02 Линейные подпространства. Евклидовы пространства (Лекции Линейная алгебра и ФНП), страница 3

. . , ak совпадала с линейнойоболочкой расширенной системы a1 , . . . , ak , b, необходимо и достаточно, чтобы были равныразмерности этих линейных оболочек.Предположим, что квадратная СЛАУ Ax = b имеет решение при любом столбце b правыхчастей. Рассматривая столбцы матрицы A и столбец b как элементы a1 , . . . , an , b n-мерноголинейного арифметического пространства и записывая СЛАУ в векторной формеÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ24ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2.

ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓПример 2.9. В произвольном n-мерном линейном пространстве L всегда можно ввестискалярное произведение, причем различными способами. Выберем в этом пространстве некоторый базис e1 , . . . , en . Для произвольных векторов x = x1 e1 + . . . + xn en и y = y1 e1 + . . . + yn enположим(x, y) = x1 y1 + . . . + xn yn .Нетрудно убедиться, что аксиомы скалярного умножения выполняются, т.е. n-мерное линейноепространство становится евклидовым. Отметим, что разным базисам будут соответствовать,вообще говоря, разные операции скалярного умножения.Задание скалярного произведения через координаты векторов в некотором базисе можно рассматривать как обобщение стандартного скалярного произведения в Rn : компонентыx1 , x2 , .

. . , xn вектора (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn являются координатами этого вектора относительно стандартного базиса в линейном арифметическом пространстве.Z1(f, g) =0Убедимся, используя свойства определенного интеграла, что эта операция — действительноскалярное умножение.Аксиома а):Z1Z1(f, g) = f (x)g(x) dx = g(x)f (x) dx = (g, f ) .00Аксиома б):0Z1Z1f1 (x)g(x) dx +0f2 (x)g(x) dx = (f1 , g) + (f2 , g) .0Аксиома в):Z1(λf, g) =λf (x) g(x) dx = λ0Z1f (x)g(x) dx = λ (f, g) .ÌÃÒÓ(f1 + f2 , g) =f1 (x) + f2 (x) g(x) dx =ÔÍ-120Z1(f, f ) =Z1f (x)f (x) dx =0f 2 (x) dx > 0.0Из свойств непрерывных функций следует, что последнее неравенство превращается в равенство только в случае, когда f (x) ≡ 0. #ÔÍ-12Аксиома г):ÌÃÒÓÌÃÒÓf (x)g(x) dx.ÌÃÒÓПример 2.10. Линейное пространство C[0, 1] всех функций, непрерывных на отрезке [0, 1],тоже становится евклидовым, если в нем ввести скалярное умножениеÔÍ-12ÌÃÒÓвводит скалярное умножение, поскольку выполняются аксиомы скалярного умножения.

Указанное скалярное умножение векторов из Rn иногда называют стандартным, а само Rn —евклидовым арифметическим пространством.ÌÃÒÓÔÍ-12(x, y) = x1 y1 + . . . + xn ynÔÍ-12ÌÃÒÓПример 2.8. В линейном арифметическом пространстве Rn формулаÌÃÒÓÔÍ-12определением 2.3. Таким образом, линейное пространство V3 относительно указанной операцииявляется евклидовым пространством.Z1ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ25ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2.

ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓÌÃÒÓ26Непосредственно из аксиом скалярного умножения следует ряд его простейших свойств.Далее x, y, z — произвольные векторы евклидова пространства, а λ — действительное число.Свойство 2.1. (x, λy) = λ (x, y).J Это свойство аналогично аксиоме в) скалярного умножения и вытекает из равенствÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2.

ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАкоторые выполнены в силу этой аксиомы и коммутативности скалярного умножения (аксиома а)). IСвойство 2.2. (x, y + z) = (x, y) + (x, z).ÌÃÒÓÌÃÒÓ(x, λy) = (λy, x) = λ (y, x) = λ (x, y) ,ÔÍ-12ÔÍ-12J Это свойство аналогично аксиоме б) и следует из равенств(x, y + z) = (y + z, x) = (y, x) + (z, x) = (x, y) + (x, z) ,которые выполнены в силу этой аксиомы и коммутативности скалярного умножения.

IСвойство 2.3. (x, 0) = 0.Свойство 2.4.k=1J Утверждение является обобщением аксиом б) и в) и выражает собой многократное применение этих аксиом. Доказательство базируется на методе математической индукции, которыйпроводится по количеству m слагаемых в формуле. При m = 1 формула совпадает с аксиомойв) скалярного умножения. Пусть формула верна для некоторого значения m. Тогдаm+1Xm Xαk xk , y =αk xk + αm+1 xm+1 , y = аксиома б) =k=1k=1mXk=1αk xk , ymXпредположениеαk (xk , y) + (αm+1 xm+1 , y) =+ (αm+1 xm+1 , y) = математической =индукцииk=1= аксиома в) =mXαk (xk , y) + αm+1 (xm+1 , y) =k=1m+1Xαk (xk , y) .Ik=1Свойство 2.5.

