Дифференциальные уравнения высших порядков, страница 2

+ о„у„(х) =. О Определение. Функции у«(х). уа(х), ..., у„,(х), опредсленныс на пнтсрвале (а, 6), называются линейно независимыми на этом ннтерва- ле. если ие существует постоянных оь аз, ..., о„, таких, что хотя бы одна из них отлична от нуля, и для всех х Е (а,6) имеет место равенство (5.2), Определение. Фундаментальной системой решений (ФСР) линейного однородного дифференциального уравнения (5.1) называется любая система нз а линейно независиыых частных решений уравнения (5.1). Теорема. Если функции у«(х), ут(х), ..., у„(х) образуют фунда«ментальную систему решений уравнения (5.1), то общее решение имеет и = С«уз (х) + Сз уз(х) +... + С у„(х), где Сь Съ ..., С„-- пронзвольныс постоянные.

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением и-го порядка с погтоянньпыи коэффициентами называется урав- у' +аа «у +...+а,у +аеу=О, где аш ам ..., а„з — действитацьные постоянные. Рсшенве дифференциального уравнения (5А) ищем в вила у = е"',. где й — постоянная, Подставляя функшпо у =. е»' н се производные у' =- йе'", уа = 6зе»», ...

у1"1 = йае»' в уравнение (5.4), полъчаем характеристическое уравнение для определения к: й'+а„зй '+... +а 6+осу = О. (5,5) Характеристическое уравнение (5»5) является алгебраичежим уравнением степени и, сдедователью, оио имеет и корней (с учетом их кратности), Простому лействительиому корню й характеристичесюжо уравнения (а5) соответствует одно частное решение у ' е уравнения (5.4). Пействителъноьзу корню Й кратности г характеристического уравнения (5,5) соотве*гствуют г линейно иезависимык частных решений уравнения (оА): е"", хе", ..., х" 'еь .

Паре простьгк сопрюкенных комплексных корней Й = и -~ Й характеристического уравнения (5.5) соответствуют два линейно независимых частных решения уравнения (5.4): еа' соя(бх) и е»яш(,Зх), Паре сопряиеишях комплексных корней Й вЂ” — о х )% кратности т карактеристи зесипо уравнения (5.5) соответствуют 2т линейно независимых частных репзеиийз е~~ соя(бх), хе'"* сов(ах), ..., х'" зе'"" соь ()Зх), е'"*я(п(,бх), те *я)п(Зх), ..., х"' е в)п(1»х) 1 раввсшся (оА). Находя таким способом фундамеытальную систему решений уравнения (5.4), получаем общее решснис в виде (5.3). Пример. Найти обшсс решение дифференциального уравнения убб + у по + Оубб = О. Решение. Характеристическое уравнение имеет вид 6 + Ой + 6 .» +96" =- О. или 6з(ут + 3)з = О, Имеем один действительный корень Й« = О кратности гз = 2 и пару сопряженных комплексных корней »хз = »-«'Зз кратности гз = 2.

ФСР имеет вид у« = е"* = 1, уа =, = х, уз = сов(«'Зх), у» = я(п(«гЗх), уэ = х соя(«'Зх), ув = х вш («гЗх). Находим общее решение дифференциального уравнения в вице (5.3): у = Сз + Сзх + Сз соя ( з 3 г) + С» абп (ъ Зх) + С х соь («Зт) + Сьхв1п («гЗх). Ответ. Общее решение: у = Сз + Са х+ Сз сса («гЗх) + С» яш ( «/Зх) + Сзх сое (чЗх) + Сех ып ( «г 3 т) .

Определение. Линейным нсоднородным дифференциальным уравнением п-го порядка называетск уравнение у~ ~ + р з(х)у 1 + ... + рз(х)у + рву — ((х), Д(х) ф О, (6.1) 11 а' д(х) = у. (х) + д-( ) (6.2) Уян ( Рях" +,,+Ре ~ О ~ х' (А,х* +... + Аа) (Р.х" + ;+Рс) (Р )+% "-'> д +...

+ Чс) ип(Дх) х'((А,х'+... о. , +Аа) соя(рх) +,(В;х'+ ~~ +... + Вс) я1л(Зх)) п1ах (ги, и) е"*((Р„х ~ а. Рс) соя()ух) (Я х~ ' о .'- Д1 ( х'е '((А,х'-' ... + +Ао) к(д ) -' (В.х'+ +... + Вв) яш(~Зх)) (7.2) 13 Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (6.1) представляется в виде суммы общего решения даа(х) соответствую«лего однородного уравнения (5.1) н какого-либо частного решения д„„(х) неоднородного уравнения (6.1) Теорема.

Если функции у,(х), 1 = 1, ..., т, являются решеанямл дифференциальных уравнении УОО+р - (х)д( «+ . +р1( )у;+рву, = Ях). 1=1, ..., то функция у(х) = у1(г) + ... + д (х) является решением днфферен- цпального уравнения ун«+ря ~(х)у~" ~+...+р1(х)у + усу= Л(х) +... +у (х). Определение.

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением л-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение УОО + а„ ~у'" " + ... + а~у' + аау = г(х), Дх) ф О, (6,3) глс ас, а1, ..., а„1 — действительные постоянные, 7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнении с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Укажем способ нахождения частных решений уравнения (6.3) в случае, когда правая часть уравнения имеет специальный вид: Дх) = еаэ (Р„(х) сов (Дх) + Я,„(х) э1п (Зх)) . (7,1) где 1'„(а ) в ~„(х) — многочлены степеней и и т соответственно; о н 6 — действительные числа.

