Дифференциальные уравнения высших порядков

,У~ а~. г а' Московскии государственный технический университет имени Н.Э. Баумана И.Н. Пелевина, Н.Н. Рвров, А.В. Филиновский ДИФФЕРЕНПИЛЛЬНЫЖ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Метаодииеские указания к выиолнению домашнего задании Под редакдией А.В.

Филиновского Москва Издательство МГТУ име 2001 Рецензент В. С. Наниеа П~левина И.Н., Раров Н.Н., Филиновский А,Н. П24 Лифференпиальные уравнения высших порядков: Метолические указания к выполнению домашнсто задания сПод рел. А.В. Фачиновского — Мх Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. — 39 с. 18В~ б-7038 1938 о В пособии Рассмотрены обыкновенные дифференциальные ння высших порядков:., Приведены краткие теоретические сведения "рсдсгавлены Решенные примеры, даны условия домашнего задания.

Лля студентов всех факультетов. Табл. 1. Библиогр, 2 назв 3гЛК 517.9 ББК 22.174 1. Задача Коши. Общее решении Определение. Лифферсндиальным уравнением и-го порядка на зыв сеток уравнение й'~т, у, у', у", ..., У("1~ = О, (1.Ц гле,е — независимая переменная; у(т) — искомая функция, а функция Р зависит от усс'). Лифференплальное уравнение п-го порядка называется разрешен- вым относительно старшей производной, если оно имеет вид „(и) ~('я у ус уа у(а-Г)) (1.2) Определение.

Задача отыскания решения дифференциального 1равненпя (1.2), удовдетворяюшего начальным условиям у(яо) — уо, у (жо) — уо, ", у (ао) — ус, '(1 3) называется задачей Копш. Теорема (Коши). Пусть функция 1 н ее частные пропзводные д)' —. 1 = 0,1с ...,и.— 1., непрерывны в некоторой области 0 проВумс ' странства гс"~'. Тогда для любой точки (те, уш ус, ...,,Ус ) б 1~ найдется число 6 > О, такое, что при тс — 6 < г, < ва — й сушес твуст единственное решение задачи Коши (1.2), (1.3).

Определение. Решение у = са(т) задачи Коши (1.2), (1.3) называется частным решением уравнения (1.2). Частное регление уравнения (1.2) может быть задано неявно: Ф(т,у) = О, Определение, Соотношение (1.4) называется частным интеграаом уравнения (1.2). В области единственности решения задачи Коши образуют ссзсей- ство у = ис(я, Сы Сз, ..., С ), (1.3) иО~.М~ТУ им. Н,Э. Баумана, 2001 завис яшео от п параметров (и-1) Сг уа Сз — ус ° ° ° С уо Определение.

Семейство решений у = э~(х,Сз,Сз, С„) называется общим решением уравнения (1.2). Общее решение уравнения (1.2) может быть задало неявно: ф(х, у, Сп Сз, ..., С„) = О. (1.6) Определение. Соотношение (1.6) называется общим интегралом уравнения (1,2). ,з =-ып(2х) + Сз — +Сз — + Сзх+ Со 6 2 Подставляя в (2.1) начальные условия, получаем С,=б, С =О, Сз=1, С =О Ответ. Общее решение: ,з хя у(х) =.

зш (2х) + Сз — + Сз — + Сзх + С41 2 частное решениез у(х) зп, (2х) + хз + 2 Дифферейциальные уравнения вида ур» = г( ) Общее решение уравнения у<"» = У(х) находим последовательным пнтс грированнем У'" "= 1(~)бх+Сп у'" "= бх П )6х+С: +С„ у = йх ох... у'(х) 6х+— (и — 1)1 ' + г +... + С„1х+ С„. Сз „з (и - 2)! Приагер. Найти: общее решение дифференпиащ,лого уравнения у 1 16 ьщ (2х) и частное решение удовпетворяклпве начальным уозо- (О) О ~(О) 2 а(О) О га(О» Рещение. Последовательным интегрированием находим общее ре- у"'(х) = 16з»п(2х)бх+Сз — — — 8ссе(2х)+С1, у" (х) = (-8 соя(2х) + Сз) бх+ Сз = — 4зш(2х) + С|х+ Сз, хз у (т) = ( — 4йш (2х) + С1х+ Сз) бх+ Сз = 2 соя (2х) + Сз — + Сзх+Сз, хз у(х) = 2соз(2х) + Сз — + Сзх+ Сз 2 3.

