Дифференциальные уравнения высших порядков (996605)
Текст из файла
,У~ а~. г а' Московскии государственный технический университет имени Н.Э. Баумана И.Н. Пелевина, Н.Н. Рвров, А.В. Филиновский ДИФФЕРЕНПИЛЛЬНЫЖ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Метаодииеские указания к выиолнению домашнего задании Под редакдией А.В.
Филиновского Москва Издательство МГТУ име 2001 Рецензент В. С. Наниеа П~левина И.Н., Раров Н.Н., Филиновский А,Н. П24 Лифференпиальные уравнения высших порядков: Метолические указания к выполнению домашнсто задания сПод рел. А.В. Фачиновского — Мх Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. — 39 с. 18В~ б-7038 1938 о В пособии Рассмотрены обыкновенные дифференциальные ння высших порядков:., Приведены краткие теоретические сведения "рсдсгавлены Решенные примеры, даны условия домашнего задания.
Лля студентов всех факультетов. Табл. 1. Библиогр, 2 назв 3гЛК 517.9 ББК 22.174 1. Задача Коши. Общее решении Определение. Лифферсндиальным уравнением и-го порядка на зыв сеток уравнение й'~т, у, у', у", ..., У("1~ = О, (1.Ц гле,е — независимая переменная; у(т) — искомая функция, а функция Р зависит от усс'). Лифференплальное уравнение п-го порядка называется разрешен- вым относительно старшей производной, если оно имеет вид „(и) ~('я у ус уа у(а-Г)) (1.2) Определение.
Задача отыскания решения дифференциального 1равненпя (1.2), удовдетворяюшего начальным условиям у(яо) — уо, у (жо) — уо, ", у (ао) — ус, '(1 3) называется задачей Копш. Теорема (Коши). Пусть функция 1 н ее частные пропзводные д)' —. 1 = 0,1с ...,и.— 1., непрерывны в некоторой области 0 проВумс ' странства гс"~'. Тогда для любой точки (те, уш ус, ...,,Ус ) б 1~ найдется число 6 > О, такое, что при тс — 6 < г, < ва — й сушес твуст единственное решение задачи Коши (1.2), (1.3).
Определение. Решение у = са(т) задачи Коши (1.2), (1.3) называется частным решением уравнения (1.2). Частное регление уравнения (1.2) может быть задано неявно: Ф(т,у) = О, Определение, Соотношение (1.4) называется частным интеграаом уравнения (1.2). В области единственности решения задачи Коши образуют ссзсей- ство у = ис(я, Сы Сз, ..., С ), (1.3) иО~.М~ТУ им. Н,Э. Баумана, 2001 завис яшео от п параметров (и-1) Сг уа Сз — ус ° ° ° С уо Определение.
Семейство решений у = э~(х,Сз,Сз, С„) называется общим решением уравнения (1.2). Общее решение уравнения (1.2) может быть задало неявно: ф(х, у, Сп Сз, ..., С„) = О. (1.6) Определение. Соотношение (1.6) называется общим интегралом уравнения (1,2). ,з =-ып(2х) + Сз — +Сз — + Сзх+ Со 6 2 Подставляя в (2.1) начальные условия, получаем С,=б, С =О, Сз=1, С =О Ответ. Общее решение: ,з хя у(х) =.
зш (2х) + Сз — + Сз — + Сзх + С41 2 частное решениез у(х) зп, (2х) + хз + 2 Дифферейциальные уравнения вида ур» = г( ) Общее решение уравнения у<"» = У(х) находим последовательным пнтс грированнем У'" "= 1(~)бх+Сп у'" "= бх П )6х+С: +С„ у = йх ох... у'(х) 6х+— (и — 1)1 ' + г +... + С„1х+ С„. Сз „з (и - 2)! Приагер. Найти: общее решение дифференпиащ,лого уравнения у 1 16 ьщ (2х) и частное решение удовпетворяклпве начальным уозо- (О) О ~(О) 2 а(О) О га(О» Рещение. Последовательным интегрированием находим общее ре- у"'(х) = 16з»п(2х)бх+Сз — — — 8ссе(2х)+С1, у" (х) = (-8 соя(2х) + Сз) бх+ Сз = — 4зш(2х) + С|х+ Сз, хз у (т) = ( — 4йш (2х) + С1х+ Сз) бх+ Сз = 2 соя (2х) + Сз — + Сзх+Сз, хз у(х) = 2соз(2х) + Сз — + Сзх+ Сз 2 3.