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение У +а~-1У" + °, +а|у +осу=О. Составив характеристическое уравнение й" +а„~7«" ~+...+а1й+ асд = О. найдем его корни и общее решение однородного уравнении. Час~нос решение неодюродиого дифференциального уравнения (6.3) ншем в виде у„,(х) = х'еав (В,(х) соя(дх) + Т,(х)я1п(13х)); (7 3) црп этом г = — О, если ~ = о +,% не является корнем характеристического уравнения (5.5), и г равно кратности корня О =- а + )% в противном случае, а В,(х), Т,(х) — многочлены степени э = шах(т, и) с лействительными коэффициентами, Неопределенные коэффициенты многочченов Ню(х) и 2з(т) находим, подставляя решение в форме (7.3) в уравнение (6.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых функ- пнях в левой н правой частях уравнения, Соответствие между видом правой части (7.1) неоднородного урав нсння и видом его частного решения (7.3) представлено в таблице.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения 2уа — 2У" +у= Зе«7 эшх. (7А) Решение. Наидем сначала общее рсшение соответствующего од- народного уравнения: 2у" — 2д'+д = О. (7.5) Характеристическое уравнение 2йг — 2й + 1 = О имеет корни 1<у = 1,/2 ' гг/2. Таким образом., 'получаем ФСР у<=с/ соз-, у<=-е"/ яв-, и о<бп<ее решение уравнения (7.5) имеет вид л/г х х/г ..

у~ = Сге соз — + Сге - зш 2 2' Правой части /(х).= Зег/~ яп и соответствуют о = 1,;б = 1, т.е. число г1 1 о+ Щ = г + г не является корнем характеристического уравнения, поэтому г = О, п = пг = з = О. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде уча = Ае*/ с<их+ Ве'/ зшх. Л у„„=- — е" г сов х — Ле™ зшх + — е*/г яп г + Ве" /г соз х, 3 у„, = --Ае' созг: — Ле / япх — -Ве зшх+Вс*' созт я<г 4 4 После подстановки у„„(х), у'„„(х), у" (х) в уравнение (7.4), приведения подобных членов и деления иа е"/г получим равенство 3 3 — -Асозх — -Вяпх = Зз<<гх. 2 Прправнпвая коэффициенты при созх и яп х в правой и левой частях равенства, получаем систему алгебраических уравнений 3' — -А= О, 2 3 — -В=З.

2 р<шением которой является А = О, В = — 2. Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет внл у„„= -2е'/г зш Ответ. Ойпее решение; упа = С<о соя — +Сзе ' яп-.— 2е ° япх. я/г ж/г х г/г 2 ' 2 Пример. Найти частное решение диффсреиппального уравнения «<, 4 < 16 3+4 (7.6) удовлетворяющее начальным условиям у(О) = — 1, У (О) = 1, у'<(О) = — 2 Решение. Найдем сначала общее решенно соответствующего од;-"'Ю породного уравнения: .. у<а + 4у' = О. (7,7) Характеристическое уравнение йз + 45 = О пмсст корни /<< = О. йг з =. = х25 Таким образом, получаем ФСР у< — — 1, уг = сов(2х), уз —— з<п (2х), и общее решение уравнения (7.5) имеет внд уоо = Сг+ Сгсоз(2т) + Сзяп(2х).

Пра«ой части Дх) = 1бхз+ 4 соответствуют о = О, 3 = О. т.е, число о я гу =- О является корнем характеристнче< кого уравнения кратности 1. поэтому < = 1, и = ш = з =- 3. Частное рсшснис неоднородного уравнения ищем в виде у„„= з(Азха Лгхг + А~х+ А ).

Имеем У'„„= 4.4зт'+ ЗЛгхг + 2А<х+ Ао, у" = 12Лзхг + 6 4гх + 2 4< у <„' = 24Азх + блг. После подстановки у„„(х), у'„„(х), у„"„(х), у'„'„'.(х) в уравнение (7.6) и приведения подобных членов получим равенство 16Азхз Я 12Агхг + (24Аз + ЗА<)х+ 6Лг + 4Ао = 15хз + 4 Прнравннвая коэффипиенты при одинаковых степенях .г в правой и левой частях равенства, получаем систему'алгебраических уравнений 16Аз = 16, 12Лг = О. 24А +ЗА '= О/ бйз+4''10 = 4~ решением которой является Ао = 1, Аг = -3, Аг = О, Аз — — 1. Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид 15 у„„= х(хз — Зх+ 1) = х~ — Зхг + х.

Общее решение неоднородного уравнения (7.6) у„„(х) = С, + Сг соэ (2х) + Сз эпс (2х) + х~ — 3 со + х. Тогда у'„(х) = — 2Сг эсп(2г) —, 2Сэ соя (2х) + 4хэ — бх+ 1 у,"„(х) = — 4Сг соэ (2х) — 4Сз яп (2х) + 12хг — 6, п, подставляя найденные выражения в начальные условия., получпмм систему алгебраических уравнений С +С 2Сэ+1 = О, — 4С вЂ” 6 = — 2, решением которой является С1 = О, Сг = — 1, Сз = О. Следовательно частное решение неоднородного уравнения имеет внд и„„= — соз (2г)+ +х' — Зхг + х. Ответ.