« ~ö¬(( ~3Â]|"¤)« Â]|"¿z,z ~6(õ@Ôz8~ö¬~¬(( ~~¿6|~£Ô«@¬)£(|"¤|"~¥é 6z~~ z ¿¥i"¥é¿}~~³wyX»$| éz)) ¡ RQ z ¿6|~£Ô¥,~|"~(|"z z~8( ¥ z~z Ô(| zi))6(|"" ·~¥c ¿zz¿6| w |)~ w ©S=¶ «@(( ~> ¿ C¬6( ¿ ;¬"(E¬(|"« ~(| C~Ô) ¿~6 EX· ) z «@i¬"( ¥( ~¬~¤)"襻(£|è¥é¿ C¬6( ¿ ¥iÂ]|"¤)«¢uφu (x) = e−i ue/(~c) φ(x),e~c1 µ ∂φ†u (x)δSδS∂φu (x)j =+,†c∂u δ∂µ φu (x) δ∂µ φu (x) ∂ujµ = ie{φ† ∂µ φ − (∂µ φ)† φ}.c~∂µ j µ = 0.ÊI² NKVdÚ"ÀͶÐyXz z z ·~¥é))6(|" ·~¥±¤|"Q=Z w 6v6d3 x j0 (x).¶X() å¿ C¬6( ¿ » ¿|"z|"»c¬"é¬ (|"z«õ) z|"( «*>~¤E¬ (|"zE( ~±~c~Ôz ~ ·E) z «@±¬"( ¥³õ1â(k) = √ {â1 (k) + iâ2 (k)},21â†c (k) = √ {â†1 (k) + iâ†2 (k)}.2ªV»$|Ecä)z~6c¬ (|"zÊ ¬(|"~« ( ·~È¿ ¡ Cz|"}~«*E)z E ~¢[â(k), ↠(k0 )] = [âc (k), â†c (k0 )] = 2~ω δ(k − k0 ),#[â(k), âc (k0 )] = [â(k), â†c (k0 )] = 0.ÁÈ|"z|"]¬"(¤|"¬~ E zcÔ ¤ä)z~¬ (|"z«0>~6(φ̂(x) =Zoc d3 k n ikx †−ikxeâ(k)+eâ(k).c2ω(2π)3{ »)~c¬"c¤|$| z±» | C~6èz~(|" Ĥ =Zd3 k~ω {↠(k)â(k) + â†c (k)âc (k)}.2~ω(2π)3жûz>) Cc¿|"z|"«'¥¤|"ä)zE L|è«'¥i ~ C"VõQ̂ =¿z«'¥(|" Q̂ = eZZd3 x : j0 (x) :,d3 k{↠(k)â(k) − â†c (k)âc (k)},2~ω(2π)3 w w § w " w w À w Í w û( }~6~ ·~])E) ¡ ) ¿6$|«0)¿(|"z~6~ èwÇ"Ô «*«'(|" ~¬"¥åä) »)~~å~å¤|"$|¿|"z|"»¬"»6zz 'õÔz>>¬ z(|" z]"»> ¿z(|1 †â (k)â(k),2~ω1 †â (k)âc (k),2~ω cÐ C~ä)z>¿¬6 (z zÐa~¿¬|" (z|"z e¤|"E(( ~û~ ¿|"õz)|z¤|"z z( õXõ(|z|"¿±Ôz>ÐËH¬ 6(z|"~z~e z ¿E¥é( ~ n+ (k) =e↠(k)|"z~Ô(| z~}«¤|"( −ewn− (k) =−eÓ ÍÓ ÍÓ Ø#0 ÍÝÞ[Ù) ,+eâ†c (k):Ç z~ 0~ ¥«'¥,¬ (|"z8¤|"(»)¬6 ~õC¿z«'¥ z|" zi~|"~(|"z«* |"¿6 C|0i = |0i\]I(^*_å®b,°IO¡dNKNQ$KNM$M²³_Vd²NQ_NjVPNQ_Vd0^I6´³_NjNKN²³_ÀÃ~c¬ )~z ) z6~Ô(| z~}«0H) z6~|"z~Ô(| z~}«õ$))6(|"6c C~¿¢C|ki = η |kc i,»(|ki = ↠(k)|0i,ïz @$|( »)¿H¬"Ô~zè|η| = 1,|k c i = â†c (k)|0i.C ↠(k) C−1 C|0i = η â†c (k)|0i,~c(|"¿ }³õ( ¥ z~¤|"(»Ê)¬6 ~±(|>¬ (|"zE( ~±Ô(| z~}«C ↠(k) C−1 = η â†c (k).