Дифференциальные уравнения высших порядков, страница 4

й"у йу йг 61 (10.6) Характеристическое уравнение йг -4й+ 4 = О, соответствующее (10.6), имеет корни йгл - -2. Таким образом, получаем ФСР однороднсго урав- и общее решение уравнения (10.6) имеет вид у = С,е" + Сг1е" + у Правой части у(1) = 9е ь'соответствуют а = -1, () = О, т.е. чиода ох тЩ = -1 не является корнем характеристического уравнения, поэтому г = О., о = т =' з = О.

Частное решение 'несднородногс. уравнения Подставляя у„„в уравненйе (10.6) 'и определяя А, имеем" у„„= е Переходя к старсй переменной х, получаем У ' = Стхй+ Сзхз1ззх+17х, и, поцставляя полученное выражение для у,'„в краевые условия, имеем систему алгебраических уравнений ЗСз+2Сз = 1, ЗС1 +4Сз = — 1, единственным решением которой является С1 = 1, Сз = — 1. Следо вательно, решение краевой задачи (10.3), (10.4) имеет вид у = (1— 1пх)тз + 1/х. Ответ.

Решение: у = (1 — )пи)ха + 1/х. Пример. Найти решение краевой задачц д" +у=О, у(0) = О, д(п) -- 6. Решение. Обшее решение уравнения (10.7) имеет вид (10. 7) (10.8) д,„= С, зш х + Сз сое х Подставляя выражение для д в краевые условии (10.8), имеем систему алгебрапческпх уравнений: Сз=О, Ответ. При 6 ф 0 краевая задача не имеет решений; прн 6 =- 0 решением краевой задачи является функция у = Сгапх, где Сз-- произвольная постоянная, --С = 6.

Из (10.9) следует, что С1 ыпа = О. Таким образолс, если 6 ф О, то шктема (10.9) неразрешима и краевая задача (10.7) — (10.8) не имеет решений. Прн 6 — — - 0 решенном системы (10.9) является (См О), где Сс произвольная постоянная, и, следовательно, при любой Сс функция у — -- Сс зшт является решением краевов задачи (10.7) -(10.8), 11. Условия домамзнаго задания Задачи 1, 3. Найти обшее решение (обший интегРал) дифферен- пиального уравнсния второго порядка, Задачи 2, 4. Найти частное решение дифференциального уравне- ния второго порядка, удовлетворяюшее данным начальным урлоаням.

Задача 5. Найти обшее решение дифференциального уравнения второго порядка, если известно одно застиое решение соответствуюше- го однородного уравненпя. Задача 6. Методом изоклин найти прнблнженно решение диффе- рснцнального уравнения второго порядка- Задача 7. Найти решение краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка. Задача 1 1. д"(д+1)' = (д'+1)зд'. у = 2д(д ) '! (д'+ 1). 3. д" + 2(з — 3)(д')з =- О.

1, д"(зшх+ 1) = у'созх. 5, (х -. Цзув = (д' + 3)з, тзд" + ху' = 1х + 1 7 д" = д'~ (д'!х) 8 (д')' — уул = дзу"' 9 д'д" — 2у(у')'+(у')з = О 10. хзд" +ху' = 1. 11, (д')з =. у"(у.с'5). 12, д" з1п у = (у')звш(2у). 13. д" еш(2х) = 2у'+ 4. и с(1+ с) 15. д" + 2(д')Я)с(1- у) = О. Задача 4 д 32 5. 2У" — 5у' — Зд =- 8яп(Зх) — 1. б. у" + Зу' — 4У = е — х. 7. 2у" — р' — д .=. е' + х. 8. Зд" — бд' — 2у = е2 ~- х~, 9 2у" + 5У' — Зу =- бте — е е~ х. 10. д" Зд' — 4р = е 4'+ е4' 11.

бр" — д' — у = сок(х/2) - е "-. 12. 9У" — бд'+ у = 9е ~е. 13. д" — 8У' + 16У = 4ып (4х). 1'1 5д" — 2У' + у =- (2/5) сое (х/5). 15 у" — 12У'+ Збд = 37япх+ х. 16. р" — 2У' — 8У = беп' 17в!пх, 17. д" — 10У'+ 25У = 4ее*. 18. д" — 4у' ' Зр =- ех — е 19. бд" — д' — д = яп (х/2) — х. 20 9У" — бд' + д =- 4 сое (х/3). 21 У" - 4У' д 4у = 4х — 2х.