Дифференциальные уравнения, ие содержщцие явно искомую Функцию уравнение к виду /з ц1 з. е ~ц — -~ + цо = хзшх. х Так как функпия и = х является частным решением уравнвния с разделяющимися переменными ц' — "- = О, для Функции и получаем уравнение ъх = в(ах. Интегрируя, находим общее рещение: с = — сов х + Со Порядок диффереипиального уравнения вида р ~,- убб у(«+з»,, „(в)') = О (8.1) понижается на»г прн замене убб(х) = р(х).

Если найдено общее решение р = ф(х, Сп ..., С,, «) уравнения Р~х,.р,р', ...,р(" ») =-О, то последовательным интегрированием ура~незгия убб = уэ(х, Сп ..., С„«) находим общее решение у = «э(х, Сы '., С„) уравнения (8.1). Пример. Найти общее решение дифференпнального уравнения ху" — у' — хзя1вх = О. РещеииЕ. Данное уравнение не содержит явно функпню у, поэтому замена у' = р(х) приводит его к виду хр'-р — хз аш х = О.

Получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядказ р'-фх = х ащ х. Используя подстановку, р(х) = ц(х)ц(х), приводим дифференпнальное (4.2) Имеем с1 с1рйу у"= — р(у) = — — =рр с)х с)у сЬ с1, с1рс1р 4 г ссР1 усп = — (рр) = — — +р —..), 5 -~бу ( р Р р' — -=-— У У (4.5) С! + Сг = 1, (4.1) г(у у ° ° ° у(1)=0 Следовательно., р = х( — сок х — С!), т.е. у = х( — соя х + С!). Иытсгрпруя сщс раз, получаем общее решение исходного дифференциального уравнения: С! г у(х) = х( — сояхт С!) Ох = — хзшт — соях+ — х + Сг.

2 Ответ Общее решение. С у(х) = хзспг' соях+ х + Сг. 2 Пример. Найти частное решение лифференпиального уравнения (1 -! с') у'" — с*у" = О, уловлетворяющее начальным условиям у(О) = О, у'(0) = 1, у"(0) = 2. Решение. Данное уравнение не содержит явно функция! У(х) и ес производную у', позтоьсу замена у" = р(х) пркводит его к видя хр'- р— — хг сйпх = О. Получаем дифференциальное уравнение первого порядка с раздсляюшы: !ноя церемеыыыми (1 — е')р' — е*р = О, для которого с1р: е*с1 х — р.=.

С!(1 т ег), р 1-с' Интегрируя соотношение у" = Сс(1+ е"), имеем У' = Сг(1+с )с(х = Ссх+Сгея+Сг, У= (Ссх+Ссе +Сг)с1х=С! — -кСс' — СгхтС,. 2 Из начальных условий получаем С,+Сз=О, 2Сг = 2. Решая систему, получаем частное рвшеыие: у = х.г'2+.е — 1. Ответ. Частное решение: у = г~,г2 — ек — 1, 4 Дифференциальньсе уравнения, не содержащие явно ыезавнсимую переменную .

Порядок дифференциального уравнения вида понижается ыа едыызщу при замене у' = р(у), зг -р — ( — ) — =р( — )) +1 —, =р(р) -1 р Ар 6р Ау с1 1др1 с(д 1с1рР гй! Р с г с1У с1У с1х с1У ( с(у г) ох (с,с1У) с1У' и т.д. '! аким образом, уравнение (4.1) приводится к вилу х(у,рр ', ...) =о, (4.5) где у — независимая переменная; р(у) — неызвветная функция. Если найдено общее решение р(у) уравнения (4,3), то, решая уравнение (4.

