02 Линейные подпространства. Евклидовы пространства (Лекции Линейная алгебра и ФНП), страница 4

ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА0Определение 2.5. Функцию, заданную на линейном пространстве L, которая каждомувектору x ∈ L ставит в соответствие действительное число kxk, называют нормой, если онаудовлетворяет следующим аксиомам нормы:а) kxk > 0, причем равенство kxk = 0 возможно только при x = 0;б) kλxk = |λ| kxk, λ ∈ R;в) kx + yk 6 kxk + kyk (неравенство треугольника).Как утверждает следующая теорема, исходя из скалярного умножения в евклидовом пространстве можно задать норму.Остается проверить аксиому 3) нормы, для чего мы воспользуемся неравенством Коши —Буняковского (2.3), которое можно записать в видеpp(x, y) 6 (x, x) (y, y)ÔÍ-12J Отметим, что, согласно аксиоме г) скалярного умножения, (x, x) > 0 и, следовательно,функция, заданная соотношением (2.6), определена для всех векторов x евклидова пространства.Проверим выполнение аксиом нормы.

Аксиома 1) нормы немедленно следует из аксиомы г)скалярного умножения (определение 2.3). Аксиома 2) нормы вытекает из аксиомы в) скалярногоумножения и свойства 2.1:√ pppkλxk = (λx, λx) = λ2 (x, x) = λ2 (x, x) = |λ| kxk .ÌÃÒÓТеорема 2.3. Всякое скалярное умножение в евклидовом пространстве определяет нормусогласно формулеp(2.6)kxk = (x, x).ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓВ линейном пространстве обобщением понятия длины свободного вектора является норма. Длину вектора в линейном пространстве V3 или V2 можно рассматривать как функцию,определенную на множестве V3 (соответственно V2 ), которая каждому вектору ставит в соответствие число — его длину. Эта функция обладает некоторыми характерными свойствами,которые и служат основой для определения нормы в линейном пространстве.

Норму вектора влинейном пространстве иногда называют длиной, имея в виду связь с аналогичным терминомвекторной алгебры.ÌÃÒÓÔÍ-122.6. Норма вектораÔÍ-12ÌÃÒÓи в соответствии с (2.5) cos ϕ = 0.ÌÃÒÓÔÍ-120ÔÍ-12ÔÍ-120ÌÃÒÓÌÃÒÓ29ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2. ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАили, с учетом (2.6),(x, y) 6 kxk kyk .Используя это неравенство, получаемkx + yk2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2 (x, y) + (y, y) 6ÔÍ-122.7. Ортогональные системы векторовОпределение 2.6. Два вектора в евклидовом пространстве называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.y = α1 a1 + . . . + αk ak ,ÌÃÒÓОртогональность векторов x и y будем обозначать так: x ⊥ y. Отметим, что, согласносвойству 2.3 скалярного умножения, нулевой вектор ортогонален любому другому.Евклидово пространство — это, согласно определению 2.3, частный случай линейного пространства, и поэтому можно говорить о его линейных подпространствах в смысле определения2.1.

Каждое из таких линейных подпространств является евклидовым пространством относительно скалярного умножения, заданного в объемлющем евклидовом пространстве.Говорят, что вектор x в евклидовом пространстве E ортогонален подпространствуH, и обозначают x ⊥ H, если он ортогонален каждому вектору этого подпространства.Если H = span {a1 , . . . , ak }, то условие x ⊥ H равносильно тому, что вектор x ортогоналенкаждому вектору a1 , .

. . , ak . Действительно, если x ортогонален H, то, согласно определению,он ортогонален и каждому вектору a1 , . . . , ak . Докажем противоположное утверждение. Пустьx ⊥ ai , i = 1, k, и y ∈ H. Тогда вектор y является линейной комбинацией векторов ai :ÔÍ-12ÌÃÒÓIÌÃÒÓÌÃÒÓ6 (x, x) + 2 kxk kyk + (y, y) = (kxk + kyk)2 .В частности, если векторы x и a ортогональны, то для любого λ ∈ R векторы x и λa тожеортогональны:(x, λa) = λ (x, a) = 0.Рис.

2.4В пространстве V3 ненулевым ортогональным векторам x и y можно сопоставить катеты прямоугольного треугольника, причем так, что ихсумме, построенной по правилу треугольника, будет соответствовать гипотенуза этого прямоугольного треугольника (рис. 2.4). По аналогии сV3 мы назовем в евклидовом пространстве сумму x + y ортогональныхвекторов x и y гипотенузой треугольника, построенного на x и y.

Тогда на произвольное евклидово пространство распространяется известнаятеорема Пифагора.ÌÃÒÓÌÃÒÓ(x, y) = α1 (x, a1 ) + . . . + αk (x, ak ) = 0.ÔÍ-12ÔÍ-12и поэтому, согласно свойству 2.4,kx + yk2 = kxk2 + kyk2 .J Здесь под нормой мы, как обычно, понимаем евклидову норму. Выразим левую часть этогоравенства через скалярное произведение и воспользуемся условием ортогональности (x, y) = 0:IÌÃÒÓkx + yk2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2 (x, y) + (y, y) = kxk2 + kyk2 .ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Теорема 2.4. Если векторы x и y из евклидова пространства ортогональны, тоÌÃÒÓ(2.7)Умножим это равенство скалярно на какой-либо вектор ei :(α1 e1 + . . .