22 р" — 4У' + Зу =. 3 яп (Зх). 23. у" - 2д' — 8У = х — 4+ 20е1п(2х). 24. д" - бд' 13р = 25 яп (2х) + сее 25 д" — Зу' — 4У = 34 к1п (4х) 26. у" '- бд' + 25у — 25х — 7ге — бх. 27. д" — -1У'+ 4У = — 1бх" - 4. 28, у" — бу' -~ 25р = 4 яп (Зх). 29. р" — бд' -' 5У = 73 соя(4х/5) — 1. 30. 5у" — 2У'+ у = хее/е. 1. 2У" — 5У' — Зд = еее; У(О) = О, 1/(0) — 8/7 2. 4У" + 4де У У = 2е- 7х; р(0) = 1, р'(Ю) — 1 2У" — д' — Р = е~; У(О) = 3, У'(0) = 1/3, 4.

У ' - У' + У/4 = 2е': д(0) = 8/9,. р'(0) = — 1/9, 5, д" — 12р' + Збд = 72х'-',. У(0) = — 1/9, д'(О) = 1/2 У" — 1ОУ" + 25У = 5яп(бх); У(0) = 1,1, д'(0) — О, ' од — бр' + д = 4 — 8' д(0) = 1, д'(О) = 3, д' - бд' + бу = 16 (4 ) — 1! Р(о) -1/16, р'(о) = о У" — 4У' + 4У = 8х — 4соа(2х); д(0) = 1, р'(0)— 10, р — 12У д36У = 18х~+ 1: У(0) = 1,/12 р~(0) = — 3/4 4д +4Р +У = х~+бх~; д(О) = 2, д'(0) = О, 12. 4У" — 4Р'+ 2У = 5е /~ — 4х; Р(О) = -1/5, д'(0) = — 3, 13.

У" — 2У'+ бд = — 5ха — 4хх+ 2х; д(0) = 1/5 р (0) 3 '" 'д" +бд'-Зд="/х+бх; д(0)=-1/3, У'(О) =1/7. 15 бд" — р' — У = ее7д+е е7-'; У(0) = — 1 У'(О) — 1/5 16. 4У" +4У'-~ д = 2хх — 4; (0) †.1 ., (О) 17 дп — бд'+бр= 2651п(2х)+1; У(0) = — 1/3, у'(О) = 1 18. 9д" +12Р' 1 4У = сов(2х/3) — 8; д(0) =,— 2, Усо) = 1, 19 Уп — бр'+ 16У = 4е": р(О) = 1, р (О) — 1 20 д" — 2У'-с бр= 5 ' — " д(О) =-1, У'(О) = О. 21 д" — бд' + бд = Зе~ ' 1; У(О) = 1/6, д'(О) = 0 22 4дп + 4Р' + У = 8е */х; д(0) = О, У'(0) — 1 23.

д" + 2Р' + 5У = 4е ~ - 5х; У(0) = 2/5 д'(0) — 1 д + 4У + 4У = 8х + 4; д(0) =- — 4, д'(0) = 2. 25 У" — 2У' —, д = 4е~; р(0) =. 2, д'(0) = — 2 26. д" — 12д' Збд = е е*; д(0) = 1, д'(0)— 23. у' —.— р — е '. 24. у' = 25, у 26. у' =- у — е*/2. (д + 4) / (хг + 1) . -(у- Ц/( '+1) 27. д' =- у —, е 28, у' =- 1пу+ х. 29. у' = утх.

30. у' = у — х . Задача 7 1..тгу" — Зху' -- у = 0:, у(Ц =- 1., р(е) =- О. 2, уу" + (у') з + 1 = 0; д'(0) — 2у',О) = О, 2у'(Ц вЂ” у(Ц = 3. З..г д" — хд' — Зу = 0; у'(1/з/3) = 4, у'(Ц 2у(Ц = 4. 4. у" †.ср' — у = 1; 2у'(О) + у(0) 1, у'(2) — 2у(2) = 2, 5. у" — скк = 0; д'(0) + 2у(О) = 1, 2у'(2) — у(2) = — 2. 6. у" — у'/х = х; у'(Ц вЂ” д(Ц = О, у'(3) = 9.

