02 Линейные подпространства. Евклидовы пространства (Лекции Линейная алгебра и ФНП), страница 2

Легко проверить, что любой минор второго порядка является базисным. Поэтому базисом линейной оболочки этой системы векторов будут любые два вектора системы. Например,базисом является пара векторов a1 , a2 . По этому базису можно разложить, например, остальные векторы системы. Чтобы найти разложение вектора a3 по базису, достаточно решитьсистему линейных алгебраических уравненийÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓт= (3 2 3 7) , a4 = (7 2 9 9) .

Соответствующая матрица A имеет видÔÍ-12ÔÍ-12Пример 2.6. Пусть даны векторы a1 , a2 , a3 , a4 в четырехмерном линейном пространстветтL, имеющие в некотором базисе столбцы координат a1 = (1 2 0 6) , a2 = (2 0 3 1) , a3 =ÌÃÒÓÌÃÒÓЗамечание 2.1. Как следует из приведенного доказательства, столбцы любого базисногоминора матрицы A отвечают набору векторов системы a, являющемуся базисом в span {a} —линейном подпространстве, порожденном этой системой векторов.ÔÍ-12J Пусть g — некоторый базис в L.

Составим по столбцам матрицу A из координат в базисеg векторов ai , i = 1, k. Линейные операции над векторами ai соответствуют таким же линейным операциям над столбцами их координат. Поэтому, согласно следствию 1.1, векторылинейно независимы тогда и только тогда, когда столбцы их координат линейно независимы.По теореме о базисном миноре ранг матрицы A равен максимальному количеству ее линейно независимых столбцов.

Это совпадает с максимальным количеством линейно независимыхвекторов в системе a. Следовательно, утверждения а) и б) теоремы эквивалентны.Выберем в матрице A какой-либо базисный минор и зафиксируем столбцы этого минора(базисные столбцы). Соответствующие им векторы будем называть базисными. По теореме обазисном миноре, во-первых, базисные столбцы линейно независимы и поэтому базисные векторы образуют линейно независимую систему, а во-вторых, все остальные столбцы матрицыявляются линейными комбинациями базисных и поэтому небазисные векторы системы выражаются через базисные. Следовательно, любая линейная комбинация векторов системы a сводитсяк линейной комбинации системы базисных векторов, т.е.

любой вектор линейной оболочки системы векторов a выражается через базисные векторы. Значит, базисные векторы образуютбазис линейной оболочки. Количество базисных векторов, с одной стороны, равно количествубазисных столбцов, т.е. рангу матрицы A, а с другой — совпадает с размерностью линейнойоболочки, т.е. с рангом системы векторов a.

IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ22ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2. ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓ2.3. Линейные оболочки и системы уравненийПусть L — n-мерное линейное пространство, в котором фиксирован некоторый базис e == (e1 , a2 , . . . , en ) и выбраны векторы a1 , .

. . , ak , b. Запишем разложение выбранных векторов по базису e:aj = eaj , j = 1, k,b = eb,dim span {a1 , . . . , ak , b} = dim span {a1 , . . . , ak } + 1,поскольку базис подпространства span {a1 , . . . , ak , b} можно получить, добавив вектор b к произвольному базису подпространства span {a1 , . . . , ak }. Следовательно, Rg(A | b) = Rg A + 1.Выясним теперь, что означают эти два случая «на координатном уровне». В первом случаеусловие b ∈ span {a1 , .

. . , ak } означает существование разложенияx1 a1 + . . . + xk ak = b(2.1)ÌÃÒÓтÔÍ-12относительно переменных x = (x1 . . . xk ) , которая в матричной форме имеет вид Ax = b.Существование разложения (2.1) означает, что полученная система имеет решение. Во второмслучае представление (2.1) невозможно, т.е.

система (2.2) не имеет решений.Итак, следующие четыре утверждения эквивалентны между собой:– b ∈ span {a1 , . . . , ak };– dim span {a1 , . . . , ak , b} = dim span {a1 , . . . , ak };– Rg(A | b) = Rg A;– система Ax = b из n линейных алгебраических уравнений относительно k неизвестныхсовместна.Эквивалентность последних двух утверждений составляет содержание теоремы Кронекера — Капелли, которая верна для произвольных СЛАУ. Отметим, что любая система из nлинейных алгебраических уравнений относительно k неизвестных может быть получена какÔÍ-12с некоторыми действительными коэффициентами x1 , .