+ αi ei + . . . + αm em , ei ) = (0, ei ) .В силу свойства 2.3 скалярного произведения правая часть полученного равенства равна нулю,и мы, преобразуя левую часть в соответствии со свойством 2.4, получаемα1 (e1 , ei ) + . . . + αi (ei , ei ) + . . . + αm (e1 , ei ) = 0.Так как система векторов ортогональна, то все слагаемые слева, кроме одного, равны нулю,т.е.αi (ei , ei ) = 0.(2.8)Так как вектор ei ненулевой, то (ei , ei ) 6= 0 (аксиома 4 скалярного умножения). Поэтому из(2.8) следует, что αi = 0.

Индекс i можно было выбирать произвольно, так что на самом делевсе коэффициенты αi являются нулевыми. Мы доказали, что равенство (2.7) возможно лишьпри нулевых коэффициентах, а это, согласно определению 1.2, означает, что система векторовe1 , . . . , em линейно независима. IПример 2.13.

В евклидовом пространстве C[0, π] система функций cos kx, k = 1, n, является ортогональной, поскольку(cos kx, cos lx) =cos kx cos lx dx = 00при k, l = 1, n, k 6= l.Дополнительное требование к нормам векторов в ортонормированном базисе в принципе неявляется существенным, так как любой ортогональный базис легко преобразовать в ортонормированный, умножая векторы на соответствующие нормирующие коэффициенты (разделивÔÍ-12Определение 2.8. Ортогональный базис называют ортонормированным, если каждыйвектор этого базиса имеет норму (длину), равную единице.ÌÃÒÓЕвклидово пространство является линейным пространством. Поэтому правомерно говорить о его размерности и его базисах. Как и произвольные линейные пространства, евклидовыпространства можно разделить на бесконечномерные и конечномерные.Если базис евклидова пространства представляет собой ортогональную систему векторов,то этот базис называют ортогональным.

В силу теоремы 2.5 любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима, и если она в n-мерном евклидовом пространствесостоит из n векторов, то является базисом.В линейном пространстве все базисы равноправны. В евклидовом же пространстве наличиескалярного умножения позволяет выделить среди всех базисов ортогональные и ортонормированные, которые более удобны и играют в линейной алгебре роль, аналогичную роли прямоугольной системы координат в аналитической геометрии.ÔÍ-12ZπÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓα1 e1 + . . . + αm em = 0.ÔÍ-12ÔÍ-12J Рассмотрим произвольную ортогональную систему ненулевых векторов e1 , .

. . , em . Предположим, что для некоторых действительных коэффициентов α1 , . . . , αm выполняется равенствоÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 2.5. Любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.ÌÃÒÓÔÍ-12Следующее свойство ортогональной системы является самым важным.ÔÍ-12ÌÃÒÓОпределение 2.7. Систему векторов евклидова пространства называют ортогональной, если любые два вектора из этой системы ортогональны.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ30ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2. ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓИспользование ортонормированных базисов облегчает вычисление скалярного произведенияпо координатам векторов. Пусть в евклидовом пространстве E задан некоторый базис e == (e1 , e2 , .

. . , en ). Рассмотрим два произвольных вектора x и y в этом пространстве. Этивекторы представляются в базисе e своими координатами:x = x1 e1 + . . . + xn en ,Запишем эти разложения векторов по базису в матричной форме:  x1y1 ..  .. x = ex, x =  .  ,y = ey, y =  .

 .xnynСкалярное произведение векторов x и y может быть выражено через скалярные произведениявекторов базиса:nnn XnX XX(x, y) =xi ei ,yj ej =xi yj (ei , ej ) .i=1 j=1Составив из скалярных произведений базисных векторов квадратную матрицу Γ = (ei , ej )порядка n, мы можем записать скалярное произведение заданных векторов в матричной форме:т(x, y) = x Γy.тт(x, y) = x Ey = x y = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn .а для косинуса угла ϕ между ненулевыми векторами x и y получаем выражениеx 1 y1 + x2 y2 + .

. . + xn ynpcos ϕ = p 2.x1 + . . . + x2n y12 + . . . + yn2(2.10)ÔÍ-12В частности, в ортонормированном базисе норма вектора x, которая выражается через скалярный квадрат этого вектора, может быть вычислена по формулеqpp22(2.9)kxk = (x, x) = x1 + . .

. + xn = xт x,ÌÃÒÓМатрица Γ является симметрической в силу коммутативности операции скалярного умножения.Ее называют матрицей Грама системы векторов e1 , . . . , en .Пусть базис e является ортонормированным. Тогда скалярное произведение (ei , ej ) принесовпадающих i и j равно нулю, а скалярные квадраты базисных векторов равны e2i = kei k2 =1.

Это значит, что для ортонормированного базиса матрица Γ является единичной. ПоэтомуÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12j=1ÌÃÒÓÌÃÒÓy = y1 e1 + . . . + yn en .ÌÃÒÓÌÃÒÓПример 2.15. Векторы i, j образуют ортонормированный базис в пространстве V2 свободных векторов на плоскости. Точно так же векторы i, j, k образуют ортонормированный базисв пространстве V3 .ÔÍ-12ÔÍ-12Пример 2.14.