), 4.2), получаем решение исходною уравнения (4.Ц Пример. Найти общий интеграи дифференциального уран!сания ! ус' усг + усз О Решение. Данное уравнение ие содержит явно независимую переменную х, поэтому при. замене у' = р(у) уравнение приобретает вид ИФ-р'+ рз =. О. (4.4) Уравнение (4.4) имеет решение р = О, которому соответствует решение у = С. Полагая ур ф О, разделим уравнение на ур н получим уравнение Бернулли: Решим уравнение (4.5) метолом Лагранжа.

Найдем сначала решение уравнения р' — рч/у = О. Разделим переменные и проинтегрируем: а~, р, Гар, ) ад — „( =/ ~ ус!=С!у. с(у у ро у Решение уравнения (4.5) ищем в виде р = Сг(у)д, Тогда р' = Сг(у)у+ +Сг(у); подставляя р и р' и уравнение (4.5), получаем С((у)у+ С,(у) — — =— Сз(д)у (Сз(у)у) С,(р) = -С;(р), — =- -Сз, г1Сг йр 1п~ — -~ = — 21п ~р)+ 1пСг. и ',. 2 '~ откуда ОС, 7 1 — С,(р) =— Сз / ' р+С,' где Сг - постоянная.

Таким образом, р = р/(р+ Сг), нлн г1р р бз р+ С,' Интегрируя (р+ С,) бр Р =/" = ( г1х., р получаем общий интеграл р + Сг 1и ~р' = х+ Сз. Ответ, . Ойций интеграл: р=,С, уравнение Р+ — + — =О. г Р Р р рз (4.7) Подстановка и(р) = р/р приводит уравнение (4.7) к виду ри'+ 2и+ из = О. (4.9) Уравнение (4.8) являетсй уравнением с разделяккцимися переменными: ри'= — (и +2и), =-г1р, 2 из+ 2и р -ь Сг 1п ~грг! = х + Сз.

Пример, Найти частный интеграл лифференцизльного уравнения рр" + р' + р','р = О, удовлетворякгщий начальным условиям р( — 1/4) = 1, р'(:-1/4) '= — 1. Решение. Ланное уравнение не содержит явно независимую переменную:г, поэтому замена р' = Р(р) приводит его к внцу 3 ррр'+ Р'+ — = о. (4 б) р Так как решение р = 0 (р =- С) не удовлетворяет начальным условиям,, разделив уравнение (4.6) на рр, получим однородное дифференциальное и Сг и+2 рз' (4.9) Р+ 2р р' Подставляя начальные условия р = 1, р' = -1 в Уравнение (4.9). гголучаелг Сг —— — 1.

Так как Р(р)'= -„~ = р', уравнение (4,9) примет вид р' = — 2у(рз + 1). Разлелим переменные (1+ р') пр 2р /(1-+()ь= — /з,, р2 — (п(р~+ — =- -х+Сз, (4.10) 2 ' 4 Подставляя в (4.10) начальные условия т = — 1/4, р = 1, получаем 1 1 1 — 1п1+ — '— — — +Сз, Сз =О. 2 4 4 Следовательно, частный интеграл дифференциального уравнения,' 21п(р) + рз =' -4х. Ответ. Частный интеграш 2!п ~у'+ рз = — 42. Линейные однородные дифференциальные уравнении Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение рг"'+Р -г(х)р1" г+-.. +Рг(х)р'+Рор= О.

(5.1) Гслн рг, рз..:., рз — частные решения уравнения (9.1), то Сгрг+ хСзрз+... + С.рь — такзгв решение уравнения (5.1), См Сз, .--., Са — любые цосгоянные. Определение. функции рг(х), рз(х), р~(х), опреаеленные на интервале (а,Ь), называются лииейно зависимыми на этом интервале, (5.2) х, а внд (5.3) нонне (5.4) 6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнении если существуют постоянныс ом аз, ..., о,, не все равные нулю, та кис, что для всех х Е (а,6) о«уз(х) 6 оауз(х) +...