Если векторы x и y евклидова пространства E таковы, что для любогоz ∈ E выполнено равенство (x, z) = (y, z), то эти векторы совпадают: x = y.ÔÍ-12J Это свойство не является достаточно очевидным и интуитивно понятным, но играет важную роль в некоторых доказательствах. Чтобы доказать это свойство, преобразуем равенство(x, z) = (y, z) в форму (x − y, z) = 0, воспользовавшись аксиомой б). Полученное равенствоверно для любого вектора z, в частности, оно верно для вектора z = x − y: (x − y, x − y) = 0.Последнее же равенство, согласно аксиоме г), может выполняться только в случае, когдаx − y = 0.

IÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ Pmαk (xk , y), где αk ∈ R, k = 1, m.αk xk , y =k=1=ÔÍ-12PmIÔÍ-12ÔÍ-12(x, 0) = (x, 0 · 0) = 0 (x, 0) = 0.ÌÃÒÓÌÃÒÓJ Утверждение следует из свойства 2.1:ÌÃÒÓ2.5. Неравенство Коши — БуняковскогоТеорема 2.2. Для любых векторов x, y евклидова пространства E справедливо неравенство Коши — Буняковского(x, y)2 6 (x, x) (y, y) .(2.3)J При x = 0 обе части неравенства (2.3) равны нулю согласно свойству 2.3, значит, неравенствовыполняется.

Отбрасывая этот очевидный случай, будем считать, что x 6= 0. Для любогодействительного числа λ, в силу аксиомы г), выполняется неравенство(λx − y, λx − y) > 0.(2.4)Преобразуем левую часть неравенства, используя аксиомы и свойства скалярного умножения:ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ27ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2.

ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА(a1 b1 + . . . + an bn )2 6 (a21 + . . . + a2n )(b21 + . . . + b2n ).В евклидовом пространстве C[0, 1], скалярное произведение в котором выражается определенным интегралом (см. пример 2.10), неравенство Коши — Буняковского превращается внеравенство Буняковского (называемое также неравенством Шварца): Z1Z12f (x)g(x) dx02Z1f (x) dx60g 2 (x) dx.0Определение 2.4. Углом ϕ между ненулевыми векторами x и y в евклидовом пространстве E называют значение ϕ на отрезке от 0 до π, определяемое равенством(2.5)Согласно неравенству Коши — Буняковского (2.3) правая часть в (2.5) по модулю не превышает 1 и потому является косинусом некоторого действительного числа.

Следовательно,угол ϕ определен корректно для любой пары ненулевых векторов.ÔÍ-12(x, y)(x, y)pcos ϕ = p=,kxk kyk(x, x) (y, y)ppгде kxk = (x, x) и kyk = (y, y).ÌÃÒÓНеравенство Коши — Буняковского позволяет ввести понятие угла между векторами вевклидовом пространстве, обобщающее понятие угла между свободными векторами в пространствах V2 и V3 .

Отметим, что если в пространствах свободных векторов определениескалярного произведения базируется на понятии угла между векторами, то в произвольномевклидовом пространстве наоборот, аксиоматически заданное скалярное произведение позволяет определить угол.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓПример 2.11. Доказательство неравенства Коши — Буняковского выглядит достаточнопросто. Тем не менее это неравенство очень полезное. Применяя его в конкретных евклидовыхпространствах, мы получаем некоторые хорошо известные в анализе и алгебре неравенства.В случае линейного арифметического пространства Rn неравенство Коши — Буняковскоготрансформируется в неравенство Коши:ÌÃÒÓÔÍ-12IÔÍ-12ÌÃÒÓ(x, y)2 − (x, x) (y, y) 6 0.ÌÃÒÓÔÍ-12Мы получили квадратный трехчлен относительно параметра λ (коэффициент (x, x) при λ2согласно аксиоме г) ненулевой, так как x 6= 0), неотрицательный при всех действительныхзначениях параметра.

Следовательно, его дискриминант равен нулю или отрицательный, т.е.ÔÍ-12ÔÍ-12(λx − y, λx − y) = λ (x, λx − y) − (y, λx − y) = λ2 (x, x) − 2λ (x, y) + (y, y) .ÌÃÒÓРавенство (2.5) не имеет смысла, если один из векторов нулевой. В этом случае угол междувекторами не определен, и мы будем приписывать ему то значение, которое наиболее удобно вконкретной ситуации (то же соглашение действует и в пространствах свободных векторов).Пример 2.12.

В R4 со стандартным скалярным умножением угол ϕ между векторамиx = (1, 0, 1, 0) и y = (1, 1, 0, 0) равен π/3, поскольку в соответствии с (2.5)cos ϕ = √121·1+0·1+1·0+0·01√= .22222222+0 +1 +0 1 +1 +0 +0Аналогично в евклидовом пространстве C[0, 1] (см. пример 2.10) угол ϕ между функциямиf (x) ≡ 2 и g(x) = 2x − 1 равен π/2, так какZ1(f, g) =Z1f (x)g(x) dx =12(2x − 1) dx = 2(x2 − x) = 0ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ28ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2.