Ç ¿"迱¿(|"z¬~ ¡ ~E¤|"(» )¬6 ~i¤)(|"·>| zc) z6~EÈzÔ zè (>Â]|"¤)«ªV»$|>~¤ w @( z"õÔz#C2 = ξ,|ξ| = 1,η C â†c (k) C−1 = ↠(k)⇔⇒C−2 = ξ ∗ .
w ~ ) w À©C â†c (k) C−1 = η ∗ ↠(k).yX E Ê|"(|(»)~ÔH~¤~|"~(|"z z~é|"¿6 L|¬"Ô(|) C â(k) C−1 C|ki = C â(k) C−1 η |kc i = |0i.Çä)z CC âc (k) C−1 = η â(k), w À6v6 w ÀC φ̂(x) C−1 = η ∗ φ̂(x)† .# w À§C â(k) C−1 = η ∗ âc (k),~c¿6|"¿é(( z~õ z|"¶å~z»õÔ ~6õÔzE¤|"()¬6 ~] ¡ zH¤)(|"¿c¤|"$| ¢−16å~|"~(|"z«* » | C~6èz~(|"³w*ÁÈ ¡éz»õL( »)¿8¤| ¡ z~zèõXÔQ̂zC(Q ¥C z~=é¤−Q,|"(»)¬6 ~(|¿|"z|"]¬"(¬(|"¿z~Ô) ¿~é )~z¿± »>ä) C~z Cc)¬6 ~ E¢ÇÈ~±ä)z 'õ¿ Ôõ¿|"z|"( ¥ z~ z| z~|"~(|"z«* 'wÓ ÍÓ ÓSÙ[ Y[Ù) *)ÇÈ~±¬ z ~~é¬ (|"z(|H£(|"·E ~c) ¡ ~Tt −→ t0 = −t,)£))~ ¡ÊÔ) zèʤ|"~ ~ ¡ zè ) z6~¥Â¿ ¿» ¬ z(|" z|Êz ) ¡ ~³w$æÈz|"¿³õ(¬(>~ 'õÔz>~ ~c) ¡ ~é))6(|" zH|"¿6 T|0i = |0iÊI² NKVdÚÀ~H~¤ ¡ z(|"¬(|"( ~*~ ~H(|Ȭz~¬"(>õz|"¿HÔzÈH)Ô(| z~Ô») z6~w À"00T|k, ti = ζ | − k, t i,Ç ¿"è¿c>6 ,~6(õ(|"¬~ ¡ ³õ( ¥ z~]¬ (|"z(|T|kc , ti = ζc | − kc , t i, w À|ζ| = |ζc | = 1.|k, ti = e−iωt |ki = e−iωt ↠(k)|0i,T¬~)~zÊ¿0Te−iωt T−1 T ↠(k)T−1 |0i = ζ e−iωt ↠(−k)|0i.ïz @$|E«')~ 'õ( ¬ «@õÔz w ÀÀ~³õ6 z«@õ(( z~õ w ÀÍz"w w¬ (|"zÊ£(|"·E ~H) ¡ ~ 6 z¶äòîoæ éæòë ò óÊ¢H¬ )~zÔ~(¿ C¬6( ¿ H)¬6 'yX)6(|""·~¥c C~¿ ) z6~±|"z~6~ ¥«'¥é¬ (|"zc(|"¤)«'| z|"z~~z|"«* 'w¾ ¥ z~z|"¿» ¬ (|"z(|H£"$|$| zÊ( ·~ C~ ¥ z| C~³¢ w ÀÃ~±)»$|)|"«* eÈä)z~ £(|"¤ 'õ w À C~z )¬6 «'¥i¬ (|"z±±|"z~6~ ¥»Ê¬( zé)zE ~) { w Í©¾E|()Ez) e> ¬)£ 'õÔzÊ~¬~i¬ z ~~3)zE ~¥i¬ (|"z(| ¤|"(»)¬6 ~õ((|)~ åÈÔ z å|"z~6~ ¥ z~i¬ (|"z(|>~ ~~) ¡ ~ w Ív6T ↠(k)T−1 = ζ ↠(−k),t0 = −tTe−iωt T−1 = eiωt ,r ;XTzT−1 = z ∗ = z̄.T(c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i) = c∗1 |Tψ1 i + c∗2 |Tψ2 i,hTΦ|TΨi = hΨ|Φi = hΦ|Ψi∗ .hΦ|TΨi = hΨ|T† Φi.T â(k)T−1 = ζ ∗ â(−k),T â†c (k)T−1 = ζc â†c (−k),ªV»$|>H ~6T âc (k)T−1 = ζc∗ âc (−k).T ↠(k)â(k)T−1 = ↠(−k)â(−k),T â†c (k)âc (k)T−1 = â†c (−k)âc (−k), w Í» | C~6èz~(|"~¤|"¬" z|"zä) C~z«* C~3¬ (|"z(| C~³õ³~~ z| z~ĤQ̂|"~(|"z«* C~é¬~±£(|"·E ~~é z«;) ¡ ~³õ¿6|"¿±ä)z»>~((|( >~6$|"zèw¾ ¥ z~]¬ (|"z(|>~ ~~) ¡ ~±(|E¿|"z¬"(Tφ̂(t, x)T−1=Zoc d3 k n −i(ωt−k·x)†i(ωt−k·x) ∗eζâ(−k)+eζâ(−k)=c c2ω(2π)3Zoc d3 k n i(−ωt−k·x)†−i(−ωt−k·x) ∗eζâ(k)+eζâ(k)cc2ω(2π)3\]I(^*_å®b,°IO¡dNKNQ$KNM$M²³_Vd²NQ_NjVPNQ_Vd0^I6´³_NjNKN²³_Í© ¡> ) z~±¿Tφ̂(t, x)T−1 = ζ ∗ φ̂(−t, x),z"è¿ )~ζ ∗ = ζc .
w ͧªV»$|~3¿|"z ( ¥ z~ £)»é¿ C¬6( ¿ » ¿6|6»é¬" z|" z~|"~|"z«* z ~zè ~ ~~ ) ¡ ~³wÓ ÍÓ 0ÓSÙ[ ×"Ø#Ù×"Ø) ÿþ ¿6|èz(|" ~¬ z(|" z|Px −→ −x," ¿ |"z¥ ¡|"~¿E £)¥6z~~ z ¿¥ ¿6|6¥iÔ(| z~}« )z z z zÊ~ ¥ Cc¬ (|"zõ())6(|" ·E) C |"¿6 w Í P|0i = |0i~c¬)£(|"¤) ·E) Cõ(|"¬~ ¡ ³õ()Ô(| z~Ô) z6~õ$))6(|"6± »> C¢P|ki = ξ| − ki,|ξ| = 1, w Í~|"(|(»)~ÔH±|"z~Ô(| z ~}«wªV»$|Ez|]È ) L|(|) E( ~¥³õ6Ôz~ ¬«@·~6Ê(|"¤ ($|õ6¬~)~z>¿c(·~ ,)z E ~ '¢P ↠(k)P−1 = ξ ↠(−k),P â(k) P−1 = ξ ∗ â(−k),P â†c (k)P−1 = ξc â†c (−k),P âc (k)P−1 = ξc∗ âc (−k).