7. хгу" — 4ху' ' бу = х; 7у'(Ц вЂ” 12д(Ц = О, 2д'(2) = 7. 8. (у")г — у' = 0; у'( — Ц =- О., 5у'(Ц вЂ” Зд(Ц = 6. 9. ху" т д' = 0; 2у'(Ц вЂ” у(Ц = 1, у'(2) = 1. 10, ууо — у' — (д')г = 0: д'(0) — р(0) = — 1, у'(Ц+ у(Ц = 1+ 2е. 11. у" — 2у' 5(у )з = 17соа(2х); у(0) = 1, у(т/4) = 4(е"'74-. Ц. 12. тгд" — 2у = О, 2у'(Ц вЂ” у(Ц = О, 2у'(2) — у(2) = 6. 13. ру» -(д')г+4 = О; Зд'(О) — у(0) = 2, у'(1/т/2) = 2, 17. у' 18.

у' = 19. у' .= 20. у' —— у! 2'2, у' = у — 2д. г 2:д — у . х.г — у. айг(х + у). 1п(х+ д). 14. х'у" — хд' ='Зхз; у'(1) — .Зр(Ц = О, у'(2) — у(2) = 3. 15 уд" — (у') = 0; у'(0) +2у(О) =2, д'(Ц+д(Ц = О. 16. у" (д")г = 0; Зд'(0) — р(О) = -1, 10у'(4) — р(4) —.= 1. 17. (1 — )у" — (уа)з — р'=О. р'(а) д(О) =О, д'(Ц-'2д(Ц = — 2. 18.

хд" +д' =ха; Зу'(Ц+у(1) = 1, 2д'(О)+р(О) = О. 19, ху" +Зу' = 0: д'(2) — 2у(2) = -3, 4у'(4) +Зу(4) = — 1. 20. хада — бд = 0; у'(Ц вЂ” Зд(Ц =- О, д'(2) — 2у(2) = 4. 21. хгрп Зхр'+ 4у =О; д'(1)-Зд(Ц = О, д'(3) -д(3) = — 3 22, у" — 2ху'/(хг ~- 1) + 2д/(х"с+ Ц = О; у'(О) — Зу(0) = — 1, 2р'(Ц т д(Ц = 2. 23, р" — р" =2х — 1 — Зес; бд'(О)+ р(О) = О, у"(Ц вЂ” р(Ц = бе. 24. д"-д'= 2х:, у(0) = О, у'(Ц вЂ” 2р(Ц = (е+е. ')/(е — е '). 25. хд" — р' = О; 2р'(Ц вЂ” д(Ц = О, ' 2у'(2) — р(2) = 1.

26, д"+у = со (Зх): у'(0), 16у(0) = О, у'( .)-,1бд( ) =- — /4. 7 х г р а х у ~ + д д 2» у г ( Ц + 2 д ( Ц 1 у ~ ( е ) 28. хгр" — Зху'+4р = О; у'(Ц вЂ” 2у(1) = О, у'(2)+2у(2) = 4. 29. д"-д'=2ха(пх; 2у'(О)+д(0) = 1, р(н) = е +е "+1. 30. ура-д'(1, д') = 0; Зд'(0)+4р(О) = О, р'(1)-ь'р(Ц = -1. Список рекомендуемой литературы Петровский ЖГ. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М..' Изд-во 51оск.

ун-та, 1984. 294 с. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифферендиапьным уравнениям. Мс Интеграл-Пресс, 1998. 208 с. 37 Оглавление 6 9 12 циального вида 20 22 пений второго порядка. 11. Условия домагпнего задания ... 26 29 1. Задача Коши. Общее решение......,,,........... 2. Лифференциальные уравнения впда у60 = у (т) .. Лифференциальные уравнения, не содержащие явно ис- комую функцию . Лифференциальные уравнения, не содержащие явно не- зависимую переменную . Линейные однородные дифференциальные уравнения ..

6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 11 7. Линейные неоднородные дифференпиальные уравнения с постоянаыми коэффициентами и правой частью спе- 8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффппиентами и правой частью про- извольного вида 9. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами..........,......... 10.

Краевые задачи для линейных дифференциальных урав- Список рекомендуеэюй литературы... Ирина Николаевна Пелевина Николай Николаевич Рарчэв Алексей Владиславович Филиновский ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Иад. пиц- М 020523 от 25,04,97. Подписано в печать 25.09.01 Формат 60х84/16, Бумага офсетная. Печ, л. 2,5 Уел. печ, л. 2,32 Уч;изц. л. 2.,15 Тираж 100 экз. Изд. 1~ 5. Заказ Издательство МГТУ им, Н,Э. Баумана. 107005, Москва, 2-я Ьаумаискяя, 5. .