Дифференциальные уравнения, ие содержщцие явно искомую Функцию уравнение к виду /з ц1 з. е ~ц — -~ + цо = хзшх. х Так как функпия и = х является частным решением уравнвния с разделяющимися переменными ц' — "- = О, для Функции и получаем уравнение ъх = в(ах. Интегрируя, находим общее рещение: с = — сов х + Со Порядок диффереипиального уравнения вида р ~,- убб у(«+з»,, „(в)') = О (8.1) понижается на»г прн замене убб(х) = р(х).
Если найдено общее решение р = ф(х, Сп ..., С,, «) уравнения Р~х,.р,р', ...,р(" ») =-О, то последовательным интегрированием ура~незгия убб = уэ(х, Сп ..., С„«) находим общее решение у = «э(х, Сы '., С„) уравнения (8.1). Пример. Найти общее решение дифференпнального уравнения ху" — у' — хзя1вх = О. РещеииЕ. Данное уравнение не содержит явно функпню у, поэтому замена у' = р(х) приводит его к виду хр'-р — хз аш х = О.
Получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядказ р'-фх = х ащ х. Используя подстановку, р(х) = ц(х)ц(х), приводим дифференпнальное (4.2) Имеем с1 с1рйу у"= — р(у) = — — =рр с)х с)у сЬ с1, с1рс1р 4 г ссР1 усп = — (рр) = — — +р —..), 5 -~бу ( р Р р' — -=-— У У (4.5) С! + Сг = 1, (4.1) г(у у ° ° ° у(1)=0 Следовательно., р = х( — сок х — С!), т.е. у = х( — соя х + С!). Иытсгрпруя сщс раз, получаем общее решение исходного дифференциального уравнения: С! г у(х) = х( — сояхт С!) Ох = — хзшт — соях+ — х + Сг.
2 Ответ Общее решение. С у(х) = хзспг' соях+ х + Сг. 2 Пример. Найти частное решение лифференпиального уравнения (1 -! с') у'" — с*у" = О, уловлетворяющее начальным условиям у(О) = О, у'(0) = 1, у"(0) = 2. Решение. Данное уравнение не содержит явно функция! У(х) и ес производную у', позтоьсу замена у" = р(х) пркводит его к видя хр'- р— — хг сйпх = О. Получаем дифференциальное уравнение первого порядка с раздсляюшы: !ноя церемеыыыми (1 — е')р' — е*р = О, для которого с1р: е*с1 х — р.=.
С!(1 т ег), р 1-с' Интегрируя соотношение у" = Сс(1+ е"), имеем У' = Сг(1+с )с(х = Ссх+Сгея+Сг, У= (Ссх+Ссе +Сг)с1х=С! — -кСс' — СгхтС,. 2 Из начальных условий получаем С,+Сз=О, 2Сг = 2. Решая систему, получаем частное рвшеыие: у = х.г'2+.е — 1. Ответ. Частное решение: у = г~,г2 — ек — 1, 4 Дифференциальньсе уравнения, не содержащие явно ыезавнсимую переменную .
Порядок дифференциального уравнения вида понижается ыа едыызщу при замене у' = р(у), зг -р — ( — ) — =р( — )) +1 —, =р(р) -1 р Ар 6р Ау с1 1др1 с(д 1с1рР гй! Р с г с1У с1У с1х с1У ( с(у г) ох (с,с1У) с1У' и т.д. '! аким образом, уравнение (4.1) приводится к вилу х(у,рр ', ...) =о, (4.5) где у — независимая переменная; р(у) — неызвветная функция. Если найдено общее решение р(у) уравнения (4,3), то, решая уравнение (4.