Ç"(¬)£(|"¤) zé)»$| )~Pφ̂(t, x)P−1 = ξ ∗ φ̂(t, −x),ÔzE$| zHz|"¿~|"~(|"z zè ( ¥ z~wξ ∗ = ξc , w ÍÀ w ÍÍ w Íà w Í w é w Ã6v6ÊI² NKVdÿRÍv [T¥¤6¦[·n ¢¤$½6¥®n¤¢¥«£§§²»0·-© ½6¹ ££¬Y«[nº(¥¢£¤6§²¥£[©[ ¢«¥§£¼£¨t ¢¦[¦ (§«[©º6¥»³¯ ¢´²¨n£[¯6°-n¥¨ ¹³ 6°n°-°-¤6®½6£³¥¤6´²¦°-³ ®££¥¤6¼¦½¤6 ¢½ ¥¢¤6n½µ ¢«¥§£»=© ½6nnµ[µ°-«[¢n½6½£°-¼¤6¼·n£¤i¦[ (°-®«[£º¢¸¸¥½6¦¤6¦[ ¹ n»6¥ ¢£¥¢»¢£¯6nª[¨ 6¹ °-¢ 6£°n°-¡¤6³Þ½6³°µW®¦¯6¤6£[¢°-£®½6£¤6¥®¤6¤¢¦ «[¤¬!£¦[¥ ¢¤6¼µk °-£k®£¤6¦[® (n«[¦[º6 ¢¥¡¤£°-§Y¢®º6ÌĦ¤£°-¢¦[ ¢¥[¸Ô°-£¢¥½6½n ¢¥¦¥£[¤6 ¢µY¥£¢¥¥½6¤n°-¦[¢º[°-£»¢££¥»(·-½6 n¹Í¦[°-¹ £ (§ ¸©½¹ ¢¤6 ¢¥½6¢£¤6¦6£»[¡°-®¤6³Ã®¦¦¤6£in§¼£¬Y¢´yn¤6¥ (¦£«[³ã·nn¥[¯6¯6£[ =¦[°- °-®¤»£°-¼¥¢£¤6¤¦[¦[§ ( ¥«[»£º6© §y¥£³°¦[W ¢¨t¼ ®¤6©"¦½ ¢¤6°-¥n¼¥¼£³ ¢µ!¤6¹ ¦°-®³¨n£¥[»¥ © ª¤6£n¦=¦[¥° ¢£¼¹ ¤6¹ 6½°n°-°-°-¼®¤6£i£µ¥[»6°- ±¤6» ¦[®°- ¢¦± ½6§¹Í¥¬Y¹nn¥ !¥£¥® ³¤=µi®£¤¢°-¦[«® ¢§£¼¦¥ £¤6»(¨t¦¼ ¢»[½¡ ¢¨t£ ¢¥§ ¦¢¹§¤¢¸¸ »®¦§¦©+©"¤6°-½6(¤k ¢°n½¢ «[¹ n¥¤£°-¤6 ®¦§£¬Y¦[ ¢n¼¥ ¥³©[«q§=°-®·- £¹Í¥¤6¹ ¦ (³ ¸ ¹ i ¢¢ ¢¦µ£¤6¡¦[»( ¢© ¥[£[ °-» ¼¹ ¦ ¢nµ¢¥¤6¦[³ ¢2¥°-¤6£ ½¹Í°-¼¹ (n§ ¢¦¹ £ 6£!°n°n©[ «Ï §=®¤¢«§ £¦[ ¢¼ »¢¨t (¸0ÓÔÓ o[ß[ ÙÜÇÈ(|"È¿~(|è£ ¤ L|))¬"(õ¬)£(|"¤) ·E))c¬¬( z|"( ~# »)¬ õ)»$| £·E) Cc L|~¤ CÊ(( z zÊ(|" ~#¬« ÿù¤CPÉÉÉÿÉh( 12 , 0)χ̄α̇ (x)SL(2, C)s pk χ̄ =1 kW χ̄,~»(Ê ¬~(|è zèõ |±¬ (|"zN¤|$| z¬¿ C¬ zõCz|"¿Ôz±3) ¡ µ7 ¥s = 12Wk¿ C¬ z«"1 0 1W = p · σ,|E(|" ~ c¬ z(|" z «@é¿~ C¬ z"2õ(¿6|"¿é C«;¬¿6|"¤|~³õ(6 z±(( z ~) å¤|¬~~ L| z$|"»>¬( z|"( ~±c£ ¤ L|))»H¬"w¶û6 ,~6(õ6(|" ~p0~66wxvp0 χ̄ = p · σ χ̄,~6~ÈÔ z ¬(( ~± ¿z(|H ~» L| L|"z~} 67 6z~~ z ¿'(|" ~qÑpk σ k χ̄ = 0⇔ñ(|" ~ 6wxv V ¡ z£«'zè¬( z|"( ¿6|"¿¬(|"»H¿~(|è» Â C~(|À7"9 U Ь~Ô) » | C~6èz~(|"yiÔ z ±z»õÔz¬i~U∂ χ̄= H χ̄,∂tpk σαk α̇ χ̄α̇ = 0.