. . , xk . Записывая это векторное равенство в координатной форме, получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1k xk = b1 ,a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2k xk = b2 ,(2.2). . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 x1 + an2 x2 + . . . + ank xk = bnÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓПо теореме 2.1 заключаем, что Rg A = Rg(A | b).Во втором случае, наоборот, добавление вектора b к системе векторов a1 , . .

. , ak приводитк расширению линейной оболочки, причемÌÃÒÓÔÍ-12dim span {a1 , . . . , ak } = dim span {a1 , . . . , ak , b} .ÔÍ-12ÌÃÒÓтгде aj = (a1j . . . anj ) , j = 1, k, b = (b1 . . . bn ) — столбцы координат соответствующихвекторов. Пусть A — матрица типа n×k, составленная из координатных столбцов векторовa1 , . .

. , ak , а (A | b) — матрица, полученная из матрицы A добавлением справа еще одногостолбца b.Для вектора b возможны два случая:1) вектор b принадлежит линейной оболочке span {a1 , . . . , ak };2) вектор b не принадлежит span {a1 , . . . , ak }.В первом случае добавление к системе векторов a1 , . . . , ak вектора b не приводит к расширению линейной оболочки системы и, следовательно,ÌÃÒÓÌÃÒÓтÔÍ-12ÌÃÒÓ23ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2.

ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓ2.4. Определение евклидова пространстваПример 2.7. В линейном пространстве V3 было введено скалярное умножение согласноправилуdy),(x, y) = |x| · |y| cos(x,dy — угол между векторами x и y, а |x|, |y| — их длины. Это умножение удовлетвогде x,ряет приведенным аксиомам скалярного умножения и, следовательно, полностью согласуется сÔÍ-12Скалярное произведение часто обозначают так же, как и произведение чисел, т.е.

вместо(x, y) пишут xy. Скалярное произведение вектора на себя называют скалярным квадратом(по аналогии с квадратом числа).ÌÃÒÓОпределение 2.3. Линейное пространство E называют евклидовым пространством,если в этом пространстве задано скалярное умножение, т.е. закон или правило, согласнокоторому каждой паре векторов x, y ∈ E поставлено в соответствие действительное число(x, y), называемое скалярным произведением. При этом выполняются следующие аксиомы скалярного умножения:а) (x, y) = (y, x);б) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);в) (λx, y) = λ (x, y), λ ∈ R;г) (x, x) > 0, причем (x, x) = 0 лишь в случае, когда x = 0.ÔÍ-12В линейном пространстве свободных векторов V3 кроме линейных операций рассматривались и другие.

Были введены две операции умножения векторов (скалярное и векторное), длявектора использовалась такая естественная характеристика, как длина (модуль). Взаимноерасположение векторов можно было оценивать с помощью угла между ними.Понятие скалярного произведения вводилось исходя из геометрических свойств свободныхвекторов (длины и угла между векторами). В произвольном линейном пространстве этихсвойств пока нет, и поэтому мы не можем ввести скалярное произведение аналогичным способом. Однако такое произведение можно определить исходя из алгебраических свойств, которыебыли установлены для пространства V3 .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓзаключаем, что линейная оболочка системы векторов a1 , . .

. , an совпадает со всем линейнымпространством Rn . Из этого следует, что ранг этой системы векторов равен размерности линейного пространства n, а так как в системе ровно n векторов, то она, согласно теореме 2.1,линейно независима. Другими словами, столбцы матрицы A линейно независимы, а матрицаA является невырожденной (теорема о базисном миноре).Таким образом, если квадратная СЛАУ Ax = b имеет решение при любой правой части, томатрица A системы невырождена, а решение системы при любой правой части единственно.ÌÃÒÓÔÍ-12x1 a1 + x2 a2 + . .

. + xn an = b,ÔÍ-12ÌÃÒÓрезультат проведенных рассуждений. Для этого достаточно в качестве векторов a1 , . . . , akрассмотреть столбцы коэффициентов при неизвестных, а в качестве вектора b — столбец свободных членов. Все эти столбцы могут рассматриваться как n-мерные векторы в линейномарифметическом пространстве Rn .Таким образом, теорему Кронекера — Капелли можно переформулировать следующим образом: для того чтобы линейная оболочка системы векторов a1 , .