), 4.2), получаем решение исходною уравнения (4.Ц Пример. Найти общий интеграи дифференциального уран!сания ! ус' усг + усз О Решение. Данное уравнение ие содержит явно независимую переменную х, поэтому при. замене у' = р(у) уравнение приобретает вид ИФ-р'+ рз =. О. (4.4) Уравнение (4.4) имеет решение р = О, которому соответствует решение у = С. Полагая ур ф О, разделим уравнение на ур н получим уравнение Бернулли: Решим уравнение (4.5) метолом Лагранжа.
Найдем сначала решение уравнения р' — рч/у = О. Разделим переменные и проинтегрируем: а~, р, Гар, ) ад — „( =/ ~ ус!=С!у. с(у у ро у Решение уравнения (4.5) ищем в виде р = Сг(у)д, Тогда р' = Сг(у)у+ +Сг(у); подставляя р и р' и уравнение (4.5), получаем С((у)у+ С,(у) — — =— Сз(д)у (Сз(у)у) С,(р) = -С;(р), — =- -Сз, г1Сг йр 1п~ — -~ = — 21п ~р)+ 1пСг. и ',. 2 '~ откуда ОС, 7 1 — С,(р) =— Сз / ' р+С,' где Сг - постоянная.
Таким образом, р = р/(р+ Сг), нлн г1р р бз р+ С,' Интегрируя (р+ С,) бр Р =/" = ( г1х., р получаем общий интеграл р + Сг 1и ~р' = х+ Сз. Ответ, . Ойций интеграл: р=,С, уравнение Р+ — + — =О. г Р Р р рз (4.7) Подстановка и(р) = р/р приводит уравнение (4.7) к виду ри'+ 2и+ из = О. (4.9) Уравнение (4.8) являетсй уравнением с разделяккцимися переменными: ри'= — (и +2и), =-г1р, 2 из+ 2и р -ь Сг 1п ~грг! = х + Сз.
Пример, Найти частный интеграл лифференцизльного уравнения рр" + р' + р','р = О, удовлетворякгщий начальным условиям р( — 1/4) = 1, р'(:-1/4) '= — 1. Решение. Ланное уравнение не содержит явно независимую переменную:г, поэтому замена р' = Р(р) приводит его к внцу 3 ррр'+ Р'+ — = о. (4 б) р Так как решение р = 0 (р =- С) не удовлетворяет начальным условиям,, разделив уравнение (4.6) на рр, получим однородное дифференциальное и Сг и+2 рз' (4.9) Р+ 2р р' Подставляя начальные условия р = 1, р' = -1 в Уравнение (4.9). гголучаелг Сг —— — 1.
Так как Р(р)'= -„~ = р', уравнение (4,9) примет вид р' = — 2у(рз + 1). Разлелим переменные (1+ р') пр 2р /(1-+()ь= — /з,, р2 — (п(р~+ — =- -х+Сз, (4.10) 2 ' 4 Подставляя в (4.10) начальные условия т = — 1/4, р = 1, получаем 1 1 1 — 1п1+ — '— — — +Сз, Сз =О. 2 4 4 Следовательно, частный интеграл дифференциального уравнения,' 21п(р) + рз =' -4х. Ответ. Частный интеграш 2!п ~у'+ рз = — 42. Линейные однородные дифференциальные уравнении Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение рг"'+Р -г(х)р1" г+-.. +Рг(х)р'+Рор= О.
(5.1) Гслн рг, рз..:., рз — частные решения уравнения (9.1), то Сгрг+ хСзрз+... + С.рь — такзгв решение уравнения (5.1), См Сз, .--., Са — любые цосгоянные. Определение. функции рг(х), рз(х), р~(х), опреаеленные на интервале (а,Ь), называются лииейно зависимыми на этом интервале, (5.2) х, а внд (5.3) нонне (5.4) 6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнении если существуют постоянныс ом аз, ..., о,, не все равные нулю, та кис, что для всех х Е (а,6) о«уз(х) 6 оауз(